論數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)智慧

陳靜

【摘要】智慧是人腦最奇妙的產(chǎn)物，智慧的內(nèi)核首先是道德，并指向于德行與能力完美結(jié)合至善至美的境地。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)智慧是個體在面臨復(fù)雜數(shù)學(xué)情境，解決實際問題過程中表現(xiàn)出來的綜合能力，是德行修養(yǎng)、聰明才智、意志品格、計策謀略的綜合呈現(xiàn)。因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)智慧也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的另一種表達。培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)智慧，主要有以下三個途徑：一是以”思”提升覺知世界的智慧;二是以”悟”培養(yǎng)認知自我的智慧;三是以”達”形成融會貫通的智慧。

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng) 學(xué)習(xí)智慧 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

從古至今，人類從未停止過探索智慧的腳步。在東方古老的佛教文化中，智慧一詞譯為“般若”（梵語），指認知一切事物和萬物本源的終極智慧;在西方文化中，智慧則與哲學(xué)有關(guān)，哲學(xué)就是“愛智慧”;在眾多哲人眼中，智慧更有著不同的面孔，如蘇格拉底認為“德行就是智慧”，柏拉圖認為“智慧就是使人完善者”。現(xiàn)代科學(xué)則認為，智慧是生命所具有的基于生理和心理器官的一種高級創(chuàng)造思維能力，與個體先天的智力因素有關(guān)，但更多的是經(jīng)過后天實踐習(xí)得，因此，學(xué)習(xí)是培養(yǎng)個體擁有智慧的必經(jīng)之路，正如懷特海在《教育的目的》中所言：“智慧并不一定總是隨著知識的增長而增長，只有當我們學(xué)會了積極地創(chuàng)造和運用知識的時候，我們才最終擁有了智慧。”

學(xué)習(xí)智慧即關(guān)于學(xué)習(xí)的智慧，是個體在學(xué)習(xí)過程中所展現(xiàn)的綜合能力乃至創(chuàng)造能力。從數(shù)學(xué)學(xué)科的角度來說，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)智慧是學(xué)習(xí)者在面臨數(shù)學(xué)情境，解決復(fù)雜問題過程中表現(xiàn)出來的綜合能力，是個體德行修養(yǎng)、意志品格、聰明才智、決策能力等創(chuàng)新意識、創(chuàng)造能力的綜合呈現(xiàn)，不僅反映了個體品性與能力的完美結(jié)合，也從另一個角度詮釋了學(xué)科必備品格和關(guān)鍵能力的和諧統(tǒng)一，正如成尚榮先生所言：“核心素養(yǎng)是智慧的合金，智慧是核心素養(yǎng)的中國表達。”培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)智慧，正是要求我們關(guān)注學(xué)習(xí)個體在學(xué)習(xí)過程中的方法、策略、意識等，用智慧的方式去獲取知識，培育能力，提升素養(yǎng)。

? 一、“思”——覺知世界的智慧

“教育的全部目的就是使人具有活躍的智慧。”（懷特海）學(xué)習(xí)將促進個體智慧的發(fā)展和生成，因此，不僅應(yīng)該“智慧地教”，更要“智慧地學(xué)”。學(xué)習(xí)智慧是一種學(xué)習(xí)能力、學(xué)習(xí)策略甚至技巧，是個體面臨陌生情境時顯現(xiàn)出來的綜合素養(yǎng)，表現(xiàn)為個體對復(fù)雜情境做出的分析、判斷、選擇、評估，乃至解決問題的能力和創(chuàng)造。從這個層面上定義，學(xué)習(xí)智慧不僅是個體良好學(xué)習(xí)品質(zhì)和關(guān)鍵能力的和諧統(tǒng)一，也是學(xué)習(xí)者自身核心素養(yǎng)的一種綜合表達。數(shù)學(xué)是一門思維性極強的學(xué)科，是一門通過思維覺知世界，把握事物之間的數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)。因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)智慧就是思考的智慧、思維的智慧、思想的智慧，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)智慧就是要學(xué)會用“數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維思考世界、用數(shù)學(xué)的語言表達世界”。

