數(shù)形結(jié)合視角下對(duì)運(yùn)算律教學(xué)的思考

王娟

[摘 要]運(yùn)算律貫穿于整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)，也將運(yùn)用于今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中。數(shù)形結(jié)合思想作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，可以有效地幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)，促進(jìn)學(xué)生邏輯思維能力的發(fā)展。在運(yùn)算律教學(xué)中，教師可通過(guò)以形相助、以形相輔、以形助思，促進(jìn)學(xué)生把握運(yùn)算本質(zhì)，幫助學(xué)生變通思維，提升思維深度。

[關(guān)鍵詞]運(yùn)算律;數(shù)形結(jié)合;思考

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2019）29-0025-02

在小學(xué)階段，運(yùn)算律貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。比如，在看圖列式或解決問(wèn)題中加法交換律和乘法交換律就得到了廣泛應(yīng)用;進(jìn)位加法中利用湊十法進(jìn)行計(jì)算也需要加法結(jié)合律的支撐，除表內(nèi)乘法及整十整百數(shù)以外的乘法計(jì)算也都離不開(kāi)乘法分配律的幫助。小學(xué)階段的運(yùn)算律學(xué)習(xí)大致可分為三個(gè)階段。第一階段，學(xué)生結(jié)合具體的生活實(shí)例初步感受運(yùn)算律，同時(shí)在解決問(wèn)題和計(jì)算中不自覺(jué)地對(duì)運(yùn)算律加以應(yīng)用。第二階段，也就是四年級(jí)，將會(huì)系統(tǒng)地學(xué)習(xí)五個(gè)基本的運(yùn)算律，探索并了解運(yùn)算律。第三階段，將運(yùn)算律及其運(yùn)算法則遷移到小數(shù)和分?jǐn)?shù)中進(jìn)行應(yīng)用。在北師大版四年級(jí)教材中，五個(gè)運(yùn)算律的編排結(jié)構(gòu)基本一致，即“觀察算式—仿寫(xiě)算式—解釋規(guī)律—表述規(guī)律—應(yīng)用規(guī)律”。但學(xué)生在做題時(shí)對(duì)乘法結(jié)合律和乘法分配律的應(yīng)用經(jīng)常出錯(cuò)，說(shuō)明學(xué)生對(duì)運(yùn)算律的掌握僅僅停留在模仿階段，所以教師需要為學(xué)生提供合適的學(xué)習(xí)素材，比如圖形、實(shí)物、有趣的活動(dòng)情境、適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)方法等，讓學(xué)生有所觀、有所感、有所悟、有所思，親身經(jīng)歷知識(shí)的形成和發(fā)展過(guò)程，形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“數(shù)學(xué)中有一些重要內(nèi)容、方法、思想是需要學(xué)生經(jīng)歷較長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)過(guò)程，逐步理解和掌握的，如分?jǐn)?shù)、函數(shù)、概率、數(shù)形結(jié)合、邏輯推理、模型思想等。”這就明確了數(shù)形結(jié)合思想對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要作用。小學(xué)階段是數(shù)形結(jié)合思想形成的啟蒙和發(fā)展階段，因此，筆者思考：能不能利用數(shù)形結(jié)合的方法幫助學(xué)生理解運(yùn)算律的本質(zhì)，進(jìn)而合理有效地運(yùn)用運(yùn)算律呢？

一、以形相助，把握運(yùn)算本質(zhì)

以加法交換律和乘法交換律為例，教材把它們放在一起呈現(xiàn)，例如出示幾組算式：

先讓學(xué)生觀察算式，仿寫(xiě)算式，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，然后舉出事例，說(shuō)明解釋?zhuān)_認(rèn)發(fā)現(xiàn)。然而，能寫(xiě)出100個(gè)這樣的算式，是不是就可以得出結(jié)論？筆者認(rèn)為還是要結(jié)合加法的運(yùn)算本質(zhì)來(lái)說(shuō)。著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)源于數(shù)。”加法實(shí)際是數(shù)數(shù)的高級(jí)形式。在一年級(jí)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生經(jīng)常會(huì)遇到這樣的題目：如下圖，一共有多少根小棒？

加法的本質(zhì)就是把多個(gè)數(shù)量合起來(lái)，因此有學(xué)生從左邊開(kāi)始數(shù)起，列式為4+2=6，有學(xué)生從右邊開(kāi)始數(shù)起，列式為2+4=6。不管從哪邊開(kāi)始數(shù)，都是把這兩堆小棒合在一起，小棒的總數(shù)不變。如果小棒的堆數(shù)比較多，還可以進(jìn)行結(jié)合，這就出現(xiàn)了加法的結(jié)合律。教材要求學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、得出猜想后再列舉生活中的事例驗(yàn)證猜想，這是本末倒置的。仿寫(xiě)的算式都符合規(guī)律，就代表所有的式子都符合規(guī)律了嗎？筆者認(rèn)為，教材可以調(diào)整編排順序，把一年級(jí)的看圖寫(xiě)算式放在前面，讓生活事例緊跟其后。算式只是表面現(xiàn)象，是表現(xiàn)形式，其本質(zhì)上還是如何數(shù)數(shù)。教材在加法結(jié)合律的編寫(xiě)中也是同樣的問(wèn)題，在這里就不多加贅述。

