數學概念教學中“問題串”的設計

劉焱彬

摘 要：章建躍老師曾提出課堂教學要有貫穿始終的教學主線，而這個教學主線是基于對數學的理解和對學生的理解才得以形成的課堂教學結構和課堂教學線索，并指出其基本表現形式就是“問題串”，“問題串”不僅要問得好而且還講究串得好，“問題串”要能揭示數學的本質，要具有邏輯性，并循序漸進、逐步深入地引導學生參與課堂。

關鍵詞：問題情境；學生活動；建構數學；數學運用；回顧小結

首先從整體把握兩節公開課的教學情況，分別整理了在各個教學環節上兩位教師的教學行為，教學設計思路為：問題情境、學生活動、建構數學、數學運用、回顧小結。兩位教師流程設計如下：

在初步知道函數f（x）=lgx+x-3的零點在（2，3），那該如何進一步探求此零點的近似值呢？這是我們本節課要完成的任務。

【剖析】教師A的應用問題設置有效針對了本節課的內容來設計：問題（1）通過求解方程得到函數零點，問題（2）是利用函數圖象得到函數零點個數，問題（3）則是連續函數零點存在性定理的應用。

教師B的應用問題的設計不僅鞏固了本節課的內容，而且為后續內容“用二分法求方程的近似解”作了鋪墊。零點的概念出現在連續函數的性質——零點存在性命題之中，這個性質是為“用二分法求方程近似解”服務的。課標安排“用二分法求方程的近似解”，目的是為反映方程與函數的聯系，增加函數的“應用點”，體現函數應用的廣泛性。從這一點可以看出教師B的問題設計不僅局限于本節課的內容，而且更加關注對整個教材的理解。這一點也在后面的一課中作為亮點被提出。真可謂是一舉兩得，不僅解決了一開始提出的問題，而且承上啟下為后續內容作了準備。

教師A的回顧小結，本節課你的心得體會是什么？讓學生先回答，接著教師給出三個方面提煉：（1）一個概念（函數零點）；（2）兩種視角（數與形）；（3）三條途徑（用定理、解方程、畫圖象）。

教師B的回顧小結，通過本節課的學習你學到了哪些數學知識？又學到了哪些重要的數學思想？接著教師用PPT展示：（1）一個定義：函數的零點；（2）三個等價關系：一個定理；零點存在定理，兩種方法：判斷函數零點是否存在的方法；兩個數學思想：數形結合、轉化的思想。

【剖析】回顧小結是為很多教師所忽視的，常常是虎頭蛇尾，匆匆收場。很多時候教師也只是例行公事般羅列出知識點、思想方法等。教師A做得相對好一些，先讓學生去回顧總結，學生陳述的往往比較零散，不成體系，不夠精煉，教師A則從一個概念、兩種視角、三條途徑這三個方面引導學生去概括提煉，更易于學生去把握本節課的核心內容，也有助于培養學生自我提煉整理的習慣。

接下來結合上文的觀點從整體角度審視一下兩位教師的教學，來分析一下教師A和教師B的教學主線以及問題的設置。

教師A的教學主線：具體一元一次方程的根與一次函數之間的關系概括一般函數的零點求解函數的零點（遇困難）數（方程）→形（圖象）→數（區間端點值）建構連續函數零點存在性定理辨析深化定理的理解應用回顧總結

教師B的教學主線：求一組方程的解（遇困難）引入課題由具體一元二次方程的根與二次函數之間的關系概括得到二次函數的零點推廣得到一般函數的零點求解函數的零點（形→數）概括二次函數零點存在性定理推廣得到一般函數的零點應用回顧總結

教師B緊扣教材經歷兩次概括：一次是將二次函數的零點概括出一般函數的零點；第二次是由具體二次函數零點存在性條件概括出一般函數的零點存在性定理，類比推廣過程中需要注意條件的充分性。整個過程邏輯性強，準確定位了學生的最近發展區并以此設置問題，且適合學生的已有認知結構，符合學生的認知特點。

教師A重新建構了教材的教學思路，淡化了函數零點的定義，在求解函數零點問題中通過設置障礙與學生形成認知沖突，充分運用函數存在零點在圖象上的特征引導學生概括建構定理的條件。把重心放在定理的辨析和理解上。最后沒有時間給予學生進行當堂練習，當時評課時這一點曾經產生爭議，認為沒有當堂應用，課堂結構不夠完整。但實際上有時課堂不必為了結構的完整而受到約束，有時就需要尊重課堂現實。通過設置問題讓學生經歷舉反例進行辨析所達到的對定理的理解遠遠超出幾道練習題所收到的成效。

值得商榷的是從問題的設計來看，有的問題提的還是有缺陷的。比如在揭示“方程與函數的聯系”時，教師A盡管也是通過問題的形式讓學生從數、形兩個視角獲得一元一次方程的根與相應一次函數的聯系，進而得到函數零點的定義，但是問題本身已經直接點出了一元一次方程與一次函數的聯系，等于是教師代替學生將求解方程的問題轉化為函數問題，學生失去了一次知識之間聯系的訓練機會。教師B同樣是如此，問題本身已經點破方程與函數的聯系。那么該如何設計能讓學生自己主動將方程求解問題轉化為函數問題呢？這里給出一個示例：方程3567x2-3569x+1=0有實數根嗎？你有幾種方法來判斷？這個一元二次方程的系數較大，“迫使”學生無法分解因式求解，而只能另辟蹊徑。經過實踐發現，大多數學生都能想到判斷Δ，還有少數學生想到了聯系二次函數f（x）=3567x2-3569x+1的圖象，開口向上，且根據系數特征很容易發現f（1）=-1<0，于是運用二次函數的圖象特征來得到結論。由此在課堂上交流讓學生初步領會方程與函數的聯系，接著給出函數零點的定義，并順勢提出“方程f（x）=0有實數根函數f（x）的圖象與x軸有交點函數f（x）有零點”的結論，這樣的過程讓學生感覺更加自然，且有一定的挑戰性，既聯系了已有的知識，也讓自己的思維“跳一跳”，貼合學生的“最近發展區”。

本文通過深入課堂考察數學概念課的實施情況，試圖尋找目前概念教學中存在的問題，以便有針對性地提出改進措施，從而進一步促進改進數學概念教學。研究“問題串”的設計尋求數學概念的有效教學，通過“問題串”的設計讓數學概念自然生成，努力揭示數學概念的本質，讓學生形成自己的理解力。endprint