等價(jià)轉(zhuǎn)化

曾卓楊

摘 要：通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)換實(shí)現(xiàn)把三元問(wèn)題最終轉(zhuǎn)化為二元問(wèn)題，然后類似于線性規(guī)劃問(wèn)題的解題策略，借助于數(shù)形結(jié)合的辦法解決一類在非線性約束條件下求目標(biāo)函數(shù)的范圍或最值的較為復(fù)雜的問(wèn)題.

關(guān)鍵詞：等價(jià)轉(zhuǎn)換；類線性規(guī)劃問(wèn)題；轉(zhuǎn)化策略；三元問(wèn)題

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)碰到一些不太熟悉，或者很難、很繁的問(wèn)題，解決的辦法就是需要聯(lián)系已有的知識(shí)和原理通過(guò)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，把不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，把很難的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為容易的問(wèn)題，把繁瑣的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，從而使問(wèn)題得以解決.可以說(shuō)，數(shù)學(xué)解題就是一個(gè)不斷進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換的過(guò)程，最近在復(fù)習(xí)過(guò)程中就經(jīng)常碰到一類含有三個(gè)量的，而且不全是線性的“類線性規(guī)劃問(wèn)題”，跟我們平時(shí)的線性規(guī)劃問(wèn)題有些類似，但又不一樣，解決起來(lái)總感覺(jué)有些棘手，通過(guò)梳理，我發(fā)現(xiàn)有以下幾種轉(zhuǎn)化策略，可以使問(wèn)題變得易于解決.

策略一：把其中一個(gè)量看做已知常量，把三元問(wèn)題視作二元問(wèn)題解決

例1：已知正數(shù)a，b，c滿足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，則 的取值范圍為

這是一個(gè)三元問(wèn)題，跟平時(shí)老師要求我們掌握的二元不等式表示平面區(qū)域的問(wèn)題有點(diǎn)不一樣，初看一眼顯得有點(diǎn)束手無(wú)策，怎么辦呢？我就想到老師經(jīng)常強(qiáng)調(diào)，碰到不熟悉的問(wèn)題時(shí)，嘗試去將不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，目前我們熟悉的是二元不等式表示的平面區(qū)域，注意到本題要求 的取值范圍，不妨把a(bǔ)和b看做變量，設(shè)b=y，a=x，把c看做一個(gè)正常數(shù)，那么問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為：已知正數(shù)x，y，c滿足

，則 的取值范圍為 .

這樣一轉(zhuǎn)化，問(wèn)題的面貌煥然一新，它就變成了一道在二元約束條件下求二元目標(biāo)函數(shù)的取值范圍的問(wèn)題，自然會(huì)聯(lián)想到線性規(guī)劃問(wèn)題的處理策略.顯然本題的目標(biāo)函數(shù)就是我們常見(jiàn)的典型的斜率型問(wèn)題.線而性規(guī)劃問(wèn)題最基本的求解方法就是圖解法，只需準(zhǔn)確地畫出可行域問(wèn)題就會(huì)迎刃而解.

由{y≥-3x+5cy≤-x+4c可得這部分的可行域?yàn)槿鐖D1，且x∈[ ，4c）.

而clny≥x+clnc可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為 ，

因?yàn)閏是正數(shù)，所以可以構(gòu)造函數(shù) ，

顯然f（x）在區(qū)間[ ，4c）上是單調(diào)增函數(shù)，因此可以作出約束條件 表示的可行域如圖2.

令 =k，由圖可知kmax=koA=7，而當(dāng)直線y=kx與曲線f（x）=ce 相切于曲線BC段某一點(diǎn)時(shí)，k取最小值，設(shè)切點(diǎn)

，

則 ，可得x0=c，則kOP=e，故 的取值范圍為[e，7]，切點(diǎn)P是否一定在曲線BC段上呢？為了消除這個(gè)疑慮，作直線x=c，如圖，則M（c，2c），P（c，ec），N（c，3c），所以k的最小值就在P點(diǎn)取到，所以 的取值范圍為[e，7].

策略二：對(duì)三元齊次型，兩邊同除其中一個(gè)變量，把兩個(gè)比值看做兩個(gè)變量，三元化二元

策略一是將三元問(wèn)題從形式上看成二元問(wèn)題，但本質(zhì)上還是三元問(wèn)題，但對(duì)于一些齊次的三元問(wèn)題，還可以兩邊同除以其中一個(gè)變量，出現(xiàn)兩個(gè)比值，只需把這兩個(gè)比值看做兩個(gè)變量就可以實(shí)現(xiàn)把三元問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二元問(wèn)題.

如例1，還可以在約束條件中的不等式兩邊都同時(shí)除以c.

轉(zhuǎn)化為

再令 ，則問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為：

已知正數(shù)x，y滿足 ，則 的取值范圍為 .

顯然這個(gè)問(wèn)題要相對(duì)熟悉，通過(guò)圖解法很容易解決.

策略一與策略二相比較，都轉(zhuǎn)化為典型的斜率問(wèn)題，它的求解要涉及到導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，知識(shí)的交匯和綜合就得到完美體現(xiàn)，不同之處是前一種的轉(zhuǎn)化顯得直觀，對(duì)我們而言后一種的轉(zhuǎn)化顯得簡(jiǎn)潔，但極具挑戰(zhàn)性.當(dāng)然，在不等式兩邊都同時(shí)除以a也可以解決.

例題2：在△ABC中，已知角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊為a，b，c，若2c2+ab≥kbc，求實(shí)數(shù)k的最大值.

這道題中，注意到a，b，c能作為三角形的三條邊能構(gòu)成三角形，可以列出一個(gè)三元齊次不等式 ，而2c2+ab≥kbc可以通過(guò)變量分離得到 ，因此，只需對(duì)約束條件的不等式兩邊同除以其中一個(gè)變量，再把兩個(gè)比值看做兩個(gè)變量，實(shí)現(xiàn)三元問(wèn)題二元化從而轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題.

解：由2c2+ab≥kbc得 ，在△ABC中

，即，

設(shè) ，約束條件即為 ，作出可行域（如圖3），

設(shè) ，則 ，作 左右平移，當(dāng) 與區(qū)域相切時(shí)取最值，

設(shè)曲線 與y=x+1相切于P（x0，y0），

則由

解得x0= -1，z= -1，

同理，曲線 與y=x-1相切時(shí)，得z= +1，即

所以k≤ -1，

因此，k的最大值為 -1.

當(dāng)遇到條件關(guān)系比較抽象、復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，常常通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)換，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為在已有范圍內(nèi)可解的問(wèn)題，它的核心是化難為易、化生為熟、化繁為簡(jiǎn)，如果能把握住這道題的轉(zhuǎn)化方向，找準(zhǔn)突破口，那么我們?cè)诶щy面前就不會(huì)顯得束手無(wú)策，問(wèn)題就會(huì)迎刃而解，因此，等價(jià)轉(zhuǎn)化可以說(shuō)是數(shù)學(xué)解題的“金鑰匙”.