1.敏銳的洞察——尋找與世界的聯(lián)接

“三個蘋果”，改變了世界。夏娃因為好奇吃下第一個蘋果，從而創(chuàng)造了人類世界;牛頓被樹上掉下的第二個蘋果砸中，從而發(fā)現(xiàn)了萬有引力;而喬布斯發(fā)明的第三個蘋果更開啟了人類物質(zhì)科技文明的新時代。縱觀歷史發(fā)展的腳步，每一個發(fā)明與創(chuàng)造都離不開人類敏銳的洞察力，通過觀察產(chǎn)生思考從而把握世界。教學(xué)同樣需要培養(yǎng)學(xué)生敏銳的洞察力，“學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界”，通過智慧地觀察，把握數(shù)學(xué)與世界的聯(lián)系。

前不久，聽到一節(jié)很有意思的數(shù)學(xué)拓展課：《“肯德基”定價的秘密》。上課伊始，教師首先拋出一個話題：“假設(shè)有A、B、C三名同學(xué)，他們都想購買一個香辣雞腿堡，但他們愿意支付的最高價格卻各不相同。現(xiàn)在假定三人的最高出價分別是12元、11元、10元。同時，假定每個香辣雞腿堡的成本都是5元。為了追求利潤的最大化，老板該如何定價？”順勢引發(fā)討論交流：商品定價與什么因素有關(guān)？在學(xué)生熱烈的交流中，教師不失時機、循序漸進地介紹一些經(jīng)濟學(xué)術(shù)語，如“雙贏策略” “最高心理價位”“價格歧視”“統(tǒng)一定價”“差異定價”等，幫助學(xué)生尋找商品定價背后的秘密，并鼓勵學(xué)生用數(shù)學(xué)知識剖析“第二杯半價”“清倉甩賣”“滿減滿贈”等商業(yè)現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)其中隱藏的數(shù)學(xué)奧秘。

這節(jié)課除了教學(xué)內(nèi)容的創(chuàng)新，還有學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變，非常突出的亮點就是用真實問題激起主動探究的欲望，促使學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看待常見卻蘊含著豐富數(shù)學(xué)元素的生活現(xiàn)象，并通過合作、討論、匯報、交流等師生、生生互動的學(xué)習(xí)方式促進學(xué)生數(shù)學(xué)理解的不斷深入。一個“有價值”的問題，激發(fā)了兒童強烈的好奇心和旺盛的求知欲;一種“有意義”的學(xué)習(xí)，傳遞了一個聲音——數(shù)學(xué)教學(xué)，除了學(xué)習(xí)知識，更要培養(yǎng)讓兒童適應(yīng)未來的學(xué)習(xí)智慧。作為有責任心的教師，我們必須在復(fù)雜多變的現(xiàn)實世界中努力培養(yǎng)學(xué)生的好奇心，激發(fā)求知欲，培養(yǎng)敏銳的洞察力，引導(dǎo)學(xué)生積極追尋有價值的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

2.深刻地把握——關(guān)系、結(jié)構(gòu)與本質(zhì)

數(shù)學(xué)是抽象性極強的一門學(xué)科，從理念層面上理解，數(shù)學(xué)學(xué)科所研究的對象都是抽象思維的產(chǎn)物，是一切存于“理念世界”中的概念，舉例來說，我們研究直線，但是在現(xiàn)實世界中并不存在真正的直線，因為除了“直”這個特征，“有長無寬無厚”和“無限延伸”的性質(zhì)在現(xiàn)實世界中是無法呈現(xiàn)的。因此，完美的直線只存在于數(shù)學(xué)的理念世界中。但即使有了這樣的客觀認識，卻并不妨礙我們?nèi)パ芯克覀円廊豢梢酝ㄟ^畫出現(xiàn)實中“不完美的直線”來幫助我們研究并理解“理想的直線”的概念和性質(zhì)，這便是數(shù)學(xué)思維的獨特性。鑒于此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)智慧的重要內(nèi)涵是學(xué)會思維——“會用數(shù)學(xué)的思維思考世界”。

