數學核心素養水平在高考中的考查及教學啟示

胡錄生

【摘要】數學核心素養水平的科學考查是實現數學育人價值的關鍵舉措，高考試題對核心素養的考查是引領核心素養落實的重要環節。本文基于高考試題從“情境與問題”“知識與技能”“思維與表達”“交流與反思”四個方面對核心素養水平的考查進行案例分析并提出四個方面的教學啟示，為一線數學教師在教學實踐中落實數學核心素養水平的考查提供思路。

【關鍵詞】數學核心素養；高考試題；核心素養水平；考查；教學啟示

一、問題的提出

2019年高考數學全國I卷是《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱“課標”）頒布后第二年的高考卷，試題強化了數學的育人功能、價值導向與教學引領作用，突出了新高考改革所倡導的突出獨立思考、邏輯推理、信息加工、數學應用、數學閱讀、語言表達和文字寫作等關鍵能力及核心素養水平的考查。那么，高考試題如何考查學生數學核心素養水平？如何評價學生核心素養水平的達成？如何落實學生數學核心素養的培養？本文基于2019年高考數學全國I卷理科試題的案例分析，談談高考實踐中如何考查學生數學核心素養水平，并提出落實核心素養培養的若干教學啟示。

二、案例分析

“課標”明確提出了“數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析”六大數學學科核心素養。“課標”同時對每個核心素養劃分為分3個水平：高中畢業要求（水平一），高考要求（水平二），大學自主招生參考（水平三），每一個核心素養水平都從“情境與問題”“知識與技能”“思維與表達”“交流與反思”4個方面進行了具體描述。下面以2019年高考數學全國I卷理科試題為例分析每個數學核心素養的考查水平。實際上每道試題都發揮了考查多個核心素養的功能，本文每個案例分析試題重點考查的一個核心素養。

1.數學抽象

數學抽象是在各種情境中對數量關系和空間形式抽象出數學概念、命題，并用數學語言予以表述的素養，是形成理性思維的重要基礎。數學抽象的行為表現為：從情景或條件中抽象數學概念和規則，提出數學問題，建立數學模型，提煉和掌握數學方法，領悟數學結構體系。

案例1 ：（2019年數學全國I卷理科第4題）

古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底

的長度之比是（≈0.618，稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是.若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26 cm，則其身高可能是（ ）

A.165 cm B.175 cm

C.185 cm D.190cm

本題以著名雕塑“斷臂維納斯”為背景，提出最美人體黃金分割比例問題，結合世界優秀數學文化，將美育融入數學教育（情境與問題），考查黃金分割比例，不等式及估算法知識，將相等關系轉化為不等關系來解決為題的能力（知識與技能）。

思維與表達：如圖1，從“斷臂維納斯”情境中抽象概念和規則：頭頂到咽喉的距離小于頭頂至脖子下端的距離26cm，即AB<26，肚臍到足底的距離大于腿長105cm，即CD>105。

圖1

用數學語言表達概念：設該人的身高為xcm，由得，所以，。由，得，所以，，又由，得 ，所以，。提煉出解決問題的數學方法：某人身高滿足不等式。

學生完整解出此題，需要達到數學抽象素養水平二的要求，即能夠在關聯的情境中抽象出“不等式”這個數學概念，并在新的情境中運用黃金分割比例和估算法估算出該人身高。此題還考查了學生的邏輯推理素養。

2.邏輯推理

邏輯推理是指學生依據一些事實、條件和命題，通過邏輯關系，推出其他命題和結論的素養，它是數學邏輯嚴密的基本保障。邏輯推理素養的行為表現為：掌握推理的規則和基本形式，發現問題和提出命題，合理表述論證過程，合符邏輯地表達與交流等。

案例2：（2019年高考數學全國I卷理科第20題）

已知函數，為的導數.證明：

（1）在區間存在唯一極大值點；

（2）有且僅有2個零點

本題以正弦函數和對數函數為載體，證明函數存在極值點和零點個數得問題（情境與問題），考查函數單調性、零點、極值點的概念，學生運用導數方法判斷函數的單調性，實現對問題中極值點、零點的個數的判斷（知識與技能）。

