滲透模型思想提高數學素養

連恒興

摘 要：數學模型不僅為數學表達和交流提供了有效的途徑，也為解決問題提供了重要的方法，建立模型是數學應用和解決問題的核心。教學中，我們要加強學生的實踐操作，培養學生抽象概括的能力，讓學生經歷從生活情景到數學模型的建立過程，幫助學生更好地運用數學模型解決問題，提高數學素養。

關鍵詞：模型思想；數學素養；數學教學

一、加強實踐操作，促進數學建模

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“動手實踐、自主探索、合作交流是學生學習數學的重要方式。”蘇霍姆林斯基曾說：“兒童的智慧在他的手指尖上。”數學是做出來的，學生只有親歷知識的發現過程，才能真正理解和掌握知識；學生只有經歷知識的探索過程，數學的思想、方法才能深深地積淀在自己的腦海中。因此，教學時，教師要善于為學生提供豐富的感性材料，給予學生足夠的時間用于操作、實踐，讓學生在自主探索與合作交流中學習知識，了解知識的形成過程，從而為數學模型的建立提供可能。如“三角形面積”計算公式的推導過程就是一個不斷感知與積累經驗、建立梯形面積模型的過程。我是這樣設計的：

1.創設情境，提出問題

師：上周我們班學生表現非常優秀，得到了學校表彰的流動紅旗，同學們想想，這面流動紅旗面積有多大呢？

生1：要知道它是什么樣的三角形。

生2：要知道它的底和高各是多少。

師：要知道流動紅旗的大小，也就是要知道三角形的面積，我們現在還沒掌握這方面的知識。這樣，咱們先來解決三角形的面積計算這個問題，再去算流動紅旗的面積。

2.遷移誘導，激發參與興趣

請同學們猜猜看，三角形的面積與什么有關系？聯系平行四邊形面積公式的推導過程，想想用什么方法可以推導出三角形的面積？

3. 小組合作，自主探究

（1）以小組為單位，各小組自行選擇一種方案進行探究。學生可以利用手中的工具、學具、表格動手操作。

（2）各小組推選一人向全班匯報過程與結果。

方案一：在方格紙上，用兩個完全一樣的直角三角形拼一拼，拼成一個長方形。從圖中可以看出，長方形的長等于三角形的底，長方形的寬就是三角形的高，把數據填入手中表中，比較三角形與長方形面積有什么關系？

因為長方形的面積=長×寬 （直角三角形面積等于長方形面積一半），所以三角形的面積=底×高÷2。

師追問：為什么要除以2？

方案二：在方格紙上，用兩個完全一樣的銳角三角形拼一拼，拼成一個平行四邊形，從圖中可以看出平行四邊形的底等于三角形的底，平行四邊形的高就是三角形的高，把數據填入手中表中，比較三角形與平行四邊形面積有什么關系？

因為平行四邊形的面積=底×高（銳角三角形面積等于平行四邊形面積一半），所以三角形的面積=底×高÷2 。

師再次追問：為什么要除以2？

方案三：在方格紙上，用兩個完全一樣的鈍角三角形拼一拼，拼成一個平行四邊形，從圖中可以看出平行四邊形的底等于三角形的底，平行四邊形的高就是三角形的高，把數據填入手中表中，比較三角形與平行四邊形面積有什么關系？

因為平行四邊形的面積=底×高（鈍角三角形面積等于平行四邊形面積一半），所以三角形的面積=底×高÷2。

三角形面積字母公式：S=ah÷2

（3）師生小結：同學們用各種方法，把手中的直角、銳角、鈍角轉化成已學過的圖形，根據三角形與其他圖形的關系推導出：三角形面積=底×高÷2 。現在能幫老師解決問題了嗎？

上述教學中，學生經歷了三角形面積的推導過程，在猜測與驗證中，學生動手操作、主動探索、分析歸納，從多種方案中都推導出了三角形的面積公式，充分體驗了三角形面積計算公式這一數學模型的形成過程。

