解題反思在數學教學中的作用探賾

王梧 代少國

摘 要：解題反思是對解題過程和解題結果的分析回顧，它對破解認識封閉、助力條件挖掘、定向解題思路和擺脫變式訓練困惑等有重要作用。文章從借力反思、破解認識封閉，巧用反思、助力條件挖掘，活用反思、定向解題思路，常用反思、擺脫變式困惑幾方面研究學生如何通過解題反思獲得更好的解題能力。

關鍵詞：中學數學；解題反思；作用；問題意識；創新意識

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1008-3561（2018）11-0053-02

一、借力反思，破解認識封閉

例1，觀察圖1中函數圖像，并根據所獲得的信息回答下列問題。折線OABC表示某個實際問題的函數圖像，請設計一道符合圖像意義的應用題。

從學生們解答這道題的結果看，抽象出來的運動特征基本上都是：1）在OA段上勻速直線運動；2）在AB段上靜止；3）在BC段上勻速直線運動。這里的認識封閉性在于，隨著時間的推移而路程不變，當然是靜止。但隨著時間的推移而距離或長度不變，則可能是靜止也可能是運動。

例2，如圖2，一只螞蟻從O點出發，沿著扇形OAB的邊緣勻速爬行一周，當螞蟻運動的時間為t時，螞蟻與O點的距離為s，則s關于t的函數圖像大致是（ ）。

經分析易知應選擇C選項。因為在破除“有靜無動”的封閉認識的同時，不能進入另一個認識封閉，那就是“全靜或全動”的封閉認識。螞蟻在圓弧段可靜可動，但它到點O的距離S都不變。所以，還要破除在AB段全靜或全動的封閉認識，在AB段應該“動靜共存”。

兩例的解題反思，使學生對生活情境和圖像的關系有了更深層次的認識，更是打破了學生在AB段“有靜無動或全動全靜”的封閉認識，進而學生再對圖像賦予實際意義時，便會根據自己的不同的生活體驗和數學認知水平而編擬出豐富多彩的答案。

二、巧用反思，助力條件挖掘

利用解題反思，回顧解題過程，思考是否浪費了更重要的信息，找出被“浪費”的信息，以便開辟出新的解題通道。

例3，1）已知直線上有A（1，-2），B（-1，2）兩點，試求它的解析式； 2）已知拋物線過A（-2，0），B（-，）和C（1，0）三點，求它的解析式。

學生對利用待定系數法求解函數解析式掌握得比較嫻熟，會根據以往的解題經驗，自然而然地想到利用待定系數法來求解例3中的兩小題，并能準確得出1）的函數解析式為y=-2x，2）的函數解析式為y=-x2-x+2。多數學生到此結束，完成了解題。如果教師在此有意識地引導學生對解題過程和結果再做分析，會發現例3中1）的結果是特殊的一次函數。出現這個結論是偶然現象還是必然結果呢？再引導學生回過頭對解題過程進行反思，原來A、B兩點關于原點對稱，所以過這兩點的直線必過原點，那么所求的一次函數就是正比例函數了，從而就獲得了更簡潔的解法。直接設所求的一次函數為，再有A（1，-2）在直線上，得出，求得函數解析式為y=kx，再有A（1，-2）在直線上，得出k=-2，求得函數解析式為y=-2x。對2）的解析式y=-x2-x+2進行分析，找出對稱軸為直線x=-，教師可適時提出對稱軸能否從已知條件另行求出的問題，引導學生對解題過程進行反思，從而找到了另一種更優的解法。設函數解析式為y=a（x+）2+，再由點C（1，0）在該拋物線上，得出a=-1，從而求得該函數解析式為y=-（x+）2+=-x2-x+2。要想利用解題反思找出隱含條件，需要教師習慣性地引導學生重新審視每個知識點的發散度，特別是要從知識鏈上對知識內容進行多角度的理解。

