高中數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)方法

歐陽煉

[摘 要] 數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)構(gòu)成要素之一。數(shù)學(xué)建?；顒芋w現(xiàn)出全面的數(shù)學(xué)能力。數(shù)學(xué)建模作為一種問題解決的方式，是提高學(xué)生應(yīng)用素質(zhì)的最好途徑。在教學(xué)中，可以通過下列途徑來提升高中生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)：從生活中的問題出發(fā)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的興趣與意識；重視學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀的訓(xùn)練，為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)打下基礎(chǔ)；在合作學(xué)習(xí)中讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程，形成數(shù)學(xué)建模的能力；通過反思和運(yùn)用，完善學(xué)生數(shù)學(xué)建模的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞] 核心素養(yǎng)；數(shù)學(xué)建模；數(shù)學(xué)閱讀；合作學(xué)習(xí)；反思

數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決問題的過程。主要包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，分析問題，構(gòu)建模型，求得結(jié)論，驗(yàn)證結(jié)果并改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題。

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)具有以下實(shí)踐意義：1.讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和運(yùn)用能力；2.增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)合作意識，提高分析問題和解決問題的能力；3.讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)知識的發(fā)生過程，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)創(chuàng)造能力和創(chuàng)新意識。

一、從生活中的問題出發(fā)

學(xué)生進(jìn)入高中以來，從各個方面接收到的信息就是高中數(shù)學(xué)很難，學(xué)生普遍對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生恐懼心理，對數(shù)學(xué)建模沒有興趣。為了克服這個問題，筆者引入貼近學(xué)生生活的事例，以生活情境的方式在課堂上展示給學(xué)生，來描述數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生的背景，這樣就拉近了數(shù)學(xué)和學(xué)生的距離。這些有一定的趣味性的問題可以很好地吸引學(xué)生，滿足學(xué)生好奇好動的心理要求，從而讓學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容產(chǎn)生興趣，產(chǎn)生強(qiáng)大的學(xué)習(xí)動機(jī)。

筆者所在的學(xué)校是一所寄宿高中，并且，學(xué)生宿舍沒有配備洗衣房，這樣，學(xué)生每天都需要自己洗衣服。從這個生活實(shí)際出發(fā)，在研究二次函數(shù)的最值問題時，筆者就引入了下面這個問題情境：

假設(shè)大家在洗衣服的時候，衣服已經(jīng)用了洗滌劑，并搓揉得很充分，這個時候我們需要把衣服上的洗滌劑沖洗干凈。首先我們把衣服擰一擰，把臟水?dāng)Q掉，當(dāng)然不可能擰干，擰后衣服上還殘留含有污物的水1公斤。如果我們還有20公斤清水用來漂洗，最多只能漂洗兩次，問題是要怎樣漂洗才能將衣服洗得更干凈？

學(xué)生一拿到這個問題，馬上就議論紛紛：

學(xué)生甲：肯定是分兩次洗得干凈，可以漂洗兩次。

學(xué)生乙：那可不一定，水的總量是20公斤，是固定的。

學(xué)生丁：我自己洗衣服都是漂洗次數(shù)越多越干凈，應(yīng)該是分兩次洗會更干凈，每次用10公斤的水來漂洗就可以了。

這個問題把學(xué)生的積極性調(diào)動起來，學(xué)生對這個問題充滿了興趣，非解決這個問題不可。

數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)指出：數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該從學(xué)生已有生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并理解運(yùn)用?！皵?shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活?！蓖ㄟ^從生活中的問題出發(fā)，創(chuàng)設(shè)合適的問題情境，可以很快地抓住學(xué)生的心理，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)建模產(chǎn)生興趣，愿意運(yùn)用數(shù)學(xué)知識來解決問題，從而培養(yǎng)他們數(shù)學(xué)建模的興趣和意識。

二、重視學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀的訓(xùn)練

數(shù)學(xué)閱讀能力就是學(xué)生閱讀、領(lǐng)會和理解數(shù)學(xué)材料的能力。在課堂上要引導(dǎo)學(xué)生對問題中的各項(xiàng)因素進(jìn)行分析，找出因素之間的關(guān)系和制約各因素的條件，用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行描述和解釋，從而準(zhǔn)確地在情境問題和數(shù)學(xué)問題之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)打下基礎(chǔ)。

筆者在課堂上經(jīng)常采用的方法就是特殊情況研究法。先解決一個很簡單的特殊問題，引導(dǎo)學(xué)生對問題中的各項(xiàng)因素進(jìn)行分析，找出因素之間的關(guān)系和制約各因素的條件，從而鍛煉學(xué)生的閱讀能力。例如在解決學(xué)生怎樣漂洗才能把衣服洗得更干凈這個問題時，筆者在學(xué)生對問題感興趣之后再問了兩個問題，讓學(xué)生獨(dú)立思考：

