從一道數學題的解法看我們如何跟著數學一起成長

張建軍

【摘要】二次函數是初中數學的重點和難點，是初、高中知識銜接的一個重要知識點。因此，也是中考的一個重點考查內容。本文試著從初中到高中，再到大學知識的方法，通過對該題的不同解法的分析，體驗數學在我們成長的不同階段，給我們帶來的不同感受。

【關鍵詞】二次函數；三角形面積；最大值；行列式

筆者有幸參加了一次面向初中生的自主招生考試的閱卷工作，其中一道“壓軸題”引起了筆者的興趣。題目是這樣的：已知二次函數的圖像和x軸交于A（-1，0）、B（4，0）兩點，和y軸的交點是C（0，-4）。點P是二次函數圖像上位于直線BC下方的一點。如圖一所示。

圖一

（1）求該二次函數的解析式。

（2）是否存在點P，使得是以 OC為底邊的等腰三角形？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，說明理由。

（3）當點P在何位置時，的面積最大？求出此時點P的坐標和面積的最大值。

題目的第（1）問，是考查學生用“待定系數法”求二次函數解析式，難度不大，有不少學生做出來了。

在初中數學中，二次函數的解析式常用的有三種表達方式，即一般式、頂點式和交點式（兩根式）（a≠0，x1，x2是拋物線與x軸兩交點的橫坐標）.顯然這一問用“頂點式”就不合適了，用“一般式”和“交點式（兩根式）”這兩種方法應該都可以，不妨都來嘗試一下。

方法一：設二次函數的解析式為.

將A（-1，0）、B（4，0）、C（0，-4）三個點的坐標代入，可得解之得

∴二次函數的解析式為

方法二：由于二次函數的圖像和x軸交于A（-1，0）、B（4，0）兩點，因此可設二次函數的解析式為.

將C（0，-4）點坐標代入，得a=1.

∴二次函數的解析式為y=x2-3x-4

對比這兩種方法，不難看出方法二更簡潔一些。我們在閱卷過程中發現，這兩種方法都有學生使用。

題目的第（2）問，是考查等腰三角形的性質。到線段OC的兩個端點距離相等的點應該在線段OC的垂直平分線上，所以點P應該是線段OC的垂直平分線與拋物線的交點。解法如下：

作線段OC的垂直平分線DP，交線段 OC于點D，交直線BC下方的拋物線于點P.如圖二所示。

圖二

∵PO=PC，則點P即為滿足條件的點。

∵C（0，-4），∴D（0，-2）.故點P的縱坐標為-2。

令解得或（舍去）。

∴存在滿足條件的點，其坐標為。

從這一問的解答過程也不難看出，如果題設中沒有“點P在直線BC的下方”這一限制條件，則滿足條件的點應該有兩個，它們的坐標為。

從閱卷的過程來看，這一問的難度比第（1）問的難度稍微大些，但還是有不少學生做出來了。

關于第（3）問，在初中教材里，三角形的面積計算問題當然首先考慮公式（其中a為三角形的底邊，h為底邊上的高），同時由于PB和PC這兩條邊長都不確定，所以其它公式也就可以不用考慮了。但是如果直接應用公式，你就會發現由于沒有“垂直”這個條件，“高”很難直接找到。看來只能創造“垂直”，去發現“高”了。

考慮到點P的坐標本身就是與坐標軸“垂直”的兩個量，所以可以嘗試從點 向坐標軸引“垂線”的方法。

方法一：過點P向x軸作垂線，垂足為 E，交直線BC于點F，如圖三。

圖三

設點p（x0，y0），其中。則 E（x0，0）。

∵B（4，0），C（0，-4），

∴直線BC的解析式為y=x-4。

∴F（x0，x0-4）

∴PF=x0-4-y0

將代入，可得

。

∴當x0=2時，S△PBC有最大值8，此時y0=-6。

∴當點P的坐標為（2，-6）時，的面積有最大值，且最大值為8。

從上面的解題思路來看，通過向x軸作垂線，將三角形的面積分割為兩個三角形面積的和，從而巧妙地得到了“高”，使問題得以解決，這體現了數學中“轉化”的力量。不難看出，第（3）問的難度還是比較大的，在閱卷過程中，我們還是發現了有幾個學生也恰恰是用了這種方法得到了正確答案。同時，受方法一的啟發，既然“過點 P向x軸作垂線”這種方法可以，那么“過點P向y軸作垂線”也應該可行，不妨也去嘗試下。

方法二：過點P向y軸作垂線，垂足為 E，交直線BC于點F，如圖四。

圖四

設點P（x0，y0），其中.則 E（0，y0）。

∵B（4，0），C（0，-4），

∴直線BC的 解析式為y=x-4。

∴F（y0+4，y0）

∴FP=x0-y0-4。

以下同方法一。

看來，“過點P向y軸作垂線”的方法也能起到將三角形的面積分割、轉化為兩個三角形面積“和”的作用，確實也是可行的。

這時，可能有學生會有這樣的疑問：如果點P的位置是拋物線上靠近弓形頂部的位置，那么按照方法二的做法，三角形的面積還是轉化為兩個三角形面積“和”的形式嗎？為了一探究竟，我們也去嘗試一下，見圖五。

