立足幾何直觀?促進數學課堂生命化

董秀英

摘 要：幾何直觀是數學核心素養之一。生命化的數學課堂必須立足于幾何直觀，才能促進思維的提升，深刻感悟數學思想與方法，從而促進生命化的數學課堂充分體現學生學習的自主性。

關鍵詞：幾何直觀 數學課堂 生命化 核心素養

“生命化課堂”顧名思義，就是把課堂還給學生，讓課堂煥發生命活力，充分體現學生學習的自主性。《義務教育數學課程標準（2011年版）》明確提出：幾何直觀是十個數學核心素養之一。所謂幾何直觀主要是指利用圖形描述幾何或其他數學問題分析、探索解決問題的思路，預測結果。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，更好地促進學生對數學的理解。這對于以形象思維為主的小學生來說顯得尤為重要。幾何直觀在整個數學學習過程中發揮著“幫助學生理解數學，化抽象為具體，培養學生的思維能力”等重要作用，從而促進學生主動思考，自主探索，構建生命化課堂。下面筆者將結合自身的教學實踐經驗淺談如何使幾何直觀在小學數學教學中得以有效應用，促進數學課堂生命化，從而實現對學生數學核心素養的培養。[1]

一、借幾何直觀明晰算理，助問題分析，促數學課堂生命化

幾何直觀是指利用圖形來描述和分析問題。借助幾何圖形能夠幫助學生更加直觀地理解算理，還能夠幫助學生自主發現、描述所要研究的問題，尋求解決問題的思路。“圖形化”的過程就是將抽象的算法或繁雜的問題直觀化。所以，借助“形”的幾何直觀性可以更好地分析理解數與數之間或數量之間的關系。[2]

例如，教學人教版六年級上冊《分數乘分數》一課中的 × 的計算法則及算理教學。如圖一，教師可以引導學生借助一張長方形紙先在長方形紙中表示出一小時粉刷墻壁面的 ，然后讓學生通過觀察思考：怎樣表示出 小時粉刷墻壁面的幾分之幾？如圖二，學生通過動手畫圖，自主探索交流，直觀地理解了 × 的意義，就是把這張紙先平均分成5份，其中的1份即 ，再將涂出的 部分再平均分成4份，這樣一共平均分成20份，再涂出其中的1份就是這張長方形紙的 。學生借助幾何圖形的直觀性，在理解了 × 的實際意義的同時也很輕松、自主地掌握了分數乘分數的計算方法及算理，即將分母相乘的積作為分母，（也就是先把1平均分成5份，再把分得的每一份平均分成4份，這樣一共20份，就是分母），將分子乘分子的積作為分子，（即表示其中的一份）。筆者認為教學中教師可以充分利用幾何圖形直觀，幫助學生理解加減乘除法的意義、算理及方法。

又如，教學“公園里種了150棵柏樹，種的楊樹的棵樹比柏樹多54棵，種的柳樹的棵數比楊樹多23棵。公園里柳樹的棵數比柏樹的棵數多多少棵？”的問題解決，這里的數量關系相對于三年級的學生來說較為抽象及復雜，這個年齡段的孩子思維水平大多數只停留在理解“一個數比另一個數多（或少）幾，求一個數或求另一個數”的層面，而對于上面這道題數量關系的抽象性具體體現如下：首先題目中是三個數量（分別是柏樹、楊樹和柳樹）之間的相互比較（關系比較復雜），其次，題目中只給定三種樹的總棵數（數量不明確），再次，比較的標準量不同（第一個比較的標準量是柏樹的棵數，第二個比較的標準量是楊樹的棵數，導致學生的思維產生混亂），最后，提出的問題是求兩種樹的棵數的相差量。這道題單從字面上去理解題目的數量關系使問題得以解決，學生會感到抽象，難以理解題意。此時，教師可以借助畫線段圖來表示題目中的關鍵信息，如圖三，學生有了線段圖的直觀支撐，對題意的理解便一目了然，要求柳樹的棵數比柏樹的棵數多多少棵？從線段圖中一眼就能確定兩次的比較都要以柏樹的棵數為比較的標準量，求柳樹的棵數比柏樹的棵數多多少棵？也就是求楊樹的棵數比柏樹多的棵數與柳樹的棵數比楊樹多的棵數的和。教學中因為有了直觀的幾何圖作為形象支撐，學生的思維被充分的激發，在自主探索與合作交流中思維不斷完善，思考的主動意識不斷增強，問題解決的數學模型得以初步構建，最后在獲得成功中體驗到問題解決的喜悅，從而讓數學課堂充滿生命活力。

二、借幾何直觀發現規律，助抽象推理，促數學課堂生命化

數學的規律時常需要通過借助幾何圖形直觀地支撐，經過嚴謹地推理，使學生迅速地發現其中隱含著的規律。教學中可以把幾何圖形與數量相結合幫助學生更形象直觀地發現規律，使復雜的問題簡單化，再利用規律解決復雜的問題，從而使學生的抽象推理能力得以進一步提升。[3]

