幾何直觀：為兒童有效表征數學知識導航

李加樹

摘要：《課程標準（2011年版）》明確指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。”借助幾何直觀可以把復雜的、數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，培養空間觀念，發展邏輯推理能力，在整個學習過程中都發揮著重要作用。

關鍵詞：幾何直觀；教學價值；認知建構

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：B 文章編號：1672-1578（2018）33-0121-03

徐利治教授認為，幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關系產生對數量關系的直接感知。換言之，通過直觀能夠建立起人對自身體驗與外物體驗的對應關系。蔣文蔚教授則認為，幾何直觀是一種思維活動，是人腦對客觀事物及其關系的一種直接的識別或猜想的心理狀態。這兩種定義主要是基于數學和心理學角度闡釋的。一般而言，幾何直觀就是指依托、利用圖形進行數學的思考和想象，它在本質上是一種通過圖形所展開的想象能力。學會用圖形思考、想象問題是研究數學，也是學習數學的基本能力。教學中，借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果，有助于學生更好地感知數學、領悟數學，深化認知結構。

1.借助幾何直觀，培養空間觀念

《課程標準》中“空間觀念”是指“根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關系；描述圖形的運動和變化；依據語言描述畫出圖形等”。側重于刻畫學習者對于空間的感知和把握程度，其培養貫穿在圖形與幾何學習的全過程中，無論是圖形的認識，圖形的運動，圖形與坐標等都承載著發展學生空間觀念的任務。重視圖形與幾何教學，有利于培養學生的空間觀念，發展學生的空間想象力。在日常教學中，我們應該幫助學生建立空間觀念，注重培養學生的幾何直觀與推理能力。幫助學生逐步形成初步的幾何直觀，感受幾何直觀的作用。

例如，教學人教版六年級下冊“圓柱的認識”，我們既可以通過課件演示，引導學生感知圓柱體的展開后的形狀，也可以借助操作演示（剪一剪，包一包，畫一畫）幫助學生構建空間觀念，使空間觀念的培養落到實處、落到細處。首先將罐頭盒的商標紙沿接縫剪開，再展開（如下圖），

使學生認識到商標紙展開后的形狀是長方形，這個長方形的長等于圓柱的底面周長，寬等于圓柱的高。再把這個長方形重新包在圓柱上（如圖2），請學生指出圓柱體的底面周長和高。從把圓柱側面展開到再次包在圓柱上，可以幫助學生找到長方形的長和寬與圓柱底面周長和高的對應關系，為后續學習長方體的側面積、表面積打下堅實的基礎。

接著，再讓學生在方格紙上畫出圓柱體展開圖，由實物直觀抽象成圖形直觀，這個過程留給學生更多的空間去想象和思考，為學生提供了自主發現圓柱表面積計算方法的機會，而且有利于發展學生的操作能力、空間觀念和空間想象力。

因此，在學習幾何直觀，就要采用學生喜愛的“看一看、折一折、剪一剪、拼一拼、擺一擺、量一量、畫一畫”等具體、實際的活動方式，引導學生通過親自觸摸、觀察、測量、制作和實驗，把視覺、聽覺、觸覺、動覺等協同起來，強有力地促進心理活動的內化，從而使學生掌握圖形特征，形成空間觀念。

2.借助幾何直觀，發展邏輯推理能力

推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。幾何直觀與邏輯推理是密不可分的，幾何直觀往往靠邏輯支撐，它不僅是看到了什么，而是通過看到的圖形思考到了什么，想象到了什么。幾何直觀可以從圖中感知性質，從圖中寫出關系。重視幾何直觀教學，不僅可以培養學生的邏輯推理能力，也能發展學生的幾何直觀能力。

如人教版五年級下冊“找次品”，教學時，隨著待測物品數量的增多，用試驗的方法不但煩瑣，而且不容易理清解題的思路，教師可引導學生采用圖示、列表的方法來表示找次品的過程。