思維與表達：第1問中，先求導得，觀察發現，這是三角函數與冪函數的復合解析式，較難判斷的正負，需要提出新的命題：，令，當時，單調遞減，發現問題：，可知在有唯一零點，提出新方案解決“存在但求不出值”的問題，可設該零點為，則當時， ；當時，.推出結論：在 上為增函數，在上為減函數，所以在上有且只有一個極大值點。第2問可作同樣的分析。

通過解答此題的過程，能有效地考查學生是否達到了邏輯推理素養水平三的目標。即學生面對陌生的解析式的綜合情境中，用數學的眼光找到合適的研究對象如，對于新的數學問題如函數的單調性和函數的值正負的判斷，提出不同的假設前提：， 及，從而推斷出結論。對于學生來說，代數證明的抽象性和邏輯性往往高于幾何證明，本題設置的函數解析式具有創新性，能進一步考查學生的數學理性思維的自信、敢于挑戰的勇氣和堅強的意志品質。

3.數學建模

數學建模是指學生能在各種情境中，發現問題，從數學角度構建有效模型，用數學方法計算求解模型，從而解決問題的素養，它是數學應用的重要形式。主要表現為：發現數量關系或空間聯系，建立數學模型，分析求解模型，解釋問題，提出方案。

案例3：（2019年高考數學全國I卷理科第10題）

已知橢圓C的焦點為，過F2的直線與C交于A，B兩點。若，則C的方程為（ ）

圖2

此題以學生熟悉的橢圓為數學情境，提出求解橢圓標準方程問題，即求（情境與問題），考查橢圓的定義、焦點三角形， 的關系。學生通過定義，發現焦點三角形中相關線段的等量關系，利用余弦定理建立數學模型（知識與技能）。

思維與表達：如圖2，尋找橢圓中的關系，分析線段之間的關系及橢圓的定義，可知

得。

構建數學模型：在和中，有兩個關聯條件與結論的量和角B，由余弦定理得：

數學模型是連接數學內部數量關系與幾何關系的“橋梁”，使數學理性思維和現實物化世界產生了本質聯系。本題中，學生在熟悉的情境中利用余弦定理，建立三角形各邊等量關系模型，求出 ，可以認為學生達到了數學建模素養水平二。今年高考卷還有其他考查數學建模素養的試題如第6題，根據《周易》中的“卦”建立古典概型，第15題中由甲、乙兩支籃球隊比賽結果聯系獨立事件概率模型，第21題給出了甲、乙兩種新藥的藥效評測模型。本題還考查了學生的數學運算素養。

4.直觀想象

直觀想象是指學生通過幾何直觀和空間想象發現事物的本質聯系，利用數形結合方法探索事物的數學結構，建立數與形的聯系解決問題的素養，它是進行數學演繹與推理、構建抽象結構的思維基礎。直觀想象素養的表現為：發現形數關系，通過幾何直觀理解問題，運用圖形描述問題，利用想象認識事物。

案例4 （2019年高考數學全國I卷理科第12題）

已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F分別是PA，PB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為 （ ）

A. B.

C. D.

圖3

本題以三棱錐為背景，球外接三棱錐為紐帶，提出求球的體積問題（情景與問題），考查正三棱錐和長方體外接球的體積及球的半徑與幾何體棱長的關系、線面垂直的判定定理，學生運用空間想象能力，發現線面垂直關系，推斷、求出正方體外接球的半徑（知識與技能）。

思維與表達：如圖3，由數量等式建立圖形關系，由及為正三角形等數量關系，構建直觀模型為正三棱錐，根據和為等腰三角形，取AC的中點G，連接PG，BG推導出平面PBG，從而，所以平面PAC。由此發現正三棱錐P-ABC的側棱PA，PB，PC互相垂直，構建新的直觀模型：正方體的外接球，利用數形結合方法求出，故球的體積為。

