利用向量解決中學數學中的若干問題

尚瑤瑤　趙院娥

摘要：向量知識是普通中學教學中不可或缺的一項重要內容，向量的概念以及其中所引入的新的思想方法，在一定程度上擴充了中學數學教學內容的容量，同時由于向量是基于一種新的研究和思考方法，不僅拓寬了中學生的視野，而且使得數學知識進一步變得有趣生動起來，大大提高了中學生學習數學的積極性。

關鍵詞：向量；數學教學；向量教學；知識整合

一、 中學數學向量知識概述

（一） 向量的基本概念

我們把既有大小又有方向的量統稱為向量；長度（也稱模）為零的向量統稱為零向量，記0或0；長度為一的向量統稱為單位向量；向量可用黑體小寫字母a、b、c…或書寫a，b，c…來表示，也可表示為向量AB、向量 BC、向量CD等；向量也稱自由向量，即與起始點無關，僅由大小和方向決定。

（二） 向量的運算

向量的加法、減法和實數與向量積的綜合運算，通常叫做向量的線性運算（或線性組合）。向量的運算包括平面向量的運算以及空間向量的運算。以向量的加法、減法以及數乘運算為主。

1. 向量運算的概念

向量的加（減）法：

如圖，已知向量a，b，則有a+b=c，c-a=b。此方法稱為向量的三角形法則。

同樣的，如圖，得a+b=c，c-a=b。此方法稱為向量的平行四邊形法則。

2. 向量運算的性質

加（減）法的性質：

a+b=b+a

（a+b）+c=a+（b+c）

a=λ1e1+λ2e2（其中e1，e2為不共線向量，且稱為平面內一組基底）

數乘的運算性質：

λ（a+b）=λa+λb

（λ+μ）a=λa+μa

λa=aλ，其中兩向量共線的充要條件是a=λb

|a|=a·a

二、 利用向量解決中學數學中的若干問題

向量的價值在于它的廣泛應用性，向量集數和形一身，連接了幾何、代數以及三角函數等方面的數學問題。向量以其直觀性和可運算性為解決和溝通數學問題提供了極大的便利，如推理約簡，方位確定及形狀確定等。雖然向量里概念較多，但其實一大部分有其物理上的背景來源。物理學中有兩種基本量：標量和矢量。物理中的矢量包括力、加速度、位移、動量、速度等，矢量與向量雖然相似，但并不完全相同，比如物理學中的矢量力，除過大小和方向外，還有作用點，而向量沒有。但其之間微小的差異并不影響向量在物理學中的應用。不僅僅是物理學，下面我列舉幾種關于向量法在各類型題中的應用，從中可以更直觀地看出向量知識的廣泛應用性及其存在的重要性。

（一） 用向量的方法解決平面幾何的相關問題

學習平面向量之后，那么很多我們在初中所學過的基本定理或定義都可以用向量的方法做簡單的證明。

【例1】在三角形ABC中，M，N分別是AB、AC的中點。用向量法證明：線段MN是底邊BC的一半。

證明：設△ABC兩邊 AB、AC 之中點分別為 M、N，那么

MN=AN-AM=12AC-12AB=12（AC-AB）

所以MN∥BC，且MN=12BC。

平面幾何問題中的向量作用便是把形化成數的運算，通過平面直角坐標系，使得復雜問題變得清晰簡潔，易于與其他知識融合，這里主要體現出向量的工具性及雙重性。所以向量知識作為工具在平面幾何問題上有著很好的運用。

（二） 用向量的方法解決立體幾何的相關問題

向量在立體幾何中的應用最為常見，結合空間向量的坐標運算，可以解決共線、線段共面、線線（線面、面面）平行、線線（線面、面面）垂直、長度（模）、距離 及兩點間距離公式等諸多空間幾何問題。

