高中數學函數單調性的解法探討

許家睿

【摘 ? 要】 ?作為函數的一種重要性質，單調性常常是某些函數問題求解的突破口，所以高中生要對函數單調性及其應用技巧進行深入學習和掌握。本文立足于高中數學問題求解視角，對函數單調性的常用解法進行了深入探討，以期不斷提升高中生運用函數單調性解決數學問題的能力。

【關鍵詞】 ?高中數學;函數單調性;解題方法

在高考數學試卷中，函數方面類型題的考察占比比較大，尤其是其中考察學生函數單調性掌握情況方面的題目非常多，相應的考察樣式也比較多，增加了高中生求解的難度。為了使高中生更好地解決函數單調性方面的數學問題，就必須要強化他們對于相關函數性質的理解和認識，掌握必要的問題求解方法與技巧，借此來不斷地提升高中生解決函數類型題的能力。

一、巧借定義法，解決函數單調性問題

首先要從某一單調區間內任意選擇兩個自變量參數x1和x2，之后求出并比較分析兩個參數所對應的函數值f（x1）和f（x2），確定二者之間的大小關系。然后在對函數單調性概念進行認真遵從的基礎上，確定相應函數的單調區間，并得出相應的結論。在實際的函數單調性問題求解中，可以基于相應的單調性定義來確定解題突破口。

例1 ?已知函數法f（x）=x3+sinx，-1≤x≤1，假定f（1-m）-f（m2-1）

<0。試求參數m的對應取值區間。

解析：該道題是一道考察函數單調性的典型例題，通過基于函數單調性定義及性質，可以快速找到解題突破口。如果函數y=f（x）在區間I上為單調增函數，且f（x1）

二、巧借導數知識，解決函數單調性問題

假定D為函數f（x）的區間，如果f（x）在該區間內為可導函數，且如果可知f（x）=0，那么就表明函數f（x）為常函數;如果f（x）>0，那么就表明函數f（x）為增函數;如果f（x）<0，那么就表明函數f（x）為減函數。同理，假定函數f（x）在某特定區間D中是可導的且為減函數，那么可以推測f（x）<0;如果函數f（x）在某特定區間D中是可導的且為增函數，那么可以推測f（x）>0，這實際上就是函數及其導數的關系，需要判斷函數f（x）和0之間的關系來進行確定。在對某函數導數值進行求解后，再進行單調性判斷，那么有助于簡化某些抽象、繁雜的數學問題，尤其適用于高次函數或帶有參數的函數單調性問題求解中。

例2 ?假定函數f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中參數a為實數。假定f（x）在區間（1，+∞）上為單調減函數，且函數g（x）在區間（1，+∞）上存在最小值，試求參數a的取值范圍。

解析：該道題涉及到未知參數，且函數本身比較復雜，所以如果直接進行函數分析，那么解題過程比較繁雜，這時候如果可以運用導數方面的知識，那么可以降低解題的難度。因為函數f（x）的導數f（x）=（1/x）-a=（1-ax）/x，相應的定義域為（0，+∞），且在區間（1，+∞）上f（x）為單調減函數，所以可知參數a必然大于0。令f（x）<0，可得x>1/a，那么可知函數f（x）在區間（1/a，+∞）上呈現為單調減函數。由于函數f（x）在區間（1，+∞）上f（x）為單調減函數，所以可以得出：（1，+∞）∈（1/a，+∞），即1/a≤1，故可得a大于等于1。令g（x）=ex-a=0，可得x=lna。如果xlna，那么可知此時g（x）>0，此時函數g（x）為單調增函數，加之函數g（x）在區間（1，+∞）上存在最小值，那么可得lna>1，即a>e。如此一來，就可以確定該道題的最終答案為區間（e，+∞）。

三、巧借復合函數，解決函數單調性問題

復合函數也是高中生學習函數知識中重要的學習內容，具體就是將函數y=f（t）和函數t=g（x）融合在一起，構成復合函數y=f[g（x）]，這個復合函數本質上是由外層函數y=f（t）和內層函數t=g（x）組合構成。在對復合函數單調性進行判斷的過程中，需要對內層函數和外層函數的單調性進行全面分析，之后即可判斷出復合函數的單調性情況，具體表現為：復合函數為增函數的時候，內外層函數的增減單調性是一致的，即都為增函數或減函數;復合函數為減函數的時候，那么可知內外層函數的增減單調性是不一致的。在實際的學習過程中，可以按照“增增或減減為增;增減或減增為減”的口訣來進行記憶。如此一來，就可以快速判斷出復雜復合函數的單調性情況。

例3 ?試判斷函數f（x）=4 ? ? 的單調性。

解析：該道題目是一道典型的判斷復合函數單調性的類型題，實際的分析過程中，適宜采用分解法來進行判斷，那么可以便捷地求出相應的問題，具體就是先將待求函數f（x）劃分成內層函數t=x2+1和外層函數f（t）=4t，其中內層函數是關于x軸對稱的偶函數，其在左半軸和右半軸上分別為遞減函數和遞增函數;外層函數在數軸上均表現為遞增函數。根據復合函數單調性的判斷依據，即“同增異減”的判定原則或特性來求出f（x）=4

的單調性，具體就是在區間（-∞，0）上為遞減函數;在區間（0，+∞）上為遞增函數。如此一來，就可以使高中生快速地求解該道復合函數。

總之，三角函數是高中生數學學習的重要內容，其學習情況直接關乎高中生能否解決三角函數類型題。為了順利地解決三角函數單調性方面的問題，高中生需要巧妙地運用定義法、導數知識和復合函數等來加以解決，同時需要注意不斷夯實自己的理論功底，確?？梢杂行У靥嵘陨斫鉀Q數學問題的能力。