探析高中數學教學過程中常用的思想方法

王小峰

【摘要】本文主要結合教學實例介紹了在高中數學教學過程中經常遇到的幾種數學思想和方法以及其對學生的學習所起到的重要影響.

【關鍵詞】高中數學；分類討論；函數與方程；數形結合

數學思想和方法是進行一切數學活動的基礎，不論是教師的教學還是學生的學習只要和數學知識相關都會有所涉及，它是人們從長期的數學研究、教學以及學習經驗中總結出來的精髓，同時是我們教師所要實現的最高級教學目標.在傳統教學過程中，大部分教師認為只要讓學生們學會教材當中的基礎知識，并且能夠在考試當中正確解答問題，取得較為滿意的成績，就算是完成了教學目標和任務，然而，隨著社會的發展，人們接觸到了西方更多的教育方法和理念，在初、高中階段利用一定的教學手段向學生們普及數學思想和方法越來越受到有關部門和廣大教育工作者的關注.

一、數學思想和方法在高中教學中的重要意義

首先，數學思想和方法能夠進一步幫助學生理解數學概念和定義.在實際教學過程中，因為數學內容較為抽象的特性，所以一些概念或者結論的描述性語言大都非常拗口，這就使得那些邏輯能力較差的學生不能透徹地進行理解.如，在學習“集合”這部分內容時，有些學生不能理解“空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.”筆者就應用轉化與化歸思想當中的直觀化、簡單化原則，將這一結論轉化為最基本的問題.分別從空集、子集、真子集的概念入手，讓學生逐個理解，再運用常用的集合表示方法，將描述性語言轉化成直觀的數學符號：A，A（A≠），這樣一來，相對于拗口的文字語言學生更容易接受和理解用符號直接表示出來的結論.

其次，數學思想和方法能夠有效幫助學生解決做題過程中遇到的各類問題.考試是檢測學生近期學習情況最有效、最快速的方法，通過這些測驗我們教師可以發現學生在學習過程中沒有掌握透徹的知識點，進而做出有針對性的指導.然而，在實際解題過程中，學生們只掌握書本上的基礎知識還遠遠不夠，他們還需要對于一些特殊的題目應用對應的數學思想或者方法才能找到解題的思路，進而得出問題的正確答案.從另一方面來說，當學生沒有建立數學思想的意識時，他們的答題過程就會受到阻礙，正確率也一直難以提高，在處理一些數學難題時更是經常找不到解題思路和方向，這就導致雖然學生在平時的學習過程中非常努力，但是他們的考試成績卻隨著數學知識學習的深入出現不升反降的反常情況.由此可見，教師有目的性地對學生進行數學思想和方法的教學能夠幫助他們建立題類、題型的概念，當在考試過程中遇到相類似的問題時，他們就能夠快速、有效地進行解決.

二、高中數學教學過程中常用的思想和方法

（一）分類討論的思想

在解決一些數學問題時，根據題干當中的一些條件并不能得出確切的結果，還需要對“不確定量”可能存在的情況進行分類，將一個問題劃分為兩個甚至更多的小問題來解決，通過對它們進行逐個計算、討論，然后再根據題目的具體問題整合出最終的正確答案，這就是分類討論思想在數學當中的具體應用過程.

根據多年的數學教學經驗，筆者發現并總結出分類討論思想在實際應用時所遵循的一些規律，其主要體現在根據題干給定的已知條件確定具體的研究“對象”，也就是上文當中提到的需要進行討論的不確定量.例如，在教學過程中遇到的“分段函數”，剛開始由于思維定式的影響，總有一部分學生認為函數只能用一個等式表達，不能理解為什么要進行分段；還有很多學生不知道什么時候需要進行分段討論，這就使得他們在解答相關題目時思路不清晰、明確，總是出現各種錯誤.出現此種情況主要是因為學生沒有建立分類討論的思想，對它的應用情況并不熟悉，另外，學生對函數的概念理解得還不夠充分.因此，筆者專門抽出數學課堂的一部分時間針對“分段函數”的分類討論情況給學生們進行了詳細的講解，筆者問：“你們仔細觀察曾經遇到過的分段函數，我們都是根據什么進行分類討論的呢？有什么共同的特點嗎？”學生答：“都是用定義域來劃分的.”筆者再問：“通過觀察函數的圖像，能否得出y值和x值的唯一對應關系呢？如果我們只使用一個等式能表達出兩者之間的變化關系嗎？”學生進行了短暫思考，回答：“x和y都是一一對應的，只有按定義域分段，才能表示出各部分的變化規律.”經過上述的引導過程，學生不但從根本上理解和掌握了“分段函數”的概念，而且對分類討論思想也有了清晰的認識和了解.

