范希爾幾何思維水平對幾何教學的啟示

李萍 張紅

【摘要】范希爾理論符合學生的身心發展規律.對小學數學教學“圖形與幾何”的教學存在著重要的意義.一個好的教學活動必然需要一個好的理論框架作為依據.范希爾的幾何思維水平用于幾何教學活動的設計，有利于教師在幾何教學中有效地組織教學活動.范希爾幾何思維水平啟示我們，在幾何教學中：借助直觀，促進理解;在活動中探索圖形性質;在想象與推理中把握關系.

【關鍵詞】范希爾理論;幾何思維水平;幾何教學

在新課程實施以來[1]，我們的課堂發生了許多變化，然而，我們可以發現，課堂教學中有的教材的安排或者是作業的難度所需要的語言或者是能力常常超出學生的思維水平，而幾何概念相對是比較枯燥的，這樣很容易使學生喪失學習興趣.再加上有的教師雖然注重數學聯系生活實際，但是卻停留在表面，并沒有引導學生將幾何概念從生活實際中抽象出來，這系列的問題都亟待我們去解決.范希爾幾何思維水平分為五個等級，而小學生只能達到前三個等級，所以在此文章中我們只研究范希爾前三個水平對圓的教學的思考.

一、范希爾理論的綜述

范希爾理論是荷蘭的范希爾夫婦根據皮亞杰的認知理論，結合自身在幾何教學中所面臨的問題研究所得到的用來刻畫學生的幾何思維水平的理論.范希爾理論的核心內容有兩個，一是幾何思維的五個水平，二是與之對應的五個教學階段.本文不研究與之對應的五個教學階段.

（一）范希爾幾何思維的五個水平

1.水平0：視覺

兒童通過整體輪廓辨認圖形，能畫圖或模仿畫出圖形，初步描述圖形，但無法通過圖形的特征或要素名稱來分析圖形，也無法對圖形做概括的論述.

例如，有的兒童可能會區分直線圖形和曲線圖形，但對同類的圖形，如，正方形和平行四邊形，則不能正確地區分.

2.水平1：分析

兒童能分析圖形的組成要素及特征，并且在此基礎上了解圖形的一些特性，利用特性解決幾何問題，但無法解釋性質間的關系，也無法了解圖形的定義.

例如，這個階段的兒童可能會區分長方形和三角形，因為“長方形長得像門，而三角形不像門”，卻可能不會區分正方形和菱形，因為他們都是方的，像“手帕”，所以他們是一樣的.

3.水平2：非形式化的演繹

兒童能建立圖形以及圖形內部性質之間的關系，能探索圖形的內在屬性和其包含關系.使用公式與定義及發現的性質做演繹推論，但不能了解證明與定理.例如，長方形是特殊的平行四邊形，可能比較難以理解.

4.水平3：形式的演繹

學生可以了解到證明的重要性和了解“不定義元素”，“公理”和“定理”的意義，確信幾何定理是需要邏輯演算才能建立的，能猜測并嘗試用演繹方式證實其猜測，能夠以邏輯推理解釋幾何學中的公理，定義定理等，也能推理出新的定理，建立定理間的關系網.

例如，他們可以把任何一個四邊形分割成兩個三角形，從而由三角形的內角和是180推導出四邊形的內角和是360°.

5.水平5：嚴密性

能在不同的公理系統下嚴謹地建立定理，以分析比較不同的幾何系統，如歐式幾何和非歐幾何.這五個水平是順次的，但卻又是不連續的.學生在進入某一個水平之前.必須掌握好在這之前的水平的大部分內容.

二、范希爾幾何思維水平對圓的認識教學的啟示

（一）借助直觀，促進理解（水平0：視覺）

這個階段的學生只能從外觀上解讀圖形，而不關心也沒有能力確定圖形的性質.

1.對教學的啟示（引入階段）

例如，在“圓的認識”的教學中[2]，首先出示一組圖形，讓學生對其分類.此時，通過外觀的觀察可以按照直和曲的標準將其分類.通過這樣的標準分類，有利于學生從整體上感知四邊形、圓、橢圓的共同本質特征，為進一步認識圓做好鋪墊.盡管這樣的分類僅僅是從外觀上進行的，而不是根據圖形的性質來區分的，但這樣的處理卻把學生的思維由直觀引向圖形的性質特征聯系起來了，以便更好地從直觀化水平向描述水平過渡.