三、活用反思，定向解題思路

例4，已知：關于x的一元二次方程（b-c）x2+（c-a）x+（a-b）=0有兩個相等的實數根，求證：2b=a+c。

通過對條件的感知，學生對一元二次方程的實數根與判別式的關系進行了思考，根據以往的解題經驗，學生得出利用Δ=0的解題思路。由Δ=0得到（c-a）2-4（b-c）（a-b）=0化簡得a2+4b2+c2+2ac-4ab-4bc=0。多數學生由于基本功不夠扎實或沒有受到過對上式進行處理的訓練，因而到此就無法進行下去了。少數同學能進行化簡得到（a+c-2b）=0結論，進而得出a+c=2b，故命題得證。該解法想法雖好，但化簡過程對初中生而言顯得較煩瑣，且容易出錯。甚至部分學生對式子a2+4b2+ c2+2ac-4ab-4bc=0的化簡無從入手。如果教師引導學生反思求證部分，將待證結論作為一個有用的信息，與已知相結合就會對求解思路起到一個定向的作用，從而就能得出一個更簡潔的證法。利用待證的結論，可以誘發如下思考：若2b=a+c則a-b=b-c，c-a=-2（b-c）。原方程可變形為（b-c）x2-2（b-c）x+（b-c）=0，提取（b-c）后得（b-c）（x2-2x+1）=0。由于原方程是一元二次方程，故b-c≠0，所以x2-2x+1=0，求得x1=x2=1。將結論作為一個有用的信息，找到原方程的根為x1=x2=1后，從而就找到了一個新的解題思路。解：經檢驗x=1是原方程的一個根，且該方程有兩個相等的實數根，所以x1x2=1。根據根與系數的關系得=1，經化簡得2b=a+c。相比較兩種方法，后一種方法邏輯關系簡單了，使用的知識減少了，且解題步驟縮短了，更為重要的是運算量減少了，簡單得連犯錯的機會都沒有。可見，在分析解題過程時，結論也是一個非常有用的信息，這會使得學生對題目的認識更為深刻和全面。多了這個信息后，情況就大不相同了，它可為解題思路提供定向的作用。

四、常用反思，擺脫變式困惑

部分學生每天被數學題海包圍，重復著似曾相識的題目，因不能找出它們之間存在的共性而致使問題無法獲得解決。久而久之，學生會感受不到數學的魅力，甚至對學習數學失去了信心。深究原因，認不清變式訓練的規律，走不出變式的怪圈是一個重要的原因。

例5， 已知：如圖3，△ABC中，AE⊥BC，垂足為E。AD平分∠BAC交BC于點D。若∠B=38°，∠C=70°，求∠DAE的度數。

這道題重點考查三角形三條重要線段中的角平分線和高的相關知識，可以從角的組合與分解來考慮，即利用 ∠DAE= ∠BAC-∠EAC-∠BAD或∠DAE= ∠DAC-∠EAC來入手，也可以從直角三角形兩銳角互余角度來尋求解答，即在Rt△ADE中，∠DAE= 90°-∠ADE。而∠BAD或∠DAC的求法都與∠BAC以及∠BAC的平分線有關，故只需要弄清楚∠BAC的求法和角平分線的定義就可以解決了。

可以將這個反思更深入開展下去，追問“在圖3中的△ABC，條件AE⊥BC，垂足為E，AD平分∠BAC交B于點D不變，∠DAE與∠B和∠C有著怎樣的數量關系”。因條件不變，故解題的思路和方法也不變，那么，循著以上的解題途徑能得出：在∠B﹤∠C的條件下，2∠EAD=∠C-∠B。這樣的反思將具體的角度計算推廣到一般性的結論，由一道題的解法得到了一組題的解法，不僅完善了知識結構，還培養了學生的問題意識和創新意識。

五、結束語

數學解題反思通過對解題過程和結論的分析回顧，不僅能“改進”解答，而且還可以提高“理解”水平。數學解題反思能夠通過已知學未知，通過分析“怎樣解題”而領悟“怎樣學會解題”。因此，對于經典問題，教師要舍得花時間引導學生反思，學生更要舍得花時間去做解題反思，并將這一行為養成習慣，以獲得更好的解題能力。

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