現(xiàn)實世界變化萬千，然而擁有數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)智慧的人，除了善于觀察事物本身，更善于把握事物之間的關(guān)系、結(jié)構(gòu)和本質(zhì)。例如，測量金字塔高度這么復(fù)雜的問題，在古希臘幾何學(xué)家泰勒斯看來，只需要在陽光照射下，找到人的身高與影長相等的這個時刻，便能通過測出金字塔的影長算出其高度;再如，著名的數(shù)學(xué)家歐拉，把百年未解的格尼斯堡“七橋問題”抽象成簡單的一筆畫問題，就輕而易舉地解決了。雖然，上述兩個例子列舉的都是舉世聞名的數(shù)學(xué)天才，但即使是普通學(xué)習(xí)者，只要在學(xué)習(xí)過程中注意培養(yǎng)，同樣可以擁有把握事物內(nèi)在聯(lián)系的學(xué)習(xí)智慧。例如，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，講授抽象概念總需要從一些典型的具體問題出發(fā)引入，否則缺少了感性經(jīng)驗的支撐，理解抽象概念本身便會成為“空中樓閣”。然而，實例僅僅是理解抽象概念的基礎(chǔ)，真正掌握抽象概念還需要進一步擺脫感性認知經(jīng)驗的局限和干擾，從理性的高度幫助學(xué)生構(gòu)建掌握抽象思維的學(xué)習(xí)智慧，自覺實現(xiàn)在具體事物層面和理性抽象層面的自由轉(zhuǎn)化，從而培養(yǎng)學(xué)生善于把握事物內(nèi)在關(guān)系、結(jié)構(gòu)、本質(zhì)的高層次抽象思維能力。

3.理性的表達——傾聽、對話與分享

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)智慧來源于學(xué)習(xí)過程中的實踐體驗，是個體運用知識、能力在解決實際問題中通過不斷嘗試、練習(xí)后獲得的一種高層次思維能力。這種能力是良好意志品質(zhì)和能力素養(yǎng)的綜合統(tǒng)一體，是促使個體產(chǎn)生創(chuàng)新思想的思維能力，這種能力的形成不可能一蹴而就，而是一個循序漸進不斷發(fā)展的動態(tài)過程。

加德納的多元智力理論指出，人類個體智力具有多元性和差異性，正是這樣的多元差異讓每個學(xué)習(xí)者擁有各自的優(yōu)勢智力和弱勢智力，正如一千個讀者就會感知一千個哈姆雷特一樣，每個學(xué)習(xí)者感知周圍事物和建構(gòu)知識的方式、行為各不相同，就會形成個性化的學(xué)習(xí)智慧。因此，在教學(xué)過程中，教師要有意識地引導(dǎo)學(xué)生充分進行交流，通過傾聽與對話，充分分享彼此的數(shù)學(xué)理解、體驗感悟，進而促進學(xué)習(xí)智慧的提升。

