淺析分式方程的解法

覃蘭颯

摘 要：從內容上看，分式方程也是方程，是整式方程的延伸和發展，是人們對方程認識的一次提升.以下講的分式方程是指可化為一元一次方程的分式方程.從思想層面上看，解分式方程的基本思想是化歸思想和程序化思想.這些思想方法的運用對整個數學都將產生廣泛而深遠的影響.將從分式方程的解法、求解步驟、涉及思想方法和常見的題型等進行剖析.

關鍵詞：分式方程；去分母；檢驗；數學思想方法；常見題型

一、分式方程的概念

二、分式方程的解法

1.解分式方程的方法

解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是“去分母”，即方程兩邊乘最簡公分母，分式方程轉化為整式方程后，繼續求解該整式方程，最后一步是檢驗：當整式方程的解使最簡公分母不為0時，這個解也是原分式方程的解；當整式方程的解使最簡公分母為0時，原分式方程無解.

2.檢驗分式方程的解

解分式方程去分母環節，在方程兩邊同乘以一個整式（即最簡公分母）.因此，檢驗分式方程的解時，只要檢驗所得整式方程的解是否能使最簡公分母為0即可.如果這個值使最簡公分母不為0，即相當于解方程時在方程兩邊同乘了一個不為0的數，根據等式的性質2，可知所得整式方程與原分式方程同解；如果這個值使最簡公分母為0，相當于原分式方程兩邊同時乘0，使原方程的解發生變化，雖然它是所得整式方程的解，但是它不滿足原分式方程，它是增根.避免超越初中學生的實際理解水平，本文不討論對解分式方程過程中出現增根的理論問題.

三、分式方程涉及題型

1.常見的解方程題型

2.含有參數的分式方程

解：方程兩邊同時乘以最簡公分母（x+1），得：m=-x-1，即解得：x=-m-1；

因為x的值是負數，所以-m-1<0，解得m>-1.又因為方程有意義并有解，因此m≠0.綜上，m的取值范圍為：m>-1且m≠0.

3.分式方程的實際應用

分式方程是方程中的一類，它可以作為某些問題的數學模型，成為分析、解決問題的工具，需要注意的是，分式方程的應用需要雙檢驗，既要檢驗是否是分式方程的解，又要檢驗是否符合實際.本文將列出使用分式方程解決實際問題的常見模型.

（1）工程問題：

（4）分式方程的應用例題解析。

例4.某班為滿足同學們課外活動的需要，要購買排球和足球若干個.已知足球的單價比排球的單價多30元，用500元購得的排球數量與用800元購買的足球數量相等.求排球和足球的單價各是多少元？

解：設排球的單價為x元，則足球的單價為（x+30）元，依題意得：

檢驗：x=50是分式方程的解，則x+30=50+30=80

答：排球單價為50元，足球單價為80元.

參考文獻：

[1]趙振平.談分式方程的教學[J].天中學刊，2000（5）.

[2]徐太玉.分式方程教學經驗說[J].數學教師，1998（1）.