2.1 把棋子當成零件，假設其中有一個重一點。現在，不用天平，想象用天平稱的方式，將次品找出來。也可以用數字卡片擺一擺，或用文字和畫線的方式找出次品。（課件出示）

（1）9個零件怎么分？怎么稱？稱幾次？

（2）至少稱幾次，就能保證稱出次品？

（3）將大家擺或畫的情況填入下表。

2.2 小組合作學習，探究找次品的最優方法。

2.3 反饋交流各種情況，教師填寫下表。

2.4 尋找最優方法。

觀察上面的表格，你發現了什么？

（1）“分成的份數”、分的方法與找出次品所要稱的次數之間有什么關系？

（2）怎樣分找出次品需要稱的次數最少？

2.5 應用最優方法解決問題。探究找次品最優方法是本節課的重點也是難點。在探究的過程中，不再讓學生用天平稱，而是讓他們應用畫圖、列表解決問題，進行推理思考，從直觀到抽象，經歷“實踐操作——抽象推理——得出策略”，發現“將待測物品平均分成3份是找次品的最優方法”，經歷由多樣化過渡到優化的思維過程。這樣的學習活動不僅發展了學生探究能力，而且情感態度與價值觀也得到進一步的提升。

3.借助幾何直觀，滲透數學思想

數學思想作為數學精神的內核，源于知識和方法，但又高于知識和方法，是指導學生在未來的學習、工作中解決問題的行動指南。重視數學思想教學，可以為學生架設通往數學巔峰的云梯。小學數學教材中蘊涵了大量的數學思想，數學教師應該引領學生充分感悟數學思想的力量，領略數學的魅力。

例如，在教學“圓的面積”計算公式推導時，教材是引導學生把圓平均分成16份，拼成一個近似的平行四邊形，初步感受轉化的方法。再啟發學生想象：如果把圓平均分成32份、64份……還是用與上面類似的方法去拼，拼成的圖形會發生怎樣的變化？結合32等份拼圖以及省略號、虛線長方形等，使學生合乎情理地聯想到：平均分的份數越多，拼成的圖形就越來越接近長方形。為了讓學生更直觀的看出圓面積公式的推導過程，體會“圓——近似平行四邊形——長方形”漸變過程。教學時，我設計了如下的教學過程：

3.1 動手操作。

（1）初步感知：教師演示將圓形紙片平均分成8份，拼成一個近似平行四邊形。

提問：拼成的圖形象什么圖形？

追問：為什么說它象一個平行四邊形？

（2）操作體驗：學生用預先已經平均分成16份的圓，仿照教師的拼法拼一拼。

（3）觀察比較：兩次拼成的圖形，有什么變化？

3.2 展開聯想。

（1）初步想象：如果把圓平均分成32份、還是用與上面類似的方法去拼，拼成的圖形與前面的圖形相比將會有怎樣的變化？

課件演示，驗證學生想象。

（2）進一步想象：如果把圓平均分成64份、128份……還是用與上面類似的方法拼一拼，隨著份數的增加，拼成的圖形會越來越近一個什么圖形？

（3）課件演示。

3.3 抽象概括。

（1）拼成的長方形與原來的圓有什么聯系？

追問：如果圓的半徑是r，長方形的長和寬各應怎樣表示？

（2）根據長方形面積的計算方法，你認為怎樣計算圓的面積？

……

這樣設計，借助幾何直觀，采取先操作、想象、驗證、再次想象、再次驗證的思路，有機滲透了極限思想，有利于學生突破認識上的局限，感受把圓轉化成長方形的合理性。小學數學教材中特別注重這種思想的滲透，借助幾何直觀，可以把數形結合思想、轉化思想等更好地反映出來。通過圖形的直觀性質來闡明數學之間的聯系，將許多抽象的數學概念和數量關系形象化、簡單化，實現代數問題與圖形之間的互相轉化，相互滲透，不僅使解題簡捷明快，還開拓解題思路，為研究和探求數學問題開辟了條重要的途徑。