另外，關于圓的認識，也是聯系生活中熟悉的事物.比如，在學習“圓”時，可向學生展示生活中的硬幣、盆的底部等等，讓學生說說這些圓有什么特點.為了讓學生更加直觀地感受圓的大小，可以用幾何畫板展示一組半徑大小不同的圓，可以讓學生想象這個圓無限伸縮的特點.這種直觀性的操作，有利于學生整體感知圓的特點（圓心與半徑）.盡管這種認識還是基于經驗性的[3]，但在理解幾何概念及其發展空間觀念時卻起著很大作用.過了很多年以后，學生也許早已忘記射線和直線的嚴格數學定義，但盆子的底部可大可小等生活情境可能牢牢地印在學生的頭腦中，而這個情境卻足以使其理解直線的定義和特征.

（二）在活動中探索圖形性質（水平1：分析）

對幾何圖形的學習，一個非常重要的方面，就是對圖形特征的學習.如圓的特征的認識，這就屬于這個水平層次的學習.

當在認識圓的特征時，可以通過：

1.感受生活中的圓：硬幣、紐扣、光盤、桌面、鐘面……年輪.

2.動手摸圓，初步感知圓的特征.

3.借助實物創造圓.

4.動手實踐：動手折一折、畫一畫、量一量、比一比，看一看你有什么發現？

5.用圓規畫圓.

另外，處在此水平階段的學生“往往傾向于用日常用語來描述幾何概念，一般來說，他們尚不能用精確的語言來刻畫數學概念”.例如，學生在描述硬幣時，會說圓圓的，沒有棱角，用這種生活語言來描述圓的特點.對這種情況，教師首先要允許并鼓勵學生用自己的語言描述，但不能停留在這水平上，待學生用自己的語言描述后，教師要說出精確的數學語言以便逐步引導學生掌握精確的數學語言.這一心理特點也啟示我們，在概念的形成過程中[4]，不能一步到位，也就是說能直接出示定義概念，而是有一個概念的生成過程，是逐步形成或者說生成的.對這一點，也是符合皮亞杰的觀點：學生學習幾何，先有具體概念，再有定義概念.所以，我們在圓定義概念時，先出示其具體概念.具體來講，可以先出示圓的圖形，然后說像這樣的圖形，在數上我們把它叫作圓，用這種具體直觀的描述性語言，學生容易理解.

對出示圖形，這里又面對著這樣一個重要的問題：在探索圖形性質特征時，我們為了讓學生更好地探索圖形的特征，往往給出的圖形都是標準的圖形或者說標準位置的圖形.但要指出的是“不能只停留于對標準圖形的認識，還要適當地變換方位，通過變式圖形與標準圖形的比較，來突出標準圖形的本質特征，從而正確地掌握圖形的基礎特征”.事實上，只有通過各種變式圖形認識了圖形的本質特征，才能通過圖形的性質與一類圖形建立聯系.

（三）在想象和推理中把握關系（水平2：非形式化的推理）

對幾何知識的學習，除了圖形特征外，圖形關系的學習也是非常重要的內容，圖形的關系具體分為不同各個要素之間的關系和不同圖形的關系.而同一圖形各個要素之間的關系往往反映了圖形的本質特征.圖形與圖形之間的關系有利于學生整體把握幾何知識，形成完整的認知結構.

在這一階段：教師要引導學生發現圖形與圖形之間的關系，并對圓的認識中比較難的部分進行引導（圓與之前學習的圖形都不同：邊是曲線，不是直的）.雖然圓的特征（圓心、半徑），學生認識比較容易，但對隨著半徑的改變，圓的大小也在不斷變化，學生學習卻比較困難，這就需要教師的引導.同時，圓的基本特征與半徑與直徑的關系也不是很好理解.這就需要教師通過讓學生折一折、畫一畫、量一量、猜一猜、比一比等活動讓學生理解圓的基本特征及半徑與直徑的相互關系.

我們可以發現[5]，大多數小學生都處于范希爾理論的水平0和水平1的層次，少部分人處于水平2，這說明學生的幾何思維水平發展符合范希爾理論不連續性的特點，從一個思維水平到另一個思維水平的過渡是跳躍的，也是極為不易的，所以我們日常教學中要善于增強學生的體驗，讓學生通過自身的動手、操作、實踐，不斷獲得數學活動的體驗，增強他們的空間觀念，從而幫助學生盡快地實現思維水平.

【參考文獻】

[1]袁櫻.小學幾何教學中空間觀念的培齊研究[D].昆明：云南師范大學，2007.

[2]陶紅強.范希爾幾何思維水平對教學的啟示[J].教育實踐與研究，2016（23）：43-46.

[3]王文強.范希爾理論及其對幾何教學的啟示[J].數學學習與研究：教研版，2016（23）：97-98.

[4]鄭毓信.小學數學概念與思維教學[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2014：108.

[5]孔企平.小學兒童如何學數學[M].上海：華東師范大學出版社，2001：103-105.