初中分階段實(shí)施數(shù)形結(jié)合思想方法滲透的教學(xué)策略

區(qū)珮霞

【摘要】數(shù)形結(jié)合的思想方法，不像一般數(shù)學(xué)知識(shí)那樣，通過(guò)幾節(jié)課的教學(xué)就可掌握。要想提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的能力，需要教師耐心細(xì)致地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)聯(lián)系數(shù)形結(jié)合思想，理解、運(yùn)用和掌握數(shù)形結(jié)合思想。它需要根據(jù)學(xué)生的年齡特征，學(xué)生在學(xué)習(xí)各階段的認(rèn)識(shí)水平和知識(shí)特點(diǎn)，逐步滲透，螺旋上升，不斷地豐富自身的內(nèi)涵。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合思想；滲透；感受；挖掘；感悟

數(shù)學(xué)是研究客觀世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn)。華羅庚先生指出，數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合既是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種常用的數(shù)學(xué)方法。“數(shù)形結(jié)合”對(duì)教師來(lái)說(shuō)是一種教學(xué)方法、教學(xué)策略，如果長(zhǎng)期滲透，運(yùn)用得當(dāng)，則可以使學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)意識(shí)和思想，并升華成為數(shù)學(xué)方法，長(zhǎng)期穩(wěn)固地作用于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生涯中。

數(shù)形結(jié)合的思想方法，不象一般數(shù)學(xué)知識(shí)那樣，通過(guò)幾節(jié)課的教學(xué)就可掌握。要想提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的能力，需要教師耐心細(xì)致地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)聯(lián)系數(shù)形結(jié)合思想、理解數(shù)形結(jié)合思想、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、掌握數(shù)形結(jié)合思想。它需要根據(jù)學(xué)生的年齡特征，學(xué)生在學(xué)習(xí)的各階段的認(rèn)識(shí)水平和知識(shí)特點(diǎn)，逐步滲透，螺旋上升，不斷地豐富自身的內(nèi)涵。因此應(yīng)該分三個(gè)階段讓學(xué)生感受、挖掘、感悟數(shù)形結(jié)合思想方法。下面就各階段談一下滲透策略。

第一階段：感受數(shù)形結(jié)合思想方法，激發(fā)認(rèn)識(shí)數(shù)形結(jié)合思想方法的興趣

這一策略主要針對(duì)剛進(jìn)入中學(xué)的七年級(jí)學(xué)生，他們雖然具備了一定的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，但直接經(jīng)驗(yàn)少，理解能力差，思維形式正處在由具體形象思維逐步向抽象邏輯思維過(guò)渡的階段，對(duì)隱藏在具體內(nèi)容中的數(shù)形結(jié)合思想方法，抽象又陌生。在這個(gè)時(shí)候最需要老師幫助他們掃清認(rèn)識(shí)障礙。老師要抓準(zhǔn)時(shí)機(jī)幫助學(xué)生激發(fā)使用數(shù)形結(jié)合思想方法的興趣。義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教育，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣是至關(guān)重要的，只有興趣才是學(xué)習(xí)的不懈動(dòng)力。為此我們從學(xué)生身心特點(diǎn)和學(xué)科的特殊性入手，注重內(nèi)容的生活性、豐富性、啟發(fā)性，選擇有探索欲望又能幫助學(xué)生解決問(wèn)題的教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想方法對(duì)學(xué)習(xí)的幫助，真正調(diào)動(dòng)七年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

數(shù)軸的引入是有理數(shù)內(nèi)容體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的重要課題。對(duì)于每一個(gè)有理數(shù)，數(shù)軸上都有唯一確定的點(diǎn)與它對(duì)應(yīng)，因此，兩個(gè)有理數(shù)大小的比較，是通過(guò)這兩個(gè)有理數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置關(guān)系進(jìn)行的（實(shí)數(shù)的大小比較也是如此）。相反數(shù)、絕對(duì)值概念則是通過(guò)數(shù)軸上的點(diǎn)與原點(diǎn)的位置關(guān)系來(lái)刻畫(huà)的。盡管我們學(xué)習(xí)的是有理數(shù)，但要時(shí)刻牢記它的形（數(shù)軸上的點(diǎn)），通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想方法的運(yùn)用，幫助七年級(jí)的學(xué)生正確理解有理數(shù)的性質(zhì)及其運(yùn)算法則。