解答此題時，學生需要構建幾何圖形：正三棱錐，通過研究數量和圖形的關系如，發現數學問題：平面PAC和正三棱錐的三條側棱兩兩垂直，直觀想象出熟悉的幾何模型：正方體及其外接球。此時，學生達到了直觀想象水平二的要求。按上述方法完成此題，說明學生形成了數形結合的思想，擁有較強的空間想象能力和幾何推理能力。

5.數學運算

數學運算是學生在各種情景中，理解運算對象，根據運算法則，選擇程序和方法，進行化簡、求值，實現問題解決的素養，它是解決數學問題，求得結果的基本手段。數學運算素養的行為表現為：明了運算的對象，掌握運算的方法，根據一定規則設計運算程序，得到結果或數學模型。

案例5（2019年高考數學全國I卷理科第16題）

已知雙曲線的左、右焦點分別為F1，F2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點.若，則C的離心率為_____.

圖4

此題以雙曲線為載體，由兩個向量等式確定問題：求雙曲線的離心率（情境與問題），考查雙曲線的漸近線方程、離心率、 的關系及向量相等、數量積等知識，學生運用數形結合思想，將兩個向量式轉化為坐標表示，求出 點的坐標，獲得的關系式，通過字母運算求出離心率（知識與技能）。

思維與表達：如圖4，明晰運算對象B點坐標和，探究運算思路，用向量法將向量式化為坐標形式，也可用幾何法將向量式轉化為點A是F1B的中點，，設計運算程序：設點或由方程組求出點。這里不妨設點，故，，由可得m=a故。由 得，代入直線方程得，解得c=2a，故離心率為2。

此題解答時，學生在綜合情境中確定了合適的運算對象：B點坐標和，構造有效的運算程序：由求得和由求的通過點A在直線上獲得，進行簡便的字母運算解決問題。 此題若要求學生呈現解題過程，我們根據學生選擇的運算對象和設計的運算程序，可以有效地考查他們的運算素養水平。如上述簡便的運算過程，能反映出水平三層次的數學運算素養。由此說明，數學運算是解決問題的手段，思維的角度才是運算準確、簡便的關鍵，理性思維的深度和廣度是學生應該擁有的核心數學品質。

6.數據分析

數據分析是指學生以現實事物為研究對象，有效獲取數據，運用概率統計方法，分析數據，形成認識，構建數學模型，科學推斷、預測和決策的素養，它是研究隨機現象的重要數學技術。數據分析的重要表現為：原始數據的收集和整理，大數據的理解和分析，新結論的推斷和解釋。

案例6：（2019年高考數學全國I卷理科第21題）

本案例僅就該題第2問對數據分析素養水平的考查作一個詳細分析，原題目請讀者參閱2019年數學全國I卷理科第21題。

本題以甲、乙兩種新藥的藥效評測試驗為背景，通過概率、統計與數列的綜合應用，提出藥效試驗模型的證明和檢驗問題（情境與問題）。考查隨機事件分布列、概率、統計與等比數列等重要內容。學生通過閱讀材料，分析甲藥得分數據，求出分布列。提取甲藥藥效試驗的概率模型信息，運用數列遞推關系，證明等比數列，由等比數列模型求出 的值，以此來解釋試驗方案的合理性，對現實問題作出科學判斷（知識與技能）。

思維與表達：第2問中，閱讀并整理數據a=0.4，b=0.5，c=0.1，提取信息，利用數（下轉第43版）（上接第42版）列的遞推關系化歸為新的數據模型：，從而證明數列 是等比數列。進行定量的分析，由，因聯想模型，得到，進一步求得。