二、引導抽象概括，成就數學建模

在數學學習過程中，抽象與概括是數學能力的核心要素之一，是形成概念、得出規律的關鍵性手段，因而，也是建立數學模型最為重要的思維方法。抽象是從許多數學事實或數學現象中，舍去個別的、非本質的屬性，而抽出共同的本質的屬性。而概括則是把抽象出來的事物間的共同特征歸納出來，它以抽象為基礎，是抽象過程的進一步發展。例如，學習“生活中的比”整個過程如下：

（l）具體情景：相片B、D與A相像，那為什么這幾張相片比較像呢？你的想法是什么？……

（2）列式計算，討論結果的表示方式。

相片A：6÷4=1.5；相片B： 3÷2=1.5（長除以寬的商相同）；相片D：12÷8=1.5。

得出：6÷4=3÷2=12÷8

通過以上列式，以數學語言的方式總結表達出來，得到結論：被除數÷除數=被除數∶除數。從而得到比的概念：兩個數相除，又叫做兩個數的比。

（3）用字母公式表示除法與比之間的聯系：a÷b=a∶b（b≠0）。同理通過分數與除法關系，可以揭示除法、分數與比之間的聯系：a÷b=a∶b（b≠0）。

從中發現，這個片段學習過程，正是從一些具體數學例子，去掉非本質的屬性得出規律，建立數學模型的過程，是“提出問題—解決問題—建立模型”的過程。在教學中引導學生以抽象概括的思維方法，來學習小學數學中的許多數學問題時，可以得出這樣的規律：許多不同類型數學問題，可以概括相同數學模型。例如，小學數學中平均數應用題、歸一應用題、行程應用題等，所具有的相同的數學模型是：總數÷份數=平均數（速度從某種意義上來說，也是一種平均數）。可見，數學模型是一種數學抽象，它拋開了一切非本質的屬性，闡明了系列問題中最主要的關系和特征，并用數學符號加以表述。學生通過不斷的學習與建立數學模型，就能夠有效地提高解決問題的能力。

三、成功解決問題，深入模型應用

數學建模的目的是更好、更快地解決問題，學生數學學習的過程其實就是一系列數學建模的過程，在提出問題、解決問題、再提出問題、再解決問題的過程中，積累了大量的數學模型。建立一個好的數學模型對解決該類問題的幫助是非常之大的，如“雞兔同籠”問題學習，就是通過“雞兔同籠”這樣的一個有趣情景，使學生在腦中牢固建立起“雞兔同籠”的模型，再在解決問題中用上這種模型。

如問題：“連芳的儲蓄罐中有1元的硬幣和5角硬幣共100枚，總面值是60元。問1元的硬幣和5角的硬幣各有多少枚？”解答此類問題時，教師就可以先引導學生觀察、猜想，試著把1元的硬幣看成“雞”，5角的硬幣看成“兔”，再運用已學過的“雞兔同籠”模型來解決：1元的硬幣數量：（60-0.5×100）÷（1-0.5）=10÷0.5=20枚；5角的硬幣數量：100-20=80枚。通過這樣的轉化，使問題得以具體化、模型化，從而輕而易舉地使問題得到解決。同時，在解決問題的過程中，學生深刻體會到了模型思想的魅力，從而更加激起學習數學的興趣。

四、結語

總之，數學模型無處不在，學生學習數學知識的過程就是對一系列數學模型理解、把握并加以運用的過程。數學教學應重視模型思想的滲透，幫助學生把握數學的本質，建立相關數學模型，促使學生更好地理解知識，形成應用數學模型探索問題和解決問題的習慣，讓數學學習過程真正成為提高數學素養的過程。

參考文獻：

[1]馬國華.數學思想方法在高校思想政治教育工作中的作用[D].北京：北京化工大學，2013.

[2]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.endprint