例如：學(xué)習(xí)“有理數(shù)的加法”

學(xué)生在小學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)算術(shù)四則運(yùn)算，而初中的有理數(shù)運(yùn)算是以小學(xué)算術(shù)四則運(yùn)算為基礎(chǔ)的。不同的是有理數(shù)運(yùn)算多了一個(gè)符號(hào)問(wèn)題。因此符號(hào)問(wèn)題是一個(gè)很重要的問(wèn)題，在有理數(shù)運(yùn)算法則中都突出了符號(hào)，它是運(yùn)算法則的重要組成部分。這一點(diǎn)應(yīng)引起大家的重視，并且在確定符號(hào)方面一向都是學(xué)生的大難題。這里可以借助數(shù)軸幫助學(xué)生理解如何確定符號(hào)，與此同時(shí)引入數(shù)形結(jié)合思想，激發(fā)學(xué)生認(rèn)識(shí)和學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合思想的興趣。

在學(xué)習(xí)有理數(shù)加法法則時(shí)可以這樣創(chuàng)設(shè)情境：

步驟1.做一做：利用數(shù)軸來(lái)表示有理數(shù)加法的運(yùn)算過(guò)程，以原點(diǎn)為起點(diǎn)，規(guī)定向東的方向?yàn)檎较颍蛭鞯姆较驗(yàn)樨?fù)方向（下列做法要求學(xué)生按要求畫(huà)出數(shù)軸，然后寫(xiě)出結(jié)果）。

（1）先向東移動(dòng)2個(gè)單位，再向東移動(dòng)3個(gè)單位，一共向東移動(dòng)了 個(gè)單位；

（2）先向西移動(dòng)2個(gè)單位，再向西移動(dòng)3個(gè)單位，一共向西移動(dòng)了 個(gè)單位；

（3）先向西移動(dòng)3個(gè)單位，再向東移動(dòng)2個(gè)單位，此時(shí)在原點(diǎn) 側(cè) 個(gè)單位；

（4）先向東移動(dòng)3個(gè)單位，再向西移動(dòng)2個(gè)單位，此時(shí)在原點(diǎn) 側(cè) 個(gè)單位；

（5）先向西移動(dòng)4個(gè)單位，再向東移動(dòng)4個(gè)單位，則此時(shí)在 .

步驟2：讓學(xué)生把上述式子寫(xiě)在一起

（6）請(qǐng)把剛才5種情況列式表示

① ；② ；

③ ；④ ；

⑤ .

步驟3：仔細(xì)觀察上述算式，通過(guò)小組討論的形式歸納總結(jié)你發(fā)現(xiàn)了什么運(yùn)算規(guī)律（考慮一下應(yīng)該分幾種情況）？并寫(xiě)出來(lái)。

授課過(guò)程中，充分顯示數(shù)形結(jié)合思想將抽象的符號(hào)確定問(wèn)題具體化為數(shù)軸上的方向確定問(wèn)題，讓學(xué)生在畫(huà)數(shù)軸的過(guò)程中不自覺(jué)地獲得了知識(shí)。課后針對(duì)只用了課本引例的班級(jí)與加入數(shù)軸引例的班級(jí)進(jìn)行測(cè)試對(duì)比，數(shù)據(jù)顯示得到數(shù)形結(jié)合思想的幫助效果是明顯的（其中7（2）、（4）是進(jìn)行試驗(yàn)的班級(jí)）

“數(shù)學(xué)好玩”曾是數(shù)學(xué)家陳省身先生對(duì)數(shù)學(xué)的贊美，如何讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)有這種特有魅力，需要教師在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣上下功夫，撥動(dòng)學(xué)生的好奇心，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的原動(dòng)力。因此在引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)形結(jié)合思想的前提就是激趣。我們可以把生活中的形與數(shù)相結(jié)合遷移到數(shù)學(xué)中來(lái)，在教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想的滲透，挖掘教材提供的機(jī)會(huì)，把握滲透的契機(jī)。