前不久，看見華應(yīng)龍老師執(zhí)教的教學(xué)課例——《我不是笨小孩——以“師徒年齡問題為例”》，問題源自師徒倆的一段對話：“徒弟：師父您多大了？師父：我在你這年紀時，你才5歲;但是你到我這年紀后，我就71歲了！請問：徒弟幾歲？師父幾歲？”華老師通過兩個教學(xué)環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生充分交流表達，探索不同的解題思路，嘗試不同的解決辦法，并充分引導(dǎo)學(xué)生思維的分享、碰撞和融合。環(huán)節(jié)一：“書讀百遍，其義自見”。此環(huán)節(jié)分三步走，第一步讓每個學(xué)生充分讀懂題目，第二步讓學(xué)生在讀懂的基礎(chǔ)上嘗試舉例說明自己如何理解題意，第三步注意傾聽并嘗試去理解別人的想法;環(huán)節(jié)二：“題試三回，定能生慧”。華老師提示學(xué)生，用“投石問路”的方式想辦法解決問題，在這個環(huán)節(jié)中，學(xué)生充分展示了不同的想法和思考，有的用磁珠擺一擺，用直觀圖的方式呈現(xiàn);有的嘗試用線段圖抽象表示數(shù)量關(guān)系;還有的用假設(shè)法、嘗試法、列舉法展開思考，在相互交流中分享思考碰撞智慧。（如圖1）。

課堂中，華老師引導(dǎo)學(xué)生充分地表達、交流，不斷激起數(shù)學(xué)思維的碰撞與交鋒，課堂討論高潮迭起，學(xué)習(xí)智慧不斷閃現(xiàn)，真正體現(xiàn)用教學(xué)智慧點燃兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)智慧。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本來就是不斷嘗試、實踐、體悟、提升的過程，讓兒童嘗試用符號、語言、數(shù)字、圖形、表格等不同的形式把握數(shù)量之間的復(fù)雜關(guān)系，通過對話、交流分享彼此的數(shù)學(xué)理解，這不正是促進數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)智慧生長的最佳途徑嗎？

? 二、“悟”——認識自我的智慧

學(xué)習(xí)本身就是一種智慧。

“學(xué)，覺悟也”（《說文》），“學(xué)”的內(nèi)涵，側(cè)重于“悟”，注重個體對學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)方法的領(lǐng)會、思考和體悟，學(xué)的過程即是個體自我覺悟、內(nèi)省而獲取知識、經(jīng)驗的自覺行為。中國儒家文化中，把智（慧）與“德”（仁道）緊密聯(lián)系，認為智慧是良好的道德品行與實踐行為的高度統(tǒng)一;現(xiàn)代認識心理學(xué)則把人對自我認知和了解能力，稱為“元認知”能力，元認知就是一種指向于自我的認識過程，具有較強元認知能力的人，往往具有較強的自我意識和自我監(jiān)控能力。因此，學(xué)習(xí)智慧首先要培養(yǎng)人對自我的認識和覺悟，通過自我認知進行自我管理、自我監(jiān)控和自我調(diào)節(jié)。

1.學(xué)會自我管理：從自覺到自律

雖然影響學(xué)習(xí)效果的因素有很多，但起決定性作用的因素往往是非智力因素，如興趣、習(xí)慣、態(tài)度等，這些優(yōu)秀的學(xué)習(xí)品質(zhì)交織在一起，就形成了學(xué)習(xí)者自覺、自律的自我約束能力，促使學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)的過程中不斷認識自己，努力完善自己，提升學(xué)習(xí)智慧，并樂此不疲。

從小學(xué)階段開始，學(xué)習(xí)智慧的差異就已經(jīng)形成，有的學(xué)生善于閱讀，從閱讀中享受到極大的樂趣，而有的學(xué)生卻沉溺于智能手機或平板電腦。殊不知，這樣潛移默化的習(xí)慣養(yǎng)成往往造成學(xué)生在自我管理上的巨大差別，自我管理能力強的學(xué)生具有較強的自覺性，有時間意識，能對自己的學(xué)習(xí)活動進行有效的規(guī)劃和安排，合理分配、統(tǒng)籌兼顧、提高效率，因此能較好地協(xié)調(diào)學(xué)習(xí)和休息的關(guān)系，從而進入學(xué)習(xí)的良性循環(huán)軌道，而正因為良性循環(huán)，讓這些學(xué)生品嘗自覺、自律的樂趣和甜頭，尋找最佳的學(xué)習(xí)方式、方法，愿意努力去嘗試更高層次的自我管理，這個過程中學(xué)習(xí)智慧便自然而然地產(chǎn)生了。

