教材中幾何直觀元素及其示例解讀

鄭大明

[摘 要]數學學科素養進入人們的研究視野以來，幾何直觀和空間想象力就成為主要關注對象。以北師大版教材為例，通過特征、關系、結構，以及表示數學過程、規律等內容，論述幾何直觀在教材中的表現形式，幫助教師找出相關的內容來幫助學生發展幾何直觀和空間想象力。

[關鍵詞]數學素養;幾何直觀;教材示例

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）08-0012-04

幾何直觀，是一種重要的形象思維方式，也是學生數學核心素養“空間想象力”的重要組成部分。數學教材采取了多種方式滲透這樣的思維方式。為了幫助教師更好地把握教材中的這一特點，現以北師大版新世紀《數學》教科書為例予以說明。

一、概念及意義

在弄清楚幾何直觀之前，先說說什么是幾何。

幾何，是一個外來詞。希臘語“geo”，英文為“Geometry”，原指古埃及人丈量土地的學問。明代徐光啟與意大利傳教士利瑪竇翻譯西方的關于形的刻畫的數學時，使用了近音譯的“幾何”一詞。英文詞匯“Geometry”有“幾何”與“多少”的疊加意思，把希臘語本來指刻畫物體的形狀方面的意思加入了數量的意義，與中國古代的“象形學”和越南的“形學”一詞非常接近。因此，幾何學就是指研究事物的空間結構及性質的一門學科。

綜上，幾何學，就是指以點、線、面、體等符號化的形符刻畫事物的位置與距離的學問。就像“數”是數出來的一樣，“形”就是畫出來的。由此可知，代數學就是用1、2、3、4、a、b、c、d等符號化的聲符表示事物或者現象的大小與多少的學問。

直觀，通常是指一種看得見、摸得著的感知方式。幾何直觀，就是指人們用點、線、面、體等看得見的符號或者模型刻畫一些非可視化的現象或者事物之間的關系、規律等的思維方式。它的更上位的思維方式就是數形結合思想。由數到形的思考，叫幾何直觀;由形到數的思考，叫數感意識。

二、實例與解讀

無論哪一種版本的教材，都會或多或少地使用幾何直觀的思維方式，引導學生思考事物的特征、事物之間的數量關系以及變化的規律等。

1.表示特征

所謂特征，是指事物本來的、獨有的樣子或狀態。比如下雨和起霧，雨和霧雖然與水有關，但是特征就不完全一樣。這很像長方形和正方形的概念。

在數學上，事物的量的變化特征非常隱晦，學生不容易體會到，但借助幾何直觀，就比較利于學生觀察與發現。

北師大版教材六年級下冊 “正比例和反比例”的第一節課“變化的量”（如圖1），就通過曲線圖反映了妙想6歲前的年齡與體重變化的特征和駱駝兩天內的體溫變化特征。將一種不好琢磨的數據變化特征轉化為形態變化特征，利于學生觀察、比較、發現、判斷和預測。

2.表示關系

所謂關系，是指人或事物之間的相互聯系，反映它們之間的相互作用、相互影響的狀態。但數量關系本身就比較抽象，特別是低年級學生的想象力不夠，往往很難理解數與數之間、量與量之間的關系。而恰當使用幾何直觀，就能非常巧妙地化解這一難題。

北師大版教材六年級上冊 “比的認識”的第一節課“生活中的比”（如圖2），就是利用圖片中長方形“長與寬”的變化對比，引導學生理解長與寬的對應變化關系。

北師大版教材二年級上冊 “除法”的第五節課“快樂的動物”（如圖3），就是利用畫圓圈組合的方式，引導學生用圈圖法理解小鴨、小猴等動物只數之間對應的倍數關系。

小猴有3只，用3個○表示;圈在一起，作為一個計數單位，即單位“1”。

小鴨有6只，用6個○表示;與小猴的只數對應相比，有兩個計數單位，即兩個單位“1”，于是就可以說：“小鴨只數是小猴只數的2倍”，算式：6÷3=2。其余的動物只數之間的關系以此類推得出相應的倍數關系。

3.表示結構

所謂結構，是指事物的組成中，整體的各部分的搭配和安排的方式或狀態。小學數學中包含了大量的知識結構與數量關系結構，但都比較抽象，學生很難認知和感受。因此，教材借助幾何直觀的思維方式，可以大大解決學生對于抽象數學結構的認知困難。