第二階段：挖掘數(shù)形結(jié)合思想方法，養(yǎng)成思維

八年級(jí)的學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想方法有了初步的了解和認(rèn)識(shí)，其思維和能力有了質(zhì)的飛躍。我們盡可能在設(shè)計(jì)問(wèn)題和設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)挖掘、顯化數(shù)形結(jié)合思想方法，讓思想方法在學(xué)生大腦中“著床”，積累更多經(jīng)驗(yàn)，逐漸養(yǎng)成思維能力，利用數(shù)形結(jié)合思考的習(xí)慣，為今后的學(xué)習(xí)做好鞏固鋪墊工作。

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，同時(shí)又是“數(shù)形結(jié)合”的思想方法體現(xiàn)得最充分的章節(jié)。平面直角坐標(biāo)系把“點(diǎn)”和“數(shù)”對(duì)應(yīng)起來(lái)，使抽象的“數(shù)”與直觀的“形”有了統(tǒng)一，開(kāi)創(chuàng)了研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的新途徑。

例如：學(xué)習(xí)“正比例函數(shù)”圖象及性質(zhì)

在這里我們可以借助正比例函數(shù)的知識(shí)作為載體，挖掘其中的數(shù)形結(jié)合思想方法，引導(dǎo)學(xué)生如何通過(guò)“數(shù)”與“形”來(lái)研究一種函數(shù)的性質(zhì)，從而養(yǎng)成一種思維的習(xí)慣。在學(xué)習(xí)一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)中也可以用同樣的方式方法類(lèi)比學(xué)習(xí)，降低學(xué)習(xí)的難度，減輕學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān)，更重要的是增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的信心。

教學(xué)過(guò)程可以這樣設(shè)計(jì)：

步驟1：理解圖象定義，推斷出畫(huà)函數(shù)圖象的一般步驟

函數(shù)的圖象的定義從字面理解較為抽象，我們可以借助本章開(kāi)始摩天輪上一點(diǎn)的高度與旋轉(zhuǎn)時(shí)間之間函數(shù)關(guān)系的圖象，引導(dǎo)學(xué)生理解函數(shù)中自變量、因變量與圖象上的點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，點(diǎn)動(dòng)成線形成了圖象。

因此引出問(wèn)題思考：若要研究某種函數(shù)的圖象特征，我們?cè)搹暮稳胧帜兀肯旅鎻漠?huà)正比例函數(shù)y=2x的圖象來(lái)想辦法。上面已經(jīng)知道函數(shù)圖象由很多點(diǎn)組成，那么我們必須求出很多相對(duì)應(yīng)的的函數(shù)值。為了表達(dá)方便，列表表示清晰；下一步可以利用表中各組對(duì)應(yīng)值作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系內(nèi)找出相應(yīng)的點(diǎn)；最后把點(diǎn)一次連接起來(lái)。于是就總結(jié)出畫(huà)函數(shù)圖象的一般步驟：列表，描點(diǎn)，連線。

那么往下畫(huà)正比例函數(shù)的圖象就水到渠成了。

步驟2：“形”中覓“數(shù)”，觀察圖象歸納性質(zhì)

在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出正比例函數(shù)y=x，y=3x，和y=-4x的圖象后，教師作為教學(xué)活動(dòng)的引導(dǎo)者，設(shè)計(jì)好問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生探究：正比例函數(shù)圖象的形狀，所處的位置（提問(wèn)時(shí)可以追問(wèn)，所處位置受什么影響？）；上述函數(shù)中，隨著x值的增大，y的值如何變化（提問(wèn)時(shí)可以追問(wèn)，變化的不同又受什么影響，怎樣影響？）。探究問(wèn)題，作為教師應(yīng)該做好組織者，讓學(xué)生在小組學(xué)習(xí)的模式下進(jìn)行，讓學(xué)生在自主探究、合作交流的學(xué)習(xí)方式中獲得最佳的學(xué)習(xí)效果。

借助正比例函數(shù)教學(xué)開(kāi)啟函數(shù)學(xué)習(xí)的大門(mén)，將研究函數(shù)的套路勾畫(huà)出來(lái)，為以后其他函數(shù)的研究積累經(jīng)驗(yàn)