4.借助幾何直觀，理解數學本質

幾何直觀能利用圖形生動形象地描述數學問題，直觀地反映分析問題的思路，是較好地理解數學本質的有效渠道。教學中，如果能將一些概念、定理與幾何直觀圖形相結合，把抽象的概念情境化、具體化、簡單化，再抽象出數學概念的內涵和外延，使學生更深入、透徹理解概念，體驗數學創造性工作歷程，開發創造激情，形成良好的思維品質。

例如，蘇教版四年級下冊“求一個數的近似數”，教材先讓學生討論男性和女性人數各接近四十幾萬，聯系已有經驗說一說并寫出近似數。再向學生說明用“四舍五入”取近似數的方法。學生對“四舍五入”取近似數的方法不能正確理解。為了突破這個教學難點，我在教學“求一個數的近似數”時，設計了如下兩個教學片段：

片段一：求兩位數的近似數，了解“四舍五入”。

（1）怎樣求一個數的近似數呢？本學期第一單元學了除法（出示教材的6頁的例題），192÷39，你會把除數想成多少來試商？192÷32呢？

（2）39和32都是30多，為什么一個數約等于30，而另一個數約等于40呢？

（3）出示數軸，在30到40之間，還有哪些數約等于40呢？還有哪些數約等于30呢？

（4）35約等于多少呢？數軸上35—36之間有很多與35相關的小數，例如35.1、35.2等，這些數離30近些，還是離40近些呢？

（5）這種求近似數的方法叫做“四舍五入”法。

（6）如果數軸繼續向兩端延伸，還有哪些數也約等于40呢？還有哪些數約等于30呢？

片段二：求多位數的近似數。

（1）方洲小學校園占地面積大約4萬平方米。方洲小學校園占地面積可能是多少平方米？

（2）學生獨立思考，同桌互相交流想法。

（3）集體交流。出示數軸：

數學家華羅庚先生說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休”。“數”準確而抽象，“形”形象而直觀。近似數的概念是比較抽象的，學生理解起來有一定的難度。筆者在引導學生理解“35為什么約等于40”這一難點時，借助了“數軸”這一半直觀半抽象的工具，將抽象的數學語言與直觀的“數軸”聯系起來，在數軸上形象直觀地進行解釋，幫助學生直觀理解近似數的含義和“四舍五入”法的本質。像這樣化“數”為“形”，抓住了數與形之間的聯系，以“形”直觀地表達數，實現了抽象概念和具體形象、表象之間的轉化，便于學生形象地理解數學本質，達到化難為易、化繁為簡、化隱為顯的目的。可見，幾何直觀能幫助學生更好地認識數，訓練思維，養成良好的數學素養。

幾何直觀是具體的，不是虛無的，它與數學的內容緊密相連。教學中，教師要善于借助豐富的學習素材，引導學生通過畫、擺、圈、涂等形式，將抽象難懂的概念、定理直觀的展示在學生面前，充分表達它們的具體含義，將思考對象“圖形化”，用圖形來表達自己的數學理解；教師要“有意識地提高幾何直觀的層次和水平，使學生的思維逐步過渡到以圖形直觀、符號直觀為主的層次”，逐漸使幾何直觀內化為數學學習的一種思考方式和學習方式，進一步提高幾何直觀的意識和能力。激發學生的學習興趣，提高學習效率，培養學生的數學直覺和數學思維，進而提高學生的數學素養。

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部.《義務教育數學課程標準（2011年版）》S.北京 北京師范大學出版社 2011.

[2] 林曉捷.數學教學中運用幾何直觀[J].福建教育（小學版），2014（5）.

[3] 孔凡哲，史寧中.關于幾何直觀的含義與表現形式[J].課程·教材·教法，2012（7）.