范希爾理論及其對幾何教學的啟示

王文強

【摘要】介紹了范希爾理論的幾何思維水平以及所對應的教學階段，針對這兩個主要內容，對照小學生的數學學習情況，提出對當今小學幾何教學的若干啟示.

【關鍵詞】范希爾理論；幾何思維水平；幾何教學

范希爾理論符合學生的身心發展規律，對于小學數學教學中“圖形與幾何”的教學存在著重要的意義.在新課程實施以來，我們的課堂發生了許多變化，然而，我們可以發現，課堂教學中有的教材的安排或者是作業的難度所需要的語言或者是能力常常超出學生的思維水平，而幾何概念相對是比較枯燥的，這樣很容易使學生喪失學習興趣.再加上有的老師雖然注重數學聯系生活實際，但是卻停留在表面，并沒有引導學生將幾何概念從生活實際中抽象出來，這一系列的問題都亟待我們去解決.

一、范希爾理論的基本綜述

（一）范希爾理論的內容

范希爾理論是荷蘭的范希爾夫婦根據皮亞杰的認知理論，結合自身在幾何教學中所面臨的問題研究所得到的用來刻畫學生的幾何思維水平的理論.范希爾理論的核心內容有兩個，一是幾何思維的五個水平，二是與之對應的五個教學階段.

1.幾何思維水平

（1）水平0：視覺

兒童通過整體輪廓辨認圖形，能畫圖或模仿畫出圖形，初步描述圖形，但無法通過圖形的特征或要素名稱來分析圖形，也無法對圖形做概括的論述.

例如，有的兒童可能會區分直線圖形和曲線圖形，但對于同類的圖形，如：正方形和平行四邊形，則不能正確地區分.

（2）水平1：分析

兒童能分析圖形的組成要素及特征，并且在此基礎上了解圖形的一些特性，利用特性解決幾何問題，但無法解釋性質間的關系，也無法了解圖形的定義.

例如，這個階段的兒童可能會區分長方形和三角形，因為“長方形長得像門，而三角形不像門”，卻可能不會區分正方形和菱形，因為他們都是方的，像“手帕”，所以他們是一樣的.

（3）水平2：非形式化的演繹

兒童能建立圖形以及圖形內部性質之間的關系，能探索圖形的內在屬性和其包含關系，使用公式與定義及發現的性質做演繹推論，但不能了解證明與定理.

例如，長方形是特殊的平行四邊形，可能比較難以理解.

（4）水平3：形式的演繹

學生可以了解到證明的重要性和了解“不定義元素”，“公理”和“定理”的意義，確信幾何定理是需要邏輯演算才能建立的，能猜測并嘗試用演繹方式證實其猜測，能夠以邏輯推理解釋幾何學中的公理，定義定理等，也能推理出新的定理，建立定理間的關系網

例如，他們可以把任何一個四邊形分割成兩個三角形，從而由三角形的內角和是180°，推導出四邊形的內角和是360°.

（5）水平4：嚴密性

能在不同的公理系統下嚴謹地建立定理，以分析比較不同的幾何系統，如歐式幾何和非歐幾何.

這五個水平是順次的，但卻又是不連續的.學生在進入某一個水平之前，必須要掌握好在這之前的水平的大部分內容.

2.幾何教學階段

（1）階段1：學前咨詢

教師和學生就學習對象進行雙向交流，教師了解學生情況，并且幫助學生理解要學習的課題，而學生提出問題，觀察術語等，以確定下一步的學習.

（2）階段2：引導定向

教師為學生仔細地安排活動順序，使學生認識到學習進行的方向，逐漸熟悉這一結構的特性.

（3）階段3：闡明

通過前面的經驗和教師盡可能少的提示，讓學生在明白術語的前提下表達自己的看法，開始形成學習的關系系統.

（4）階段4：自由定向

學生碰到多步作業和能以不同方式完成的作業（一題多解），于是他們可以進行自主探索，并在探索的過程中逐漸地獲得經驗，通過明確學習對象之間的關系來確定學習領域的方向.

（5）階段5：整合

學生回顧自己所用的方式并形成一種觀點，對象和關系被統一內化為一個新的思維領域，教師做全面的評述幫助學生完成這一過程.

二、范希爾理論對小學數學教學的啟示

范希爾認為幾何思維各水平間的學習成長歷程，主要來自教學的組織與方法以及教材的選擇和使用，而不是隨著年齡成長和心理成熟而自然而然地提升的.合理地運用范希爾理論有助于教師為學生構建學習環境，提高教學效率.下面結合范希爾理論談談其對小學數學教學的啟示.

（一）聯系生活實際，合理創設情境

范希爾理論中對于水平2的分析能力的培養告訴我們要注重數學聯系生活實際，善于引導學生將幾何概念從生活實際中抽象出來.然而，很多老師只是停留在表面，例如三角形的認識，只會一味地從三角形的標準圖引出概念，這樣很容易讓學生喪失學習幾何的興趣.要在學生熟悉的生活實踐中挖掘數學材料作為教學內容，使學生在學習中感受到數學的親切.這件工作貌似容易，其實并不簡單.要求研究者要熟悉作為教育的數學，同時要了解相應年齡段學生的生活、興趣以及心理狀況.

