淺談如何求橢圓的離心率

鄧宏江

摘要：就近年來的高考命題趨勢來看，高考數學對于學生的數學綜合能力的要求越來越高，在這一背景下高中教師不僅僅應當注重學生的基礎知識的培養和夯實，更是應當從新高考的背景下對學生解題能力、思維能力和綜合能力進行培養和提升。本文通過筆者總結的幾個例題的角度來看，對于如何求橢圓的離心率做出了一些探討總結，以期望能夠啟發廣大考生的思維。

關鍵詞：高中數學;橢圓習題;離心率;解題方法

引言：橢圓離心率是橢圓的幾何性質中的重要內容，但是由于橢圓不像是圓形那樣有固定的公式對于自身的相關性質進行求解，橢圓離心率的求解過程中往往需要學生綜合的運用各種不同的數學知識，比如不等式、方程等知識點來進行求解。這就對于學生的綜合能力要求很高。在這一背景下，教師應當積極的結合學生的實際探究橢圓離心率的解題方法，讓學生認知到解橢圓離心率的關鍵點，進而促進學生在高考緊張的數學考試背景下能夠快速的找到解題思路，幫助學生獲取理想的學習成績。

1 基礎題型利用定義求解

在橢圓離心率求解的過程中最基礎也是最基本的就是利用定義求解，在利用這一方法的過程中需要學生長出題目中給出的c、a中的值或者在題目中找出，然后再利用相關的值進行解析，這一類題型較為簡單，需要學生對于橢圓離心率的定義能夠深入掌握。

例一、已知橢圓的焦距、短軸長、長軸長成等差數列，則該橢圓的離心率為（）。

例題解析：本題由于沒給出具體的數值，那么就可以利用設未知數的方式來進行相關的解析，比如設橢圓的長軸為2a，設橢圓的短軸為2b，設橢圓的焦距為2c，則可以利用題目中給出的“等差數列”這一條件列出等式：2a+2c=2×2b，然后在整理等式可以得出橢圓的e=。

2 提升題型利用方程求解

提升題型筆者在這里定義的是較難的題型，這類題型往往具有較為復雜的題干，其定義中的c、a等和橢圓離心率相關的數值沒有直接給出，需要學生根據題目條件進行解析，然后利用題目中的等量關系進行相關方程的列舉，最終求出橢圓的離心率。利用這種方法進行解題的過程中不僅僅要求學生對于橢圓相關的定義和公式進行牢固的掌握，更是需要對于方程等相關知識點能歐透徹理解，認真的讀懂題目，才能夠找出題目中隱含的方程條件。

例二、設橢圓的兩個焦點分別為F1、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若三角形F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為（）

例題解析：仔細分析題目我們可以看出本題給出的關鍵條件為“三角形F1PF2為等腰直角三角形”并且橢圓的長軸垂直相較于橢圓于P點，這就可以利用等腰三角形的性質來進行解析，利用F1=F2這一條件我們可以輕易的列出等式2ac=b2=a2c2，再對這個等式進行轉化，最終可以轉化成e2+2e=0，最終利用方程組進行求解。這樣就可以快速的進行解題。學生在觀察這一題目時應當在草紙上畫出相應的圖形，這樣才能夠有效的幫助學生進行題目的解析。

3 綜合題型利用不等式求解

在橢圓離心率求解的題目中讓學生最為頭疼的就是利用不等式進行求解，一方面是由于不等式解析起來較為困難，另一方面就是往往蘊含不等式相關知識的題目都較為綜合，對于學生綜合能力的要求很高，因此筆者將蘊含不等式知識點的題目定義為綜合題型。綜合題型中運用不等式的知識點往往存在著幾種方式，接下來筆者就針對不同的方式進行分類的例題解析：

3.1 直接根據題意列出不等式關系進行求解

例三、橢圓的焦點為F1、F2，兩條準線與x軸相交于M、N點，如果∣MN∣≦2∣F1F2∣，則該橢圓的離心率的取值范圍為（）。

例題解析：根據題目可以得出很簡單的得出a和c之間的不等關系式，因此，可以進一步的利用這一不等關系式進行取值范圍的求解。

3.2 利用平面幾何的關系或者圓錐曲線之間的關系建立不等式求解

例四、橢圓的焦點為F1、F2，若其右準線上存在點P ，線段PF1的中垂線過點F2，那么求得此橢圓的離心率取值范圍為（）。

例題解析：在進行例題解析的過程中明顯的看出本題應當利用“中垂線”這一條件進行解題，因此可以利用這一點列出不等式：，然后經過轉化進行解析。在這類題目中應當利用題目中所給出的幾何關系進行解答，這樣能夠更加快速準確的找到解題思路。

3.3 利用圓錐曲線的性質建立不等式求解

例五、橢圓的焦點為F1、F2，如果點P位其上的一點，∣PF1∣=2∣PF2∣，則該橢圓的離心率的取值范圍為（）。

例題解析：本題目中的關鍵條件為∣PF1∣=2∣PF2∣，這就需要學生結合圓錐曲線的性質來進行相應的不等式的建立，由本題的條件可以得出，進一步的通過這個不等式進行轉化，求出離心率的取值范圍。

4 結語

橢圓的離心率在最近幾年中已經逐漸的成為了高考命題的熱點，而橢圓離心率的相關題目不僅僅考察的是學生的綜合能力，更是要求學生應當掌握相關的知識技巧來進行解題。高中階段是學生學習的重要階段，教師應當積極的利用方法的總結來提升學生的數學思維，學生掌握良好的數學解題方法不僅僅可以幫助學生提升自身的解題效率，更是可以全面的促進學生的能力提升。

參考文獻：

[1] 朱國生.淺談如何求解“特殊”橢圓的離心率[J].教學導航，2016.

[2] 包里.淺談橢圓離心率的求法[J].中學數學教與學，2017.

[3] 賈平.淺談橢圓離心率的范圍問題[J].考題研究，2017.

（作者單位：四川省廣元外國語學校）