大學數學教育中數學直覺培養的實踐探索

梁雪

【摘要】數學概念和方法往往都有其幾何直觀的背景，在數學教學中注重數學的幾何直觀的一面，注重培養學生的數學直覺，有助于他們理解抽象的數學概念、數學思想方法，進而能夠活學活用。本文將結合具體案例探討如何在教學中幫助學生建立數學直覺。

【關鍵詞】幾何直觀 ?數學直覺 ?教學實踐

【基金項目】蘇州科技大學課程教學綜合改革項目（2018KJZG-37）。

【中圖分類號】G64 ?【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）30-0255-02

大學數學相對于中小學數學不僅更加抽象性，其表述方式也有較大的改變，呈現出公理化、系統性描述的面貌。大學數學教師在教學過程中也往往偏重于演繹推理的訓練，強調形式論證的嚴密邏輯性，忽視數學形成過程中生動直觀的一面，忽視數學直覺的培養，所以很多大學生在學習數學時感到非常困難，進而產生厭學情況。即使是學得不錯的學生也僅僅是能熟練地使用工具、做枯燥規則的奴隸，缺乏真正意義上的理解，無法領略數學的美妙、和諧與統一，這不能不說是一件遺憾的事情。

筆者認為抽象性與直觀性并不矛盾，在數學教學中注重數學的幾何直觀的一面，注重培養學生的數學直覺，有助于他們理解抽象的數學概念、數學思想方法，進而能夠活學活用。本文將結合具體案例探討如何在教學中幫助學生建立數學直覺。

1.“數學直覺的培養”的實踐探索過程

1.1什么是數學直覺

數學直覺是運用有關知識組塊和形象直觀對當前問題進行敏銳的分析、推理，并能迅速發現解決問題的方向或途徑的思維形式。它是一種直接反映數學對象結構關系的心智活動形式，是人腦對于數學對象事物的某種直接的領悟或洞察。

1.2數學直覺培養的實踐探索的體會

抽象的數學理論的核心常?？梢詮膸缀我饬x的角度得到解釋，數學概念和方法往往都有其直觀的背景。從幾何直觀上分析問題的能力，首先是指能夠“洞察其直觀背景”。數學教育家波利亞曾經說：“一個長的證明常常取決于一個中心思想，而這個思想本身卻是直觀的和簡單的”。因此，從幾何直觀上分析問題的能力，也包括找出證明中的那個關鍵的簡單而直觀的思想，能透過概念的嚴格定義和實際證明中的推演細節“描繪出證明方法的幾何輪廓”[1]。

在培養學生數學直覺的過程中，幾何直觀起著舉足輕重的作用。筆者常常對學生說，判斷自己是否理解一個數學概念或者數學定理，關鍵要看自己是否建立起這個概念的幾何直觀或者能否把這個定理的直觀含義和證明的直觀思路弄明白。為了培養學生的數學直覺，筆者經常采取以下做法：

（1）通過提問題讓學生自己探索、思考數學概念背后的本質，不滿足于書本的文字陳述。

（2）在數學證明的講授過程中注重對這些證明背后的幾何直觀進行探究，不滿足于書本的邏輯推演。

（3）給學生介紹數學概念在其他領域中的運用，還原數學概念、方法的本來的樸素面貌。

這些做法不僅能有效地調動起學生的求知欲，激發學生的數學學習的興趣，讓學生在學習數學的過程中形成追問事物本質的深入思考問題的習慣，從而幫助學生建立起數學直覺。不過數學直覺是否能建立起來，起決定作用的還是學生是否肯下功夫，教師只能起拋磚引玉的作用。就像一些數學家強調的那樣，數學不是看書“看”懂的，不是聽課“聽”懂的，而是算題中“算”懂的。在扎實的“做題”過程中積累對數學概念、數學定理足夠的感性認識，再加上教師的點撥，數學直覺能夠慢慢建立起來。

2.實踐案例

2.1數學概念的教學舉偶

《線性代數》[2]第五章第2節——矩陣的特征值與特征向量這一節的重點是講清楚特征值、特征向量這一對概念。筆者以這一節為例， 比較在數學概念的教學過程中，注重數學直覺培養的教學與傳統教學的差異。傳統教學中，一般做法是直接給出特征值、特征向量的嚴格定義、給出其求法，然后證明特征值、特征向量的性質。這種教學下，學生往往無法真正理解特征值、特征向量，除了為了應付考試暫時記住求特征值、特征向量的方法，很難留下有價值的東西。

相反，如果在教學過程中注重數學直覺的培養，可能為學生打開一扇門，多一個認識世界的途徑。筆者在處理這一節時，會提前布置思考題：“方陣的特征值、特征向量為什么冠名‘特征？他們到底刻畫方陣的‘特征？”好學的學生會通過閱讀教材、查閱網絡資源去完成這一問題，雖然很難找到答案，可是這個探索、思考過程是極其有價值的。

正式講授這一節時，筆者先通過例子來解釋矩陣乘以向量的幾何意義。矩陣與向量的乘積表現為矩陣對一個向量作用的結果：對一個向量進行旋轉和伸縮的綜合過程，向量在此作用下變換為另外一個向量。

有了這個幾何直觀的認識以后再引入特征值、特征向量概念：如果矩陣對某些向量只發生伸縮變換，而不產生旋轉效果，那么這些非零向量就稱為這個矩陣的特征向量，伸縮的比例就是特征值。按照這個思路，讓學生給出一個n階方陣A的特征值、特征向量的定義，再與課本上的定義對照，并且提出問題“為什么特征向量要排除零向量？”給出提示：從定義中能發現如果一個向量α是A的屬于特征值的特征向量，那么kα（k≠0）也是屬于特征值的特征向量，這表明特征向量的長度信息是無關緊要的，重要的是特征向量提供的方向信息：矩陣作用在特征向量的方向上的向量只發生伸縮，不發生旋轉。而零向量提供不了任何關于‘方向的信息，所以要排除“零向量”。為什么會冠名“特征”呢？特征向量、特征值反映了矩陣作為一種變換的作用特點。最后給學生舉一個特征值和特征向量在數據挖掘算法中應用，簡要地介紹主成分分析算法（PCA）原理，讓學生從實例中直觀感受特征值和特征向量。