變易理論與小學數學教學

吳春梅

摘 要：“變易理論”建基于“現象圖析學”。“變易理論”關注學習內容、關鍵特征、意識結構和變易識別。在數學教學中援引變易理論，需要對學習內容進行深度耕犁，對學習方式進行深度研究，對高階思維進行深度引導。運用變易思想進行教學，能讓學生數學學習有效發生。

關鍵詞：變易理論；變易哲學；數學教學

“變易理論”植根于“現象圖析學”研究方式。20世紀90年代，現象圖析學之父馬飛龍教授與香港大學教育學院研究團隊合作，讓現象圖析學逐漸成為一種“顯學”。“現象圖析學”不同于“現象學”，盡管它們都研究人的經驗，但現象學的根本旨趣在于得出本質，而現象圖析學則著眼于揭示人們經驗現象方式的不同， 并用描述類別和結果空間來闡述這種不同。在現象圖析學基礎上產生了變易理論。變易理論又稱變異理論。所謂“變易”，是指“當一個現象或者一個事物某個屬性產生變化而同時其他屬性保持不變， 變化的屬性將被審辨到”。基于“變易理論”的學習關鍵是找出事物最顯著差別，即是說， 學習關鍵是找出事物最顯著的差別。

一、“變易理論”的內涵簡介

“變易理論”將學習內容劃分為具體方面與一般方面、內部視域與外部視域。變易理論關注學習內容動態變化，通過內容變易深化理解。“變易理論”探討的是人怎樣幫助他人學習。變易理論認為，學習源于系統重復與變化。變易理論基本觀點是：為了認識某個事物，就必須注意到此事物與彼事物之不同。為了凸顯此事物與彼事物之不同，就必須使此事物的某種屬性在某個維度上發生變化。

1. 學習內容

“變易理論”里的“變”與“不變”指向學習內容。馬飛龍認為，學習包含“怎么學（how）”和“學什么（what）”兩個方面。“學什么”即學習內容，亦即最為直接、最為基本的學習目標。“怎么學”包括學生學習行為和學生要發展的某方面能力。“學什么”是學習內容直接目標，怎么學是學習內容間接目標。馬飛龍教授認為，只有既聚焦于學習內容，同時配適合宜的方法，才能產生期望的學習結果，割裂二者必然導致失敗。

2. 關鍵特征

相同學習情境，為什么有人會比別人學得好？在馬飛龍看來，之所以學得好是因為他們在學習內容方面“聚焦并經歷特定學習的某個關鍵之處”。比如，單獨一個數字5就是一個無意義的純粹符號，只有將5置于數系中，5才能顯現出其序數意義和基數意義來。當5這個數字納入運算之中，5這個符號所代表的意義就能凸顯出來。為了讓學生經歷“特定學習關鍵之處”，教師應當充分創造“變易”，即“將現象或事物的某個屬性保持變化而其他屬性同時保持不變”。唯其如此，關鍵特征才能被審辨到。

3. 意識結構

所謂“意識結構”，即個體在經驗時，存在質的差異的理解方式。變易理論認為，知識具有文化性、境域性、價值性。知識與文化體系中的價值觀念、生活方式、語言符號乃至人生信仰等意識結構密不可分。這啟示我們，數學教學必須注重情境，注重知識境脈意義。比如抽象的“一億有多大”，學生并不能感受到其意義。但是當我們將“一億”放置于情境之中，就能喚醒學生的驚異感，形成學生對“一億”的陌生化眼光。“一張A4紙的厚度很薄，而一億張A4紙堆積的高度竟然比珠穆朗瑪峰還高”“一枚1元硬幣大約重6克，一億枚1元硬幣重600噸，需要120輛5噸載重量的卡車來運”等。這樣的知識，有助于豐富、改變、完善學生的意識結構。

4. 變易識別

馬飛龍指出，當某個現象或事物的一個方面發生變化，而另一方面保持不變時，變化方面就會被識別出來。學習素數時，不僅要將素數與合數放在一起進行比較，更要將素數、合數、奇數、偶數等放在一起讓學生識別。識別有兩種方式：一是將某個事物的屬性識別出來，同時將變易屬性也識別出來，如學習“素數與合數”，必須讓學生進行因數分類，從中抽離出“素數”“合數”“既不是素數也不是合數的數”的數；二是將某個事物作為整體從一個情境中識別出來，同時也將這個事物的部分從其他部分和整體中識別出來。如素數合數的關鍵特征是因數個數，而奇數偶數的屬性即“是否是2的倍數”。

二、“變易理論”引領下的數學教學

馬飛龍等人認為，變易圖式可以帶出四種功能： 對照、類合、區分及融合。根據四種功能，在數學教學中，教師要引導學生在比照中獲得對數學知識的直觀感受，讓學生把握知識的關鍵特征，讓學生關注事物變化中之不變特征，讓學生保持知識幾個方面的關鍵特征同步變化。“變易理論”強調知識無關、重要和關鍵特征，這在某種程度上類似于科學實驗中的自變量、因變量和無關變量。