總之，以“形”助“數(shù)”，可促進(jìn)學(xué)生有效把握數(shù)的本質(zhì)，加深數(shù)與形之間的聯(lián)系與溝通。

二、以形相輔，幫助思維變通

如果說(shuō)加法是相同對(duì)象的運(yùn)算，那么乘法就是不同對(duì)象之間的運(yùn)算。雖然現(xiàn)在淡化了乘法意義的教學(xué)，比如3個(gè)6寫(xiě)成兩個(gè)乘法算式：3×6，6×3;6個(gè)3也可以寫(xiě)成3×6，6×3。雖然兩個(gè)式子的計(jì)算結(jié)果一樣，但表示的意義卻不一樣。因此，筆者認(rèn)為僅僅觀察算式，仿寫(xiě)算式就得出結(jié)論是不恰當(dāng)?shù)模€是要借助圖形或者實(shí)物來(lái)理解。教材出示了數(shù)椅子的情景圖：

在這里，乘法又回到了“數(shù)”，不管橫著看還是豎著看，椅子的總數(shù)不變，只是每個(gè)人數(shù)數(shù)的習(xí)慣不一樣。在解決問(wèn)題時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生先從數(shù)的方面去分析，進(jìn)行抽象思維，再?gòu)男蔚姆矫嫒パ芯浚M(jìn)行形象思維。用“數(shù)”來(lái)表示“形”，以把握“形之屬性”，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，可有效發(fā)展學(xué)生的邏輯思維。

三、以形助思，提升思維深度

乘法分配律歷來(lái)是教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。前面學(xué)習(xí)的運(yùn)算律僅僅是同一種運(yùn)算，而乘法分配律就涉及了加法和乘法兩種運(yùn)算。

乘法分配律的字母表達(dá)式（a+b）×c=a×c+b×c很抽象，也很難理解，需要借助圖形和大量的生活例子幫助學(xué)生理解，促進(jìn)學(xué)生自然構(gòu)建知識(shí)體系，只有這樣才能避免學(xué)生只會(huì)機(jī)械模仿，面對(duì)變式無(wú)從下手。教材創(chuàng)設(shè)了“貼了多少塊瓷磚？”這一情境，出示了兩組算式“3×10+5×10=（3+5）×10;4×8+6×8=（4+6）×8”，提出問(wèn)題：觀察算式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

筆者認(rèn)為，這一情境可以分兩步呈現(xiàn)給學(xué)生，而且要結(jié)合乘法的意義來(lái)說(shuō)明。先呈現(xiàn)給學(xué)生正面的墻面：

學(xué)生可以很直觀地看出瓷磚有藍(lán)色和白色兩種顏色，列算式的方法有很多種：

方法一：3×6+5×6=48，白色瓷磚每行有6塊，共3行，所以3×6表示3個(gè)6;藍(lán)色瓷磚每行有6塊，共5行，所以5×6表示5個(gè)6;3個(gè)6加上5個(gè)6就是8個(gè)6。

方法二：（3+5）×6=48，表示白色瓷磚有3行，藍(lán)色瓷磚有5行，一共有8行瓷磚。

方法三：8×6=48，瓷磚一共有8行，每行有6塊，所以就有8個(gè)6。

看來(lái)這三種方法都表明瓷磚的總數(shù)可以用8個(gè)6表示。引發(fā)學(xué)生思考：能不能寫(xiě)出這樣的等式：（3+5）×6=3×6+5×6=8×6=48？在學(xué)生有所感悟的基礎(chǔ)上再出示側(cè)面的墻壁。

側(cè)面墻壁的瓷磚數(shù)量和正面墻壁的瓷磚數(shù)量的計(jì)算方法一樣。

方法一：3×4+5×4=32，白色瓷磚每行有4塊，共3行，所以3×4表示3個(gè)4;藍(lán)色瓷磚每行有4塊，共5行，所以5×4表示5個(gè)4;3個(gè)4加上5個(gè)4就是8個(gè)4。

方法二：（3+5）×4=32，白色瓷磚有3行，藍(lán)色瓷磚有5行，一共有8行瓷磚。

方法三：8×4=32，瓷磚一共有8行，每行有4塊，所以就有8個(gè)4。

引導(dǎo)學(xué)生思考：是不是也可以寫(xiě)出等式（3+5）×6=3×6+5×6=48呢？單靠這兩組算式還不足以得出乘法分配律的公式，還需要大量生活事例的支撐才能抽象出乘法分配律的公式。但是通過(guò)這些式子，學(xué)生可以感受到，當(dāng)出現(xiàn)相同乘數(shù)時(shí)都可以利用乘法的意義，最后歸結(jié)于求出幾個(gè)幾的運(yùn)算。然后在學(xué)生有所感的前提下再要求他們應(yīng)用“學(xué)校要給28個(gè)人的合唱隊(duì)買(mǎi)服裝，請(qǐng)算算買(mǎi)服裝要花多少錢(qián)？”，繼續(xù)思考能否寫(xiě)出一組等式。

在大量素材的積累下，學(xué)生深刻理解了乘法分配律。可見(jiàn)，利用數(shù)形結(jié)合可以幫助學(xué)生化抽象為直觀，進(jìn)而建立解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，為學(xué)生的再創(chuàng)造和應(yīng)用做好準(zhǔn)備。

數(shù)形結(jié)合有助于發(fā)展學(xué)生的邏輯思維，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。正所謂“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)事休”，“數(shù)形結(jié)合”是數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的重要方式。

（責(zé)編 黃春香）