交流與反思：P4表示最終認為甲藥更有效的概率，當甲、乙兩藥的治愈率分別為，時，在的現實情況下，認為乙藥更有效，由數據說明“認為甲藥更有效的概率”非常小，此時得出“甲藥更有效”這樣的錯誤結論的概率非常小，可以推斷這種試驗方案合理。本題充分體現了數學的應用性和試題的創新性以及數學知識解決現實問題的意義與價值。教學實踐中遇到類似問題：已知數列滿足，證明數列為等比數列，學生會質疑證明這么復雜的命題有何意義？本題給出了回應。

本題是在科學試驗情境下，提出數學應用性的隨機問題，學生需運用概率統計和數列的知識，構造概率模型，充分理解數據的含義，解釋代表的現實意義，從而作出“這種試驗方案合理”的決策。學生完成此題，可以認為達到了數據分析素養水平三的要求。

三、教學啟示

學生數學核心素養的達成是螺旋式上升的，對其水平的考查更是一種定性分析與定量統計相結合的艱巨工作，目前還沒有明確的細化標準，但上述對高考試題考查學生數學核心素養水平的分析，讓我們獲得如下幾個方面的教學啟示。

1.聚焦核心概念和通性通法，促進核心素養的形成。數學概念蘊含著事物的數量關系與空間結構，數學核心素養生長的沃土。核心素養總是伴隨著數學概念和思想方法的習得過程中逐步形成的。如講授《橢圓及其標準方程》時，可將多種素養交融其中。教師要設計情境，引導學生操作探究動點的軌跡，抽象出橢圓定義，描述動點滿足的條件，建立條件關系式，推導與化簡方程，構建簡潔、優美的方程模型，進行幾何直觀作圖。

2.揭示數學問題的本質，強化核心素養品質的培養。教學實踐中應引導學生發現問題的本質，指導學生運用理性思維撥開情景的迷霧，挖掘問題的數學主干知識，尋求數學方法，多角度地解決問題。學生的核心素養一定是在問題的解決中前行，素養的品質在探索數學本質中凝聚！如學習“回歸方程”時，教師首先提出“脂肪含量與年齡的關系”等問題，其次揭示其本質就是求擬合直線方程，再次提升統計的思維、抽象能力和運算能力，最后激發數學自信和不畏艱難、敢于挑戰的數學精神。

3.樹立教學實踐的系統觀，推進核心素養的整體發展。六個核心素養在學生的數學學習與活動中互相交融與整體發展的。這就需要教師的教學實踐站在知識系統的整體高度來實施，在每一個概念、定義、公式和定理的教學中，在教學的每個環節和每個數學活動中，都要從整體上提升多個核心素養及其不同水平。我們可以教材為基礎，站在函數體系的整體高度，對教材中關聯性內容進行整合、重組，實現整體大于局部之和的教學效果。例如，對《三角函數》一章進行基于核心素養的單元教學設計：我們可以重組交融，在概念系統中提升數學抽象和理性思維；在圖像變換中增強直觀想象和數學感知能力；在性質體系中發展數學運算、邏輯推理和變換能力；在模型結構中提高數學建模、數據分析及應用能力；在閱讀材料中沉淀數學文化和鑒賞水平。我們可以縱橫拓展，從縱向的思想性如函數與方程、數形結合、分類討論、有限無限等數學思想的提升到橫向的綜合性如與其他函數、方程、集合、向量等知識綜合能力的培養。學生在這種單元教學理念的指導下，通過“四基”學習活動，發展“四能”，培育“六大素養”，提升數學個性品質。

4.重視評價體系的設計，助力核心素養水平的考查。學生的核心素養能否有效達成，關鍵在于日常教學的過程評價、學業水平考試和終極的高考測評。教師要明晰核心素養的內涵，清晰解讀每個素養的主要表現，對學生學習中展示的主要表現，應善于觀察，給予精確的評價和激勵。日常教學中的每個教學內容、每一節課、每個環節、每一道題都要有明確的核心素養培養目標和考查水平。數學活動和各類試題的設計要充分考慮六個核心素養的分布比列，給出每個核心素養的考查水平細目表和評分標準，并嘗試提出相應的數學情感、數學文化、數學創新和數學意志品質指標。

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