【例2】在長、寬、高分別為1、1、1.5的長方體ABCD-A1B1C1D1中，O是底面中心，求A1O與B1C的距離。

解：如圖，建立空間直角坐標系D-ACD1，則 O12，12，0，A11，1，32，C（0，1，0）

所以A1O=-12，12，-32，B1C=-1，0，-32，A1B1=0，1，0。

設A1O與B1C的公共法向量為n=x，y，12，則n⊥A1On⊥B1Cx，y，12·-12，12，-32=0x，y，12·-4，0，-32=0-x+y-32=0-x-32=0x=-34y=34

所以n=-34，34，12，所以A1O與B1C的距離為

d=|A1B1·n||n|=32222。

當把平面向量推廣到空間，與立體幾何知識緊密聯系起來，就能在很大程度上強化學生的空間思維模式，并且能在立體幾何問題的解決中進一步掌握加強掌握向量知識，兩者的柔和可謂是相輔相成。在這類型的應用上，可以解決很多長度，距離等空間問題，大大提高中學生解立體幾何題的效率。

（三） 用向量的方法解決解析幾何的相關問題

解析幾何的基本思想是用代數的方法來研究幾何，為了把代數運算運用到幾何中來，最基礎的方法就是把空間幾何的構造有系統的數量化，代數化。所以我們首先在這里引入向量法以及向量的相關運算方法，而且可以通過向量來建立空間直角坐標系，使得很多解析幾何問題更簡便快捷的得到解決。

【例3】已知三角形三頂點為P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z3），P3（x3，y3，z3）。求△P1P2P3的重心（三角形三條中線的公共點）的坐標。

解：如圖

設△P1P2P3的三條中線為P1M1，P2M2，P3M3。三中線的公共點為G（x，y，z）

因此有P1G=2GM1。即重心G將中線分為三等分。

因為M1為P2P3的中點，所以得M1的坐標為M1x2+x32，y2+y32，z2+z32

再由公式得

x=x1+x2+x33，y=y1+y2+y33，z=z1+z2+z33。

所以△P1P2P3的重心坐標為Gx1+x2+x33，y1+y2+y33，z1+z2+z33。

在這一問題上，利用向量的線性運算，就可以解決集合中的與共面、共線、定比分點等有關的仿射性質的幾何問題。為了解決幾何中常見的長度。交角等有關的度量問題，又要使用到向量的數量積，即內積。我們把幾何問題轉化為以向量的運算規律為基礎的代數的演算，這樣，代數的方法也就引入到幾何中來了。

（四） 用向量的方法解決代數的相關問題

通常情況下，可以先把已知條件轉化成向量的表達式，然后進行向量的相關運算，最后把運算得出的結果轉化成求證的結論。

向量是代數研究很重要的對象之一。它具有大小和方向，可以進行加減運算，可以與實數結合進行數乘運算，也可以進行內積等運算。這些運算都是重要的幾何性質，利用這些性質可以幫助我們計算角度、長度、面積等幾何度量問題并且可以幫助我們刻畫幾何圖形（直線、平面等），以及判斷它們的位置關系。在以后的學習中我們還可以學到更多關于向量的其他運算。

【例4】已知函數f（x）=9+x2+（4-x）2+4，求函數的最小值。

解：構造向量p=（3，x），q=（4-x，2），則

p+q=（7-x，2+x）。

那么顯然

f（x）=9+x2+（4-x）2+4=|p|+|q|≥|p+q|=（7-x）2+（2+x）2，

當且僅當向量p=（3，x），q=（7-x，2）共線且方向相同時等號成立，

則此時x=4。

在代數問題里，主要是構造向量求最值問題，以向量的不等式為基礎性質，對原函數進行化簡計算，即可得到最大值（或最小值）。其次，因為運算很多，所以一定要掌握向量的數量積，向量積的定義及數量積的性質，掌握其計算方法。

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作者簡介：

尚瑤瑤，趙院娥（導師），陜西省延安市，延安大學。