2.學(xué)會自我監(jiān)控：從內(nèi)省到反思

古希臘著名哲學(xué)家蘇格拉底曾運用“產(chǎn)婆術(shù)”引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生認知矛盾，從而意識到自我的無知，促使學(xué)生通過內(nèi)省引發(fā)新的認識，產(chǎn)生智慧。可見，內(nèi)省與人的智慧相關(guān)，是學(xué)習(xí)者內(nèi)心認識、省察、反觀自我的過程，儒家文化很注重這種內(nèi)心的道德修養(yǎng)，現(xiàn)代心理學(xué)更是將“內(nèi)省”作為基本研究方法，強調(diào)通過內(nèi)省進行自我監(jiān)控，從而使自身達到最佳狀態(tài)或最優(yōu)效果，從數(shù)學(xué)角度看，內(nèi)省更是一種智慧的學(xué)習(xí)方法和策略，從自我觀察到自我分析，從自我分析到自我監(jiān)控，從自我監(jiān)控走向自我反思，是一種學(xué)思結(jié)合的學(xué)習(xí)智慧之道。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自我監(jiān)控通常要經(jīng)歷這樣幾個過程：

（1）計劃。面臨一項學(xué)習(xí)任務(wù)時，首先明確學(xué)習(xí)內(nèi)容，獲取數(shù)學(xué)信息，調(diào)動已有知識儲備，規(guī)劃可能的解題路徑等。

（2）組織。學(xué)習(xí)過程中，用恰當?shù)姆绞浇M織信息，用多元的方式表征數(shù)量關(guān)系，選擇合適的解決方法，明確解題步驟的意圖等。

（3）檢驗。用恰當?shù)姆椒炞C學(xué)習(xí)過程和結(jié)果，回顧解題過程，歸納解題策略， 比較、優(yōu)化、提煉最佳解題方案。

（4）評價。對學(xué)習(xí)過程進行自我評價，理性分析學(xué)習(xí)的質(zhì)量和效果。

3.學(xué)會自我調(diào)節(jié)：選擇與決策

中國傳統(tǒng)文化中把認識并處理好人與世界萬物關(guān)系的能力看作智慧，例如：孔子推崇“中庸之道”，認為智慧的核心是平衡與選擇，可見智慧不僅是一種思維方式，也是為人處世、處理問題的方式，智慧本身就包含著選擇，這種選擇其實是一種自我調(diào)節(jié)能力，也表現(xiàn)為一種明智決策和合理選擇的能力，當個體在現(xiàn)實情境中面對真實問題的時候，能夠正確分析、合理判斷、正確選擇、靈活調(diào)節(jié)，展示出情感態(tài)度、意志品質(zhì)、能力水平的完美統(tǒng)一，這便是從實踐中產(chǎn)生的學(xué)習(xí)智慧。例如：在遇到復(fù)雜數(shù)學(xué)問題時，及時調(diào)整解題思路，合理選擇解題策略，或嘗試利用具體事例幫助理解，或重新梳理已知、未知條件，分析數(shù)量關(guān)系;或從復(fù)雜問題往后退，退回到簡單情況再進行分析等，這些都是學(xué)習(xí)過程中善于自我調(diào)節(jié)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)智慧。

? 三、“達”——融會貫通的智慧

“達”，本是形容詞，意指大道通行無阻，后引申為動詞，指相通、相匯之意。數(shù)學(xué)是一門智慧的學(xué)科，數(shù)學(xué)的學(xué)科特征決定了數(shù)學(xué)與思維的不解之緣。數(shù)學(xué)是思維的工具，思維是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基石。數(shù)學(xué)思維的發(fā)展是一個循序漸進的過程，需要持續(xù)培養(yǎng)，更要注意方式方法，所謂“一通百通”，唯有善于掌握結(jié)構(gòu)，把握規(guī)律，溝通聯(lián)系，方能達到通達敞亮且融會貫通的境界。