（二）函數與方程的思想

函數與方程思想的使用非常廣泛，學生在處理一些現實類應用題目或者需要表示一個事物隨另一事物的變化關系時，需要將這些信息進行提煉、整合轉化為可計算且具有一定含義的函數或者方程，繼而再運用數學知識解決問題.

例如，在講解“函數”這部分知識時，為了讓學生們建立函數與方程的思想，認識到兩者之間的相互轉化關系，筆者按下述教學過程對他們進行了引導.筆者先在黑板上隨意寫出了一個函數y=2x+1，然后，問學生：“當y的值分別等于0，1時，我們怎樣計算x的值呢？”學生們感覺這個問題非常簡單，答：“將y值分別代入函數式中就能夠計算出x的值.”筆者說：“非常正確！但在這個過程中我們需要通過分別計算方程式2x+1=0以及2x+1=1才能夠得出結果，在這里我們應用了數學當中一個常見的思想進行了轉化，你們知道是什么嗎？”學生答：“函數與方程的思想，這里將求解普通函數自變量的過程轉化為方程的形式進行計算.”筆者又問：“根據已經學過的知識你們能夠列舉出一些需要運用函數與方程的思想來解決問題的例子嗎？”有學生答：“在解方程的時候，經常會遇到含有未知參數的情況，這時我們可以將其轉化為函數關系來幫助我們解決問題.”……

（三）數形結合的思想

學生在解決一些數學問題時，如果只用代數計算或者幾何關系并不能得出結果，還需要他們應用數形結合的思想，在單純“數”或者“形”的問題上尋找兩者之間的關聯關系.這樣一來，不但能夠將煩瑣、復雜的數學問題簡單化，進而幫助學生提高答題效率，而且能夠讓他們深刻地認識到“數”和“形”之間不可分割的密切聯系，有效鍛煉其自身的邏輯思維以及形象思維.

例如，函數與其圖像之間的關系就是數形結合思想的典型應用，在講解這部分內容時，教師不能只讓學生掌握書本當中的基礎知識，還要幫助他們建立“數”與“形”相互結合的思想.筆者告訴學生們：“函數是用‘數來表達各個變量之間的相互關系，而圖像同樣能夠用‘形直觀地進行表示，在做一些題目時，如果我們不能單純地通過函數式的計算或者圖像中的位置關系得出答案，就需要考慮運用數形結合的思想，通過建立兩者之間的聯系來幫助我們解決問題.”這時，有學生答：“在處理幾何問題時，我們先通過圖像能夠了解各幾何形狀間的位置關系，然后再利用題干當中給出的數值進行計算，這種同樣是運用了數形結合的思想.”還有學生直接列舉了實例：“比如，函數y=ax+1，當a值不確定時，函數的單調性就不能確定，這時如果題干當中給出這個函數的圖像，我們就能夠直接觀察出它在定義域內的增、減情況，并且還能確定a值的正、負.”

（四）或然與必然的思想

在講解“概率”這部分內容時，需要讓學生建立或然與必然的思想，讓他們知道隨機事件的結果具有隨機性，沒有什么規律可遵循，但事件發展的頻率總是趨向于穩定的，也就是必然和或然在概率事件中總是同時存在、相生相依的.這樣能夠幫助學生從深層次上理解“概率”和“期望”的概念，因為事件的結果總是或然、隨機的，所以概率指的是某一事件相對于其他可能情況發生概率的大小，是用“必然”的方法去解決“或然”的問題；而期望表示的是隨機事件發展的頻率總是朝著一個平均、穩定的數值無限接近，是從“或然”中尋找“必然”的關系.

三、總 結

在高中數學教學過程中遇到的思想和方法還有很多，教師要在給學生們講解基礎知識的同時向他們普及當中所暗含的思想，這樣做的好處一是能夠鍛煉學生的分析、概括能力，開闊他們的數學思維；二是能夠逐漸培養學生透過基本的現象去認識、理解事物本質的能力，改變他們以往對數學學科的認知；三是能夠幫助學生建立科學、正確的數學觀.

【參考文獻】

[1]王曉娟.高中數學思想中的數形結合[J].中華少年：研究青少年教育，2011（12）：392-393.

[2]董曉萍.高中數學思想方法在教學中的有效應用例談[J].新課程研究旬刊，2013（1）：136-137.