論化歸思想在數學中的重要性

摘要：數學是一門神秘又重要的學科，它在自然界中發揮了無與倫比的作用，所以對學生來說，學好數學是我們一項極為重要的任務。不僅僅是為了升學考試，更是為了體驗數學學科的魅力。下面，就讓我們來探討一下數學中的一種思想方法：化歸思想。

關鍵詞：化歸思想;數學教學;規律

化歸思想，顧名思義就是將各種數學符號不斷變換而形成的思想。它主要應用在函數解題中，也會應用于處理實際問題。它的主要目的就是尋求規律。讓我們來看一道十分經典的例題。

問題背景：x（0

由第一人開始，輪流說出方案，而這個方案通過需要半數及以上的人支持，否則，此人會被殺死。再由第二個人說方案，以此類推，原則是：①盡可能得到多的鉆石;②把前面的人殺死。如果①與②沖突就選擇①，如果你是第一個人，你會怎么樣分才可以獲得最多鉆石？通過研究獲得了以下數列：而且對于x個海盜（0≦x≦y）分y個鉆石同樣適用，數列變為：

100

100 ?0

99 ?0 ?1

99 ?0 ?1 ?0

98 ?0 ?1 ?0 ?1

98 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0

97 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?1

97 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0

96 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?1

96 ?0 ?1 ? 0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0

95 ? 0 ? 1 ? 0 ? 1 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?1

95 ? 0 ? 1 ? 0 ? 1 ? 0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0

：

：

：

可見，如果繼續寫下去，僅需將上面的0變為1或1變為0即可

y

y ? 0

y-1 ?0 ? 1

y-1 ? 0 ? 1 ? 0

y-2 ? 0 ? 1 ? 0 ? 1

y-2 ? 0 ? 1 ? 0 ? 1 ? 0

：

：

在學習函數時我們認識到一種函數為周期函數，它具有這樣的特性：

f（x+T）=f（x）

那么如果出現f（x+a）=f（x+b）呢？如何解決本題？

我們可以將x替換為（x-b），那么該表達式即為f（x+a-b）=f（x），即（a-b）為f（x）的周期，有f（x+a）=-f（x）①

則-f（x+a）= f（x）②

將①中的x替換為（x+a），①中f（x+a）→f（x+2a）

即為f（x+2a）=-f（x+a）③

聯立②③可解得f（x）=f（x+2a）T=2a

而在上文的海盜分贓問題中，如果將規則改為奇數位的海盜希望獲得利益，偶數位的海盜希望排除異己，即殺死排在前面的海盜，然后獲得最大利益，第一個海盜將如何做才會獲得最大利益？

毫無疑問，第一行 100

而第二行：（因為半數以上通過即可，沒有必要分）100 ?0 從第三行開始，情況有所不同，因為排在最后一位的海盜無論想要得到什么，都沒有選擇的余地，而如果按正常思路來，他撈不到任何好處，而如果給他分1個鉆石，他會支持，而偶數位的海盜不必分任何數目的鉆石都會想殺掉第一個，所以這就可以假設第一個人被殺死，第二個人（當然為了獲取最大利益）該怎么分，就可以使用上一次的分法推斷，這邊利用了數學中化歸的思想。

100

100 ?0

99 ?0 ?1

99 ?0 ?0 ?1

98 ?0 ?1 ?0 ?1

98 ?0 ?1 ?0 ?0 ?1

97 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?1

97 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?0 ?1

96 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?1

96 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?0 ?1

95 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?1

95 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?0 ?1

94 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?1

具體來說，化歸也就是一種尋求規律的行為，在數學中，特別是競賽以及高難度題目上，尋求規律是一種常用又高效的方法。

補：解本題的推理假設方式，令第一個人給自己分配鉆石為t

t

t ?0

（99 ?0 ?1）←t（100 ?0）

（99 ?0 ?0 ?1）←t（99 ?0 ?1）

（98 ?0 ?1 ?0 ?1）←t（99 ? 0 ?0 ?1）

（98 ?0 ?1 ?0 ?0 ?1）←t（98 ? 0 ?1 ?0 ?1）

（97 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?1）←t（98 ?0 ?1 ?0 ?0 ?0）

根據這個三角形思維導圖，我們便可以假設出人數為n時，第一個人如果死后，第二個人便會以第一個人在人數為（n-1）時的方法，找到無法獲取鉆石的人，給予1個鉆石即可。

很明顯，在無論兩種規則中，100-0的次數每個數字均為兩次，我們可以將規則變換后的三角數列拆分開來，會發現后一部分幾乎是無關量，而前一部分與第一個規則所產生的數列十分相似，這就足以證明化歸代換在數學中的重要性了。當然，本人在數學方面的造詣仍需提高，在這兩個數列以及化歸思想有很多理解不當或不夠深入之處，還請各位讀者諒解。人們總會從一個個實際問題中聯想到數學，并從中發現并創造各種理論，這也是數學的魅力之所在，她用自己偉大的力量證明了規律的存在，并帶給人們以發現問題的喜悅與充實。相信在不久的將來，數學一定會帶領人類不斷進步，我國的數學事業也將會為科技強國的宏偉藍圖埋下堅實的基礎，而真理的浩瀚海洋還正在等著我們去探索發現！

作者簡介：王瑞澤（2003.06.01—）男，民族：漢，籍貫：陜西省西安市臨潼區，學校：西安市第八十三中學。