北師大版教材四年級上冊 “生活中的大數”的第一節課“數一數”（如圖4）中，為了讓學生建立大數的計數單位（數數標準）以及各計數單位之間的進率關系，教材采用三維圖形及小正方體堆積的圖形，讓學生直觀體會“個”“十”“百”“千”“萬”“十萬”“百萬”的含義，同時理解這些單位的內部結構和相互之間的關系，從而記住這些計數單位及其相鄰單位之間、相隔單位之間的進率。

北師大版教材五年級上冊 “分數”的第二節課“分數的再認識（二）”（如圖5）中，關于一個非常抽象的概念“分數單位”，教材借助“分數墻”，采用同樣長的長方形格子，以“1”、2個“二分之一”、3個“三分之一”等值的直條，顯示出二分之一、三分之一等分數單位與“1”的組成關系，將分數的內部結構規律直觀地表示出來，非常利于學生的認識和理解。

4.表示過程

所謂過程，是指事物發展所經過的程序，在質量管理學中定義為“將輸入轉化為輸出的一組活動”。對于小學數學的很多程序性知識，只是使用概念和命題的形式來陳述的話，非常不利于學生理解，特別是低年級學生。因此，教材借助幾何直觀，大大減輕了學生的記憶和理解負擔。

北師大版教材一年級下冊 “加與減（一）”的第二節課“捉迷藏”中（如圖6），為了讓學生體會“13-8”的過程，教材除了安排用數小棒來體會計算過程以外，還特地使用數線圖，利用“數格子”和“反向標箭頭”等方式，讓學生體會比數小棒更抽象的數線段上的“13-8”的過程。這樣，學生更能直觀地記住退位減法的計算過程。

北師大版教材五年級下冊 “分數除法”的第一節課“分數除法（一）”中（如圖7），為了說明清楚“七分之四除以二”和“七分之四除以三”的特殊性，教材除了讓學生采用折紙法、涂色法體會其計算過程的特殊性和普遍性外，還借助長方形圖中的條形與方格等形式，顯示計算過程。這樣，學生不僅把握了兩個算式計算結果的正確性，還能直觀地理解除法轉化為乘法計算的算理。從中可以看出，要把4個“七分之一”平均分成兩份，既可以直接數出來，也可以利用計算法則計算。但是，需要把4個“七分之一”平均分成三份時，再用原有的方法就遇到了困難。于是，就得借助圖形，先豎著平均分成七等份以后，再橫著平均分成三等份，然后在總份數3×7=21份中尋找結果。只有通過比較復雜的認識和思考過程，才能真正得出“分數除以整數”的計算方法。

5.表示規律

所謂規律，即事物之間的內在的本質聯系。這種聯系不斷重復出現，在一定條件下決定著事物必然向著某種趨向發展。要讓幾歲的小學生去體會和運用規律，是非常困難的，因此，教材除了利用比較合適的素材來體現以外，也借助幾何直觀來呈現。

北師大版教材二年級上冊 “2-5的乘法口訣”的第六節課“回家路上”的習題中，為了讓學生按照2、3的口訣表示的規律數數和寫算式計算，第二小題（如圖8）采用數線圖部分標注和部分讓學生自己類推標注的方式，引導學生體會有規律的數數和計算的過程。

北師大版教材四年級上冊 “數學好玩”的第三節課“數圖形的學問”（如圖9）中，為了顯示鼴鼠鉆洞的規律，教材提示學生先用線段圖表示題意，然后找規律，類推出洞數較多的鉆法數量，力求找到一個解決此類問題的通法。

6.表述算理

所謂算理，就是為什么可以這樣算。當然，說理的方式很多，比如數實物、數學具等，但數據比較大或者說理比較復雜時，采用幾何直觀的方式往往比較方便。

北師大版教材三年級下冊 “乘法”的第二節課“隊列表演”（如圖10）中，為了說明“12×14=168”，教材采用多種方式，從不同角度引導學生從點子圖上尋求答案。通過“拆數法”，在圖上直觀地將兩位數拆成“整十數”和“一位數”，或者兩個“一位數”，然后列式計算出答案。通過直觀分點子圖然后列式計算，能充分證明所思和所做的正確性。

幾何直觀，是學生數學核心素養“空間想象力”的重要組成部分。因此，從低年級起教師就要給予充分的重視。教材中類似的例子還很多，按照這樣思路進行研究和實踐，即借助實物直觀、情境直觀等直觀方式予以輔助，自然就能使學生的幾何直觀的形成更順暢。

（責編 金 鈴）