1.如果洗一次，把衣服放進(jìn)20公斤的水里面，那么連同衣服上那1公斤的水，一共有多少公斤的水？擰干后，衣服還有1公斤的水，污物殘留量和原來殘留量的比值是多少？

2.如果分兩次洗，第一次用5公斤水，污物殘留量是原來量的多少比值？再用15公斤的水，污物殘留量是原來量的多少比值？

學(xué)生通過自主研究這兩個問題，就能得到結(jié)論：一為 [121]，二為 [16×116=196]。這事實(shí)上就是學(xué)生完成對這個問題的數(shù)學(xué)閱讀，搞清楚問題中各個因素的關(guān)系。

在課堂上教師一定要注意學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真審題，分清題中重要的關(guān)系，排除無關(guān)因素的干擾，將題中具體的數(shù)量關(guān)系理清，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)問題，最后將文字語言轉(zhuǎn)換為圖形語言或者數(shù)字語言，建立數(shù)學(xué)模型。

三、在合作學(xué)習(xí)中讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程

同伴之間的交流與合作，更有利于學(xué)生描述和交換他們的數(shù)學(xué)思維。因?yàn)樵谟懻摰倪^程中，教師和學(xué)生盡力解釋和論證自己的模型，傾聽并理解他人的模型，形成新的模型。

例如在解決怎樣漂洗才能把衣服洗得更干凈這個問題時，學(xué)生在獨(dú)立閱讀和思考后進(jìn)行合作學(xué)習(xí)：

同學(xué)甲：同樣分兩次洗，也可以每次使用10公斤水，每次污物殘留量是原來的[110+1=111]，兩次漂洗后，污物殘留量是原來的[111×111=1121]。相比較把水分成分成5公斤和15公斤的水洗兩次殘留[196]要更少。我覺得應(yīng)該是把水平均分來洗效果最好。

同學(xué)乙：有沒有同學(xué)算到比[1121]還小的數(shù)？

同學(xué)丙：雖然我們都沒有算到比[1121]還小的數(shù)，但是數(shù)有無窮多個的，我們怎么保證其他所有情況都比[1121]大呢？我覺得是否可以建立一個函數(shù)模型來解決這個問題？

同學(xué)們再一次陷入了思考和討論中。

同學(xué)?。簩⑦@桶水分成兩部分，設(shè)其中一部分是[x]，則另一部分是[20-x]，其中[x<20]。兩次漂洗后，污物殘留量是[f（x）]=[1（x+1）（20-x+1）]，這時只需要求[f（x）]的最小值就可以了。但是這個函數(shù)的最小值應(yīng)該怎么求呢？

同學(xué)甲：這個問題可轉(zhuǎn)換為求[g（x）=（x+1）（20-x+1），x<20]的最大值來解決啊。我們可以令[g（x）=（x+1）（20-x+1）=-（x-10）2+121]，這是一個二次函數(shù)，通過它的圖象，我們可以知道當(dāng)[x=10]時，[g（x）]有最大值121，即[f（x）]有最小值[1121]。所以，把水桶里的水平分兩次來洗，洗滌效果最好。

在合作學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生進(jìn)行了數(shù)學(xué)思維的碰撞，經(jīng)歷了整個數(shù)學(xué)建模的過程，掌握了數(shù)學(xué)建模的方法，形成了數(shù)學(xué)建模的能力。

四、通過反思和運(yùn)用完善學(xué)生的數(shù)學(xué)建模的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

學(xué)生的反思包括對問題表征的反思、對策略選擇的反思、對模式識別的反思、對推理過程的反思。及時進(jìn)行反思，系統(tǒng)歸納、總結(jié)經(jīng)驗(yàn)可以完善數(shù)學(xué)建模的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，是提高學(xué)生建模能力的重要途徑。例如在解決學(xué)生怎樣漂洗才能把衣服洗得更干凈這個問題后，讓學(xué)生反思整個數(shù)學(xué)建模的過程：

1.模型分析：認(rèn)真閱讀問題的背景，對問題中的各個因素進(jìn)行分析；通過特殊情況的研究，加深對數(shù)學(xué)模型的理解。

2.模型建立：運(yùn)用從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，建立問題的數(shù)學(xué)模型。

3.模型運(yùn)用：通過數(shù)學(xué)知識來解答這個數(shù)學(xué)模型，并對問題進(jìn)行現(xiàn)實(shí)意義的解釋。

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生通過反思和運(yùn)用，對數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識經(jīng)歷了由感性到理性再到感性的過程。在這種循環(huán)往復(fù)、螺旋上升的過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)得到進(jìn)一步的提升。

責(zé)任編輯 李杰杰