高中數學解題中平面幾何的應用研究

何林璐

摘要：對于每個學生而言，不管是小學、初中，還是高中，數學都是一門極為重要的學科。在高中數學中，平面幾何知識占有重要地位，是重點環節之一，也是高考的重點考察內容。平面幾何知識在數學中的應用極為廣泛，能夠應用到很多知識點進行解題。本文將針對平面幾何知識在高中數學解題中的具體應用進行分析，研究平面幾何知識如何能夠更好地應用到高中數學解題中，進而達到事半功倍的效果。

關鍵詞：高中數學；平面幾何；應用

在高中數學的學習內容中，有很多學習重點，主要包括：各類型函數、導數、立體幾何、平面幾何、數列與不等式等知識內容。比起函數的抽象化、數列與不等式的無章可循以及導數的高深莫測等知識點而言，由直線構成的平面幾何還是比較容易掌握的，理解起來也較為容易。并且，平面幾何知識，與很多方面的知識點都有著密切的關系，可以對其進行利用進行解題，能夠在最大程度低降低計算量，得到出奇制勝的解題效果。為了輕松應對高考，需要熟練掌握平面幾何知識，研究其基本原理與解題技巧，提高學習質量與效果。下面，本文將對平面幾何知識進行具體的分析和研究。

一、高中數學中平面幾何的基本知識點

1.點、直線與平行線 點，是最為基礎的形，是平面幾何圖形的最基礎構成部分。而直線，則是由無數個點組成，是平面幾何圖形的組成部分，兩個點之間有且只有一條直線。平行線，則是指過直線外一點有唯一的一條直線和已知的直線平行。平行線，則是平面幾何中最為基礎的組成元素。平行線因為永不相交的性質決定其主要有這幾特點：第一，若兩條直線平行，這兩條直線的兩端延長線也永不相交；第二，同位角相等，內錯角相等；第三：同旁內角之和等于180°。平行線的這些特點，是對三角形與四邊形進行推理的重要依據，在解題中科作為輔助線進行使用。

2.三角形與四邊形 在平面幾何知識點，三角形這一塊內容占有重要部分。三角形的主要知識內容點有：第一，三角形的任意兩邊的和一定大于第三邊，任意兩邊的差一定小于第三邊；第二，三角形的內角和等于180度；第三，等腰三角形的頂角平分線、底邊的中線、底邊的高重合，即三線合一；第四，直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，也就是勾股定理。直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半。在平面幾何中，三角形是最基礎的圖形，三角形知識點也是學習的重點內容。

和三角形不同的是，四邊形的知識點級性質與平行線的知識內容是有很多相似點的，比較容易掌握，解題思路也相對清晰。四邊形主要分成：平行四邊形、矩形、梯形與菱形等。這些四邊形，都有著平行線的基本特點，但就每一類四邊形而言又各有差異，比如說，菱形是對角線互相垂直并平分菱形的四個角，且菱形四邊相等；矩形的四個角都是直角，相等相切。這些都是解題時的重要依據。

3.圓 在平面幾何中，圓是最為特殊的一個圖形，知識點也比較復雜，最為基本的知識點主要有以下幾點：第一，圓是軸對稱圖形，亦是中心對稱圖形。對稱軸是任何一條直徑所在的直線，對稱中心就是圓心，并且具有繞其圓心旋轉的不變性；第二，直徑所對的圓周角都是直角；第三，垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條??；第四，在同圓或等圓中，兩個圓心角和它所對的兩條弧、兩條弦以及兩個弦心距這四組量中，如果其中一組量相等，則其它三組量也都分別相等。另外，圓還有很多外切、內切、外接與內接等知識點內容。這些知識點內容都是熟練了解與掌握的，便于拓寬解題思路。

二、高中數學解題中平面幾何的應用分析

因為平面幾何比較形象化，具象易懂，學生易于接受與掌握，對于曲線知識的學習能夠有很大的幫助。很多函數曲線均由在相應規則變化下的圖形形成的，比如說：圓、拋物線與雙曲線。這些知識點的學習，通過借助平面幾何的具象易懂性，能夠使得學生對函數曲線的特性一目了然。高中數學的解題思路一般情況下都不止一種，可以靈活選擇，方法較多。

我們在面對抽象的曲線圖形時，要先理解題意，記清已知信息，化抽象為具象，將常規代數和平面幾何進行合理配合應用，找出題干中的潛在幾何知識點，借助輔助線，應用平行、直角等有關知識點進行解題，簡化步驟，降低計算量，節約答題時間，也能夠提高答題的正確性與準確率。下面，針對平面幾何在高中數學解題的具體應用，本文列舉了三個最為典型的情況進行分析。

1.曲線方程的求解應用 作為最典型的解析幾何數學題目，求解曲線方程一直是比較容易得分的題目，因此，我們應該對這類型題目的解題思路進行多做練習多分析，全面了解和掌握解題技巧。對于曲線方程的求解應用，可以借助待定系數法答題。待定系數法，是指以題目給出已知條件下的點與位置關系為基礎，通過帶入到曲線方程中消除其中一個未知數，從而解答出另外一個未知數，再對整個方程進行解答。

2.最值性問題的求解應用 對于圓錐形曲線而言，主要的學習知識重點就是最值問題的求解。在求解圓錐形曲線的最值時，可以借助平面幾何知識，依據題目已知條件和關系，比如說距離值這一固定關系，進而將假設的方程帶入到距離計算中，借助限定條件，對其未知數的值域作出判斷，再求出實際值，最后再將實際值帶入假設的方程進行求解。

3.范圍性問題的求解應用 范圍性問題，和最值性問題一樣是比較常見的數學問題，但解題思路還是有著一定差異的，主要差異在于范圍性問題更加的依賴于圖形進行求解，要依據圖形的具體位置關系，對值域進行判斷和分析，進而依據圖形射出方程，進而對范圍進行求解。

總而言之，在高中數學問題的求解中，我們應該熟練掌握平面幾何知識點，借助圖形與已知條件深入分析題干，依據相關定力與公式進行答題，簡化分析和計算步驟，節約答題時間，也提高答題質量與效果。

參考文獻

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（作者單位： 四川綿陽中學實驗學校 621000）