圖五

此時點F落在線段BC的延長線上，且 E（0，y0），F（y0+4，y0），以及FP=x0-y0-4，仍然成立。

不難看出，此時三角形的面積轉化為兩個三角形面積的“差”，但結果依然是一樣的。

盡管兩種思路有相似之處，但是方法二“過點P向y軸作垂線” 時，有可能出現與線段BC或者其延長線相交這兩種情形，增加了問題的復雜性。這也許正是我們在閱卷的過程中，沒有發現有學生用該方法解答的原因了。不管是方法一還是方法二，都需要做“輔助線”將三角形的面積進行分割，考查學生的“轉化”能力，這種思路還是有一定難度的。

但在高中數學中，我們在掌握了點到直線的距離公式之后，這種問題的解答思路就相對顯得簡單了一些。在中，由于底邊 的長是固定的，所以高越大，的面積也就越大。當點P距離直線BC最遠時的面積達到最大值。

點P在什么位置時距離直線BC最遠呢？從圖像來看，顯然是一條與直線BC平行的直線與拋物線相切時切點的位置。如圖六所示。

圖六

方法三：∵B（4，0），C（0，-4）， ∴直線BC的解析式為y=x-4.

則與直線BC平行的直線可設為y=x+b.

當該直線與拋物線相切時，由消x得

x2-4x-（4+b）=0----------（※）

∴△=（-4）2+4×（4+b）=0

∴b=-8

此時方程（※）的解為x=2.

將x=2代入直線方程y=x-8可得y=-6

此時點P的坐標為（2，-6），它到直線BC的y=x-4距離為：

故點P的坐標為（2，-6）時，的面積有最大值8.

當然，我們也可以用“代數”的方法求出該距離的最大值。

方法四：∵B（4，0），C（0，-4），∴

直線BC的解析式為y=x-4.

設點P（x0，y0），其中.

點P到直線BC：y=x-4的距離為：

而點P在直線BC：y=x-4的下方，

∴

當x0=2時，d有最大值

將x0=2代入，得y0=-6

此時，點P的坐標為（2，-6）.的面積為

故點P的坐標為（2，-6）時，的面積有最大值8.

比較方法三和方法四不難看出，在尋求三角形“高”的最大值時，方法三是從幾何的角度來思維的，因此思路相對明朗、清晰。而方法四是從代數計算的角度來考慮的，體現了數學的運算、推理功能。同時，方法四中由于點在直線的下方，點到直線的距離公式要考慮去絕對值的符號問題，因此顯得相對麻煩一些。

盡管高中的方法顯然不用去考慮“分割”而作“輔助線”，思路相對初中而言簡單了很多，但由于要用到“點到直線的距離”這個高中知識點，我們沒有發現有學生用這種方法的。所以，當那名學生竟然用了高等數學中行列式的方法來解答，盡管該名學生沒能完整解答，也足以讓我們刮目相看了。下面我們一起來看下高等數學中用行列式來計算三角形面積的方法。

在平面直角坐標系中，如果△ABC三個頂點的坐標分別為A（x1，y1），B（x2，y2），C（c3，y3），且按逆時針方向排列，則△ABC的面積S可以簡單地用一個三階行列式來表示，即.（注：如果A，B，C按順時針方向排列，上述公式右邊得到一個負數，但其絕對值大小不變。因此，如果不考慮三個頂點的排列順序，三角形的面積可以在行列式的外面再加上絕對值來表示。）關于公式的推導這里省略。

注：.

方法五：設點p（x0，y0），其中.則 的面積為

.

∴當x0=2時，S有最大值8，此時y0=-6

∴當點P的坐標為（2，-6）時，的面積最大值8.

從第（3）問的五種解法來看，當然方法五最簡潔、明了，沒有什么繁瑣的思路，只需要代入公式就行了。

當然，縱觀這五種解法，我們也不難發現，由于所學知識的局限性，在初中階段，需要用到分割、轉化等手段，通過“添加輔助線”等方法才能解決的問題，思路就顯得相對繁瑣，過程也就比較麻煩。到了高中之后，隨著所學知識的拓展，解題思路也就變得開闊了，在初中知識里面的所謂“難題”也就變得相對簡單了。而到了大學階段，在高等數學的眼里，再來看初中階段的一些問題，簡直就是“小兒科”了。

數學在其自身發展過程中，不斷地追求 “化繁為簡”的原則，從某種角度來說，這和“大道至簡”的思想，有異曲同工之處。

參考文獻：

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