在馮玉新老師上的“圓的認識”一課中，老師首先課件出示，16個人站成一排，比賽誰先搶到籃球，老師問結果如何呢？學生很快地反應：“最中間那個同學應該最快搶到球.”還有的學生說：“這樣比賽不公平.”老師再次追問，“那你們認為怎樣站才比較公平？”學生回答：“以球為中心圍成一個圓形.”于是，就自然而然地引出所學的課題，這樣的新課導入，與學生們的生活實際緊緊聯系，激發了學生繼續學習的興趣.

其實，在我們的生活中，可以找到無數與“圖形與幾何”的教學相對應的模型.例如，在教學“認識圖形”時，就有各種各樣常見的樓房、積木、食品罐、籃球分別與長方體、正方體、圓柱、球這些立體圖形對應.在教學“圖形的運動”時，電梯、動車的升降，摩天輪、風扇葉子的旋轉以及卡通圖片、剪紙中的對稱等等都是圖形變換的現象.而教學“圖形與位置”時，則可以利用學生的上、下學、商場購物等情境來展開教學，這些都有利于學生空間觀念的形成.

（二）結合認知規律，進行合理預設

在范希爾理論“引導定向”教學階段，老師為學生仔細地安排活動順序，這要求教師備課時做好合理預設，做到結合學生的認知規律來對教材加以理解、研究和再創造，那么，不僅教師教得輕松，學生也學得愉快.

在四年級下冊的“三角形的三邊關系”中，教材的編寫意圖是：讓學生經歷實驗探究活動，歸納出“三角形任意兩邊的和大于第三邊”的結論，這樣的編寫，給老師的教指明了方向，但是學生對為什么要用這四組小棒試搭三角形覺得很茫然，課堂活動變得很盲目，學生只能機械地遵循教師的指導去做.于是，潘小明老師大膽地進行了“再創造”，片段如下：

師：你們知道給每人發兩根小棒干什么嗎？

生1：因為課題是三角形邊的關系，我以為會發三根小棒讓我們擺三角形的，可是只發了2根，我就不知道干什么了.

生2：可能是擺角用的.

師：不是用來擺角的，確實是用來擺三角形的.

生3：三角形是有三條邊，需要三根小棒，你發兩根，我們怎么擺呢？

教師出示：現有兩根小棒，一根長3厘米，另一根長5厘米，再配上一根多長的小棒，就能圍成一個三角形？有幾種配法？

師：將你要配的小棒畫在紙上，你有幾種配法都在紙上畫出來.

學生獨立思考著，操作著……

這樣，只給學生兩根小棒，讓學生自己去創設第3根小棒，促使學生自己去思考需要怎樣的一根小棒呢？化被動的盲目操作為主動的實驗探究，符合了學生的認知規律及幾何思維水平特征，讓課堂變得更靈活.

（三）注重增強體驗，發展空間觀念

我們可以發現，大多數小學生都處于范希爾理論的水平0和水平1的層次，少部分人處于水平2，這說明學生的幾何思維水平發展符合范希爾理論不連續性的特點，從一個思維水平到另一個思維水平的過渡是跳躍的，也是極為不易的，所以我們日常教學中要善于增強學生的體驗，讓學生通過自身的動手、操作、實踐，不斷獲得數學活動的體驗，增強他們的空間觀念，從而幫助學生盡快地實現思維水平的過渡.例如，李艷玲老師“長方體的認識”的教學片段：

師：現在拿出你準備的一個長方體物體，仔細地摸一摸，告訴老師你有什么感覺？

生：我摸到了有平平的、光光的感覺……

生：我感到了扎扎的、癢癢的、硬硬的……

師：哪些地方平平的？那些地方癢癢的？

生（邊操作邊說）：這個地方是平平的，這個地方會扎扎的、癢癢的，這條線硬硬的.

師：像這樣，平平的地方是長方體的面，扎扎的、癢癢的是長方體的頂點，硬硬的線就叫作長方體的棱.

教師再用規范的語言介紹長方體各部分的名稱：面、棱、頂點.

這樣子讓學生在自我動手操作中感受到了長方體的特征，增強了他們的空間觀念，讓抽象的概念變得具體可感.

（四）強調因材施教，提高教學效率

在第0層，也就是視覺期，這個時候孩子主要是通過看，觀察實物，由實物的輪廓來辨認形體或者是圖形.教師必須抓住學生的年齡特征，特定的年齡，意味著特定的思維特征.低年級的學生認識平面圖形和立體圖形，基本上都是先觀察實物，再通過輪廓來識別，而且在認識的時候用的不一定是標準語言.比如，長方形會說瘦瘦的、長長的、像門的樣子；說正方形，方方正正的；說圓形是以前吃過的餅干或者說是硬幣的樣子.對于這個層次，其核心就是要有大量感知性的活動.使用卡片、小棒等教學用具讓學生“分一分、擺一擺”，讓兒童從實際經驗中獲得概念.小學中、高年級的兒童，則已逐漸進展到分析階段，這時候的教學，可以安排適當的觀察及實際驗證的方法，分析圖形的構成要素及圖形的性質.

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