例如，教學“數學思考”中的一道題。課一開始，教師出示問題：20個點能連成多少條線段？并讓學生獨立思考大膽猜測。經過交流討論發現：要想研究20個點能連成多少條線段？可以先截取5個點通過學生自主探索，動手連一連，自主探究能連成幾條線段？（滲透化繁為簡及有序思考的數學思想方法）。學生經歷獨立思考，自主動手：畫一畫、數一數、算一算，在與小組合作交流中發現其中的規律并板書：2點： 如圖一，1條（A與B連1條； 3點：如圖二，2+1=3條；（A要與另外兩點B、C連兩條，B要與C再連1條）；4點：如圖三，3+2+1=6條；（A要與自己除外的3點B、C、D連3條，B要與自己和A除外的兩點C、D連2條，C與D連1條）；5點：如圖四，4+3+2+1=10條；（A與自己除外的4個點B、C、D、E連4條，B與自己和A除外的3點C、D、E連3條，C與自己和A、B除外的D、E兩點連2條，D與自己和A、B、C除外的E連1條）。學生借助幾何圖形的形象直觀，經歷有序思考，取數量少的一組點數為研究對象，從中發現隱藏在幾何圖形中的規律，從而實現化繁為簡的轉化數學思想方法的有效滲透。根據以上的規律，20個點連成線段的問題就可以從比總點數少1的數字19開始倒加到數字1，再求和。算式：19+18+17+……+3+2+1，最后，可以運用等差數列求和的方法求出結果。進而總結計算n個點連成的線段總條數通用模型：（n-1）+（n-2）+（n-3）+……+3+2+1 ，將幾何圖形與代數相結合有助于學生直觀形象地發現規律，化抽象為具體，使學生的抽象推理能力得以進一步提升。

再如，教學 + + +……+ + =？ 教師可以引導學生從簡單的 + 入手，借助圖形 如圖（五），引導學生認真觀察發現： + 可以看成從正方形“1”中減去空白部分的 ，同理可得 + + 可以看成把剩下的 再平均分成兩份，這樣共分成8份，其中的一份是 ，如圖（六），因此， + + 可以看成從正方形“1”中減去 ，那么 + + + =？如圖（七），可以看成從正方形“1”中減去 ，以此類推， + + +……+ + =？可以看成從“1”中減去 ，結果就轉化為“1- ”。因此，這樣復雜的分數加法計算題，若離開幾何直觀圖形的支撐，是很難想象出只要用“1- ”就能很簡便地算出結果，再一次體現復雜問題簡單化。

學生經歷化繁為簡、化抽象為具體直觀的知識形成過程，歸納概括出規律，抽象推理能力得以提升，思維能力得以進一步拓展，數學模型思想初步形成，促進數學課堂煥發生命活力，學生的核心素養得以進一步提升。

三、借幾何直觀感悟極限，助模型構建，促數學課堂生命化

所謂極限思想就是用聯系變化的觀點，無限逼近的方式來研究數量的變化趨勢的思想。極限思想的滲透需要通過無限觀念的建立和極限思想的感悟等兩個層面來實現，然而這兩層面的有效落實都與學生想象能力的培養密不可分。合理地想象必須借助幾何直觀地支撐，這樣才能建立學生的無限觀念，促使學生真正感悟到極限思想。

例如，教學 + + + + + ……的計算結果時，若用常規的思維方法解決，是無法得出結果的，因此教學時只能另辟蹊徑，借助正方形的幾何直觀圖，將這些分數與幾何圖形建立聯結，通過想象，感悟極限思想，從而使問題得以解決。如圖一：假設大正方形的面積為1，一半就是 ，余下的一半就是 ，余下的余下的一半就是 ，……從圖中非常直觀地看出：隨著加數的不斷增加，空白部分的面積就逐漸變大，陰影部分的面積就不斷趨于零，空白部分的面積就會越來越接近正方形的面積，通過讓學生無限地想象，其結果就會無限地逼近1。這樣無限多項的數相加，其結果就會變為1。

再如，教學“圓的面積”一課，教師可以組織引導學生將圓切割等分成若干（偶數）個扇形，分得越多就越接近等腰三角形，直到拼成的圖形近似于長方形，學生可以通過觀察所拼成的近似長方形的幾何圖形，通過無限想象，把圓等分成8份、16份、32份、64份……，一直不斷地這樣分下去，分成的份數越多，拼成的幾何圖形就越趨于長方形。如圖二：這樣學生自主探究關于圓的面積計算公式的推導就水到渠成，以上的教學方法主要是借助幾何直觀圖——近似的長方形，引導學生采用“變曲為直”、“化圓為方”的轉化法，讓學生經歷從無限到極限的過程，感悟極限思想，進一步提升學生的數學核心素養，從而促使數學課堂煥發生命活力

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一節成功的數學課的衡量標準要看學生通過這節課的學習是否能夠用數學觀點、數學思維方式和數學方法來觀察、猜想、實驗、驗證、歸納、推理、分析及解決問題等，這些都是小學數學核心素養的具體體現。借助幾何直觀，幫助學生理解題意，分析問題，發現規律，進行抽象推理，提升思維能力，從而深刻感悟數學思想，讓學生主動經歷知識的形成過程，促進數學課堂跳躍出如同生命般，充滿生機的思維火花，進而促使學生數學核心素養得到培養。

參考文獻

[1]林碧珍.數學思維養成課——小學數學這樣教（福建教育出版社）.

[2]邱月華.基礎教育研究：巧用幾何直觀促進有效建模.（福建基礎教育研究.2018.3）

[3]朱偉森.讓“問題解決”真正發生.小學數學教育2017.4.