1. 對學習內容的深度耕犁

通常情況下，教學總是被理解為簡單講解教材知識點，有教師為趕進度，甚至對知識“掐頭去尾燒中段”，由此導致學生與數學疏離。變易理論認為，教學首先需要學生對學習內容進行深度耕犁。教師要深度思考的問題是：一個數學概念如何呈現才能讓學生領會？一個數學概念需要哪些例子才能完整展示其內涵？學生在學習數學概念時需要經歷怎樣的思維歷程？一個數學公式需幾個步驟推導才符合學生認知水平？

教學《認識方程》，教師絕不僅僅是簡單出示定義，讓學生借助定義進行判斷，而是需要有層次地揭示出知識本質。如教師可以出示一組式子（注：這組式子中有等式，有不等式，有式子，有含有未知數的等式，有含有未知數的不等式，有含有未知數的式子），提煉出“方程”。在這個過程中，學生不僅要展開正向思考，更要展開逆向思考，突出“方程是含有未知數的等式”的意義。為了增進變易教學之效果，教師可以將正例、反例、無關例子等一并呈現，這樣有助于學生歸謬激正，突出知識關鍵特征。變易理論不僅是一題多解、一題多變，也不僅是組織材料策略，更是一種教學思想。通過變易教學、達成不易知識、形成簡易學法（易學、易用、易創）的數學課程。

變易理論與巴班斯基的最優化教學理論無關，與維果茨基最近發展區理論無涉。運用變式理論要加強課前研判、課中觀察、課后跟蹤。同時，要引導學生構建知識導圖，以引導學生進行自主檢測，幫助學生形成學習策略，提高學生元認知意識和技能。

2. 對學習方式的深度研究

從根本上說，將變易理論引入數學教學，要加強對學生學習方式的研究。比較變式教學，變易理論更上位。一方面，變易理論為變式教學提供了認識論基礎；另一方面，變式教學為變易理論提供了精細化操作策略體系。從這個意義上說，變易理論是一種思想。在變易思想的統御下，教學開始由粗放走向集約、精細，這是一種深層次扎根研究。

張奠宙等專家認為，“易”是中國哲學的標識。將變易思想引入數學教學，可以通過變化概念、圖式、語義等方式。比如一位教師教學“三角形的高”，運用多種變易方式，讓學生掌握垂直關鍵特征。首先，教師認為如果出示標準圖形高，盡管學生容易抽象出高的特征，即垂直，但學生也容易受無關特征、非本質特征影響。基于此，教師出示了不同大小、不同方向的銳角三角形高。學生通過圖形變易，認識到不管線段方向、位置如何，只要是從三角形頂點到對邊的垂直線段就是高。然后，教師認為，這樣的高還僅僅局限于銳角三角形，高的位置全部在三角形的內部。基于此，教師又出示了直角三角形、鈍角三角形的高。至此，學生認識到三角形的高不僅可以在圖形之內，也可能在圖形之上、之外。不管線段位置、方向、形狀如何，只要是從三角形頂點到對邊的垂直線段就是高。

變易理論課堂教學研究是一種深層次的扎根研究。遷移理論認為，教師可以從單一事例或者眾多相似的事例中歸納、分離出本質屬性。因此需要大量的練習，熟能生巧、精講多練是這種教學的經典話語。在變易教學中，教師要善變，進而讓教學聚焦于數學知識的關鍵特征，從而讓學生理解、掌握數學知識。

3. 對高階思維深度引導

學生數學學習的目的是獲得思維提升。教師要運用變易思想引導、激發、調動學生思維。學生的高階思維涉及聯想、直覺、創造想象、比較、歸納推理等。變易理論認為，沒有變易就沒有學習，學習就是對知識屬性進行審辯，只有當關鍵屬性與其他屬性在變易中形成比照，學生才能形成高階思維。

如“運算律”一課，教師可以引導學生進行變易猜想、聯想。在教學加法交換律時，教師可以引發學生聯想：加減乘除四則運算是否都有交換律？通過舉例（包括正例和反例）不完全歸納出減法和除法的猜想與實際例證不符。在此基礎上，引導學生繼續進行變易聯想：在三個數、四個數和五個數中，交換律是否仍然成立。如此，不僅進行縱向變易聯想，而且進行橫向變易聯想。不僅如此，教師還可以激發學生進行縱橫向的整體變易聯想，不斷引導學生進行猜想、驗證、結論與運用的過程。這樣的教學，從整體、變易的視角讓學生逐步發展起數學高階思維。

馬飛龍指出，教師要盡可能通過必要的“變與不變”范式來幫助學生識別知識的關鍵屬性、屬性關系及屬性與整體關系。發展學生高階思維，需要教師從多個層面、向度予以變易，如內容、方式、教學工具變易等。

變易理論從現象圖析學視角出發，強調教師在“變”與“不變”中突出現象或事物在某個方面的關鍵特征。變易理論視野下的數學教學有助于豐富學生的“學”。作為教師，要審視數學本體性知識，了解學生學習困難。從核心問題——學習內容出發，根據學生學習數學的心理規律，運用變易思想進行教學，從而讓學生數學學習有效發生。