一題多解在二重積分計算中的應用

摘要：本文以二重積分的計算為例，闡述了一題多解這種思維在二重積分計算中的應用。

關鍵詞：二重積分;一題多解;發散思維

中圖分類號：G642

文獻標識碼：A

文章編號：1672 -1578（ 2019） 08 - 02272 - 01

數學是思維的體現，解決問題是學生學習數學的目的，因而如何通過解題活動來培養學生思維能力和創新能力，應是數學教學的中心問題。過多盲目地做題，不僅不會促進思維能力的發展、技能的形成，反而容易使學生疲勞，對數學提不起興趣，而一題多解無疑是激發學生學習興趣，培養發散思維品質和綜合運用知識能力的一種十分有效的方法。

1.理論依據[1]

二重積分是高等數學多元函數積分學的重要部分，二重積分的計算是教學的重點也是難點。教材主要介紹了計算二重積分的三種一般方法：化為直角坐標系下的二次積分、化為極坐標系下的二次積分和換元法。下面給出一道例題的多種計算方法，使學生進一步掌握二重積的各種計算方法，達到知識的融會貫通。

2.應用舉例[2-3]

計算I=∫∫sinx/xdxdy，其中積分區域D是由直線y=x和拋線物y=x2所圍成。

基于二重積分的基本計算方法，將二重積分化為兩個定積分。那么涉及到此二重積分應化為先對x的定積分，還是先對y的定積分，而這取決于積分區域和被積函數兩方面。畫圖可知，積分區域既是x—型區域，同時也是y型區域，再來看被積函數sinx/y，如果先對x積分，此函數的原函數是不容易求出來的，事實上，它的原函數是不能用初等函數表示出來的。那么我們嘗試將此二重積分化為先對x積分后y對積分的二次積分。我們發現當先對y積分代入上下限后，可以得到x-X2，然后與sinx/x作乘積后得到sinx - xsinx，而此函數對x積分，我們是特別容易求得的。

解1：由圖1可知，若看成是X—型區域，積分區域D可化成以下二次積分

最后容易求出結果I=1 - sinl。

若積分區域看成是Y一型區域，化成二次積分

，由于smx不易求出原函數，Y一型區域進行求解看似行不通，但是我們可以進行知識的遷移。在求不定積分的時候我們有學過一種方法是分部積分法，那么二重積分有類似方法嗎？事實上，答案是確定的。具體可以參考文獻2。

解2：由分部積分公式，得最后容易求得結果I=1 - sinl。

對于sinx/x不易求出原函數的問題，還有其他方法解決嗎？我們在學習高等數學第十二章無窮級數當中有一節《函數的冪級數展開式的應用》，從中我們可以有所啟發，那就是可以將函數化為冪級數進行計算。

解3：應用冪級數的性質，因為

利用冪級數對和函數積分可以逐項積分的性質，有

由此，可以看出通過一題多解，不僅能夠幫助學習者建立新知識與原有知識的橋梁，還可以通過學習后面的知識來解決以前遺留下來的問題，進行知識的融合。

除此之外，我們知道格林公式建立了二重積分和第二類曲線積分（對坐標的曲線積分）的聯系，所以我們可以將二重積分轉換成第二類曲線積分來計算。

解4：利用格林公式計算。

取，則P=

，Q=O，則

。L是指平面區域D的邊界曲線，分為l1和l2，l1是指拋物線y= X2從（0，0）到（1，1）的一段弧，l2是指直線y=x從（1，1）到（0，0）的一條有向線段，代人格林公式，得

3.結語

通過一題多解的訓練，可以加深學生對二重積分計算的理解，刺激其固有的思維模式，進行各種知識的融會貫通，從而培養學生發散思維的品質，提高學生綜合應用知識的能力。

參考文獻：

[1] 同濟大學數學系，高等數學（第七版）[M].北京：高等教育出版社.2014.

[2] 張肖金，薩學思.二重積分中的分部積分公式[J].西北師范大學學報：自然科學版，1998，34（3），76 - 80.

[3] 馬艷麗，丁健，李海霞，關于二重積分計算法的補充[J].玉溪師范學院學報，2016，32（4）：16 -20.

[4]周后卿，積分中的一題多解與思維訓練[J].廣西教育學院學報，2014（2）：158 - 160.

作者簡介：段文梅（1990-），女，山西大同人，碩士，助教，研究方向：無窮維動力系統及高等數學。