第三階段：感悟數(shù)形結(jié)合思想方法，衍生思維

數(shù)學(xué)思想的形成需要在過(guò)程中實(shí)現(xiàn)，只有經(jīng)歷問(wèn)題解決的過(guò)程，才能體會(huì)到思想的作用，才能理解數(shù)學(xué)思想的精髓。讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想和方法，關(guān)鍵是讓學(xué)生經(jīng)歷和體驗(yàn)一些數(shù)學(xué)知識(shí)的獲取過(guò)程，并在其中獲得對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的感悟。當(dāng)學(xué)生的認(rèn)識(shí)和思維又上了一個(gè)臺(tái)階后，可以要求他們對(duì)數(shù)形結(jié)合思想方法進(jìn)行梳理，以進(jìn)一步提高思維能力和解決問(wèn)題的能力。這一階段是數(shù)形結(jié)合思想內(nèi)化的過(guò)程，它是獲得能力的自身性增長(zhǎng)與實(shí)質(zhì)性提高、具有形成新認(rèn)知結(jié)構(gòu)功能的過(guò)程。因此在這階段的教學(xué)要做到：

1.反復(fù)理解，歸納提升

在教學(xué)中，教師要對(duì)具體的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行深入的分析對(duì)比，挖掘相應(yīng)內(nèi)容所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想，進(jìn)行反復(fù)滲透理解，歸納提升，提高學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平。例如，學(xué)習(xí)反比例函數(shù)，既要以已有的研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)和方法為基礎(chǔ)，又要深化和豐富對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)，可結(jié)合函數(shù)的表達(dá)式推測(cè)函數(shù)的圖象形狀，根據(jù)圖象的形狀從不同角度歸納函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)以形思數(shù)、以數(shù)覓數(shù)的思維形式。學(xué)習(xí)過(guò)程中注重反比例函數(shù)與一次函數(shù)的對(duì)比，幫助學(xué)生反復(fù)理解數(shù)形結(jié)合思想，把握學(xué)習(xí)函數(shù)的思維規(guī)律，歸納總結(jié)學(xué)習(xí)方法，提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力。

2.注重復(fù)習(xí)課的提煉，形成思維方法

在九年級(jí)對(duì)整個(gè)初中數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)中，教師要對(duì)具體的知識(shí)進(jìn)行深入貫通，對(duì)數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行反復(fù)的滲透以，提高學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平；讓學(xué)生通過(guò)不斷重復(fù)、不斷深入思考，逐步“領(lǐng)悟”數(shù)學(xué)知識(shí)、技能中蘊(yùn)涵的數(shù)形結(jié)合思想；讓學(xué)生在用數(shù)形結(jié)合思想解決具體問(wèn)題時(shí)，逐步形成程序化的操作，并構(gòu)成解題方法。所以注重復(fù)習(xí)課的方法提煉顯得尤為重要。

例如：反比例函數(shù)

【復(fù)習(xí)目標(biāo)】

1.能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)圖象和函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)一步理解其性質(zhì)；

2.能利用反比例函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題；

3.掌握反比例函數(shù)和一次函數(shù)的綜合運(yùn)用，深刻體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。

【典型例題】

【例1】水池內(nèi)裝有12 m3的水，如果從排水管中每小時(shí)流出x m3的水，則經(jīng)過(guò)y小時(shí)，就可以把水放完。

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式。

（2）畫(huà)出函數(shù)的圖象。

（3）若必須在3 h之內(nèi)把水放完，那么每小時(shí)排水量不能小于多少？

【例2】如圖，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A（-4，-2）和B（a，4）.

（1）反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)圖象回答，當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時(shí)，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值。

（3）連接OA，OB，

求△AOB的面積。

四、小結(jié)

通過(guò)三年三個(gè)階段的數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透，讓學(xué)生在數(shù)與形的結(jié)合、抽象與直觀的結(jié)合、思維與感知的結(jié)合中，使初中學(xué)生接觸到的數(shù)學(xué)不再是枯燥、乏味、抽象的，而是美麗、生動(dòng)、具體的，使初中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)表現(xiàn)出濃厚的興趣，學(xué)會(huì)主動(dòng)探索、積極思考、不斷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題，學(xué)習(xí)的主動(dòng)性大大提高。學(xué)生獲得數(shù)學(xué)的基本思想是數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)，他們?cè)谟脭?shù)學(xué)思想解決具體問(wèn)題時(shí)，會(huì)逐步形成程序化的操作，從而形成數(shù)學(xué)思想，掌握正確的學(xué)習(xí)方法，使其在今后的學(xué)習(xí)、生活中終身受益。

【參考文獻(xiàn)】

[1]義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀

[2]中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考

[3]作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)思想與方法