1.舉一反三與舉三反一

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開對關(guān)系和規(guī)律的把握，發(fā)展思維就是要培養(yǎng)學(xué)生善于舉例，善于類推，善于由此及彼，不僅能舉一反三還能舉三反一的學(xué)習(xí)智慧。以數(shù)學(xué)概念教學(xué)為例：概念本身具有一定抽象性，概念的建構(gòu)過程通常要經(jīng)歷從感性經(jīng)驗積累形成表象，剝離非本質(zhì)屬性，抽象本質(zhì)屬性的過程，在此過程中，通過舉例建構(gòu)學(xué)生自己的數(shù)學(xué)理解至關(guān)重要。儲冬生老師曾經(jīng)執(zhí)教過《認識負數(shù)》這節(jié)課，儲老師讓學(xué)生通過不同形式的舉例，不斷加深對負數(shù)概念的認識。

（1）“舉一反三”。課始，老師通過學(xué)生充分交流，了解到學(xué)生對負數(shù)已經(jīng)有了一定的認識，于是老師拋出一個問題：“既然你們都在生活中看見過負數(shù)，那么，以‘-2為例，你能舉出一個生活中的例子說說‘-2是咋回事兒嗎？”

（2）“舉三反一”。課中，當學(xué)生對負數(shù)有了更深的認識后，老師又拋出一個問題：“我們以前認識的數(shù)，數(shù)字越大這個數(shù)就越大，如28比1大，但是負數(shù)怎么就是相反的呢？比如-2就大于-13，你能舉幾個不同的例子說明這個問題嗎？”

課中的兩次舉例都蘊含了豐富的學(xué)習(xí)智慧。第一次舉出生活中不同的事例，以豐富的生活原型來解釋“-2”這個抽象的數(shù)學(xué)模型，從一般到特殊，從具體到抽象，有助于學(xué)生對抽象的負數(shù)的理解;第二次用不同的例子來佐證-2>-13，從數(shù)學(xué)模型又回到生活原型，從特殊到一般，在舉三反一的類比中加深對抽象概念的理解和認識。

2.自由開放與多元并舉

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是要讓學(xué)生學(xué)會思維。因此，教師在課堂上的主要教學(xué)任務(wù)就是想方設(shè)法地制造認知沖突，激起思維碰撞，在不斷經(jīng)歷思維挑戰(zhàn)的過程中，引領(lǐng)學(xué)生攀登思維的高峰。有高層次思維挑戰(zhàn)的課堂是生動的，因為有學(xué)生鮮活靈動的思考存在;也是開放的，因為有多種不同思想的碰撞與交鋒;也是自由的，這是一種思想上的自由，允許發(fā)出不同的聲音，更鼓勵思辨、質(zhì)疑與批判。數(shù)學(xué)教學(xué)的視野也不能僅僅局限于一門學(xué)科的知識教學(xué)，更應(yīng)該突破教學(xué)的圍墻，超越學(xué)科的邊界，引領(lǐng)學(xué)生看向更遠、更大、更廣闊的空間，注重培養(yǎng)學(xué)生的自由之思想和獨立之精神，在獲取知識的過程中，與師生思想的碰撞融合，學(xué)習(xí)中的喜怒哀樂，想象力、創(chuàng)造力、研究力等獨立學(xué)習(xí)能力之生發(fā)，進而學(xué)習(xí)觀、價值觀、人生觀的形成，這些都將超越知識的范疇，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程最終成為提升素養(yǎng)增長智慧的過程。

? 【參考文獻】

[1]【英】懷特海.教育的目的[M].徐汝舟譯.北京：三聯(lián)書店，2002.

[2]成尚榮.核心素養(yǎng)的中國表達[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2018.

[3]華應(yīng)龍.我不是笨小孩——以“師徒年齡問題為例”[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2018（6）.