高中數學思想方法實踐性應用探究

楊利娜

[摘 要] 從高中數學教學的本質這一角度來講，數學思想的延續與傳授應該是比數學知識的傳授更為主要和重要的內容，學生的數學素質、高中數學課堂教學的效果以及教學的效率均因為學生對于數學思想方法掌握的程度而左右.筆者結合多年教學實踐經驗對數學思想方法的含義、實施原則、實踐應用以及其教育的價值作了初步探討.

[關鍵詞] 數學思想方法；簡要含義；原則；實踐應用；教育價值

[?] 數學思想方法的簡要含義

青少年思維發展的重要途徑從其心理發展規律這個層面來講正是數學思想方法的開展. 如果說初中生的思維還處于“形式”向“辯證”轉變的過渡階段，那么“辯證思維”形成與發展的重要時期正好便是學生的高中時期.

人的意識在認知客觀事物及其規律的過程中產生的一系列思維活動的產物正是我們通常所說的思想方法. 在數學學科范疇的數學思想方法便是人的意識對于現實世界數量關系及其空間形式的認知而產生的數學理論、數學本質等方面的思維產物. 數學思想方法的教學從學習的認識結構理論來講，對于數學認知結構、數學思想方法、數學基礎知識的建立與發展都有著巨大的心理影響，是學生學習動機、意愿以及認知的生產與促進者，在為學生提供數學思維活動實施具體手段的同時強化了學生的學習意愿. 由此可見，數學思想方法在學生的學習遷移、數學能力及學習效率的發展、提高過程中均具有無法替代的推動作用.

[?] 高中數學思想方法教學需遵循的原則

1. 揭示、滲透與淺顯相結合的教學原則

教材中的概念、法則、性質、公式、定理及其所蘊含的數學思想與方法組成了數學教學的內容體系. 大多較高層次的數學思想都是蘊含在教材的表層知識之中的，一般來說它們都處于潛在隱形的狀態之中. 教師在教學中應注重揭示深層知識并將其潛在形態轉變成學生易于發現并接受的外顯形態，學生對于這些數學思想方法才能從朦朧中形成清晰的感受并更加容易理解與掌握，只有這樣，教師才能有針對性地采取恰當科學的措施并結合學生數學實際水平狀態進行數學思想方法的滲透教學.

2. 反復系統和螺旋推進相結合的教學原則

學生對于邏輯思維范疇內數學思想方法的領會與掌握一般都會經歷從個別到一般、具體到抽象、感性到理性、低級到高級的認知過程. 學生對任何知識或方法的認知首先都會在感性認知上建立，然后在此基礎上經歷多次反復的認知沖突以后才能逐漸概括形成理性認知，并學會在實踐中應用和驗證.因此，教師在教學中只有注重這一過程的反復滲透才能使學生對數學思想方法的認知逐步深入并達到穩步上升的狀態.

[?] 如何發現并挖掘蘊含于教材之中的數學思想方法

數學思想方法與知識內容是數學課程內容這一整體的有機組成部分. 如今的高中數學必修與選修教材知識點中都蘊含著大量的數學思想方法，在其發現與挖掘上，憑借學生有限的數學能力與數學素養基本是不可能的. 因此，教師要善于引導并帶領學生以知識教學為載體將教材中的數學思想方法內容挖掘出來，并在學生學習的過程中長期逐步滲透與反復引導，使學生在循序漸進的過程中掌握數學思想方法的具體內容并深化理解.

1. 教師應注重研究數學這門學科對于知識的系統編排，并在此研究中獲得數學知識中所蘊含的數學思想方法并加以梳理和歸納. 以筆者多年的教學實踐和總結結合必修模塊1、3、5的部分教學內容為例，這幾章內容中主要蘊含的數學思想方法整理出如表1.

2. 教師應準確掌握各單元知識中所蘊含的思想方法并將這些數學思想方法的教學列入自身教學計劃中. 教師應注重將教學過程的教學代替傳統教學中知識結論的教學，使數學這一學科的工具功能與文化功能都能得到體現，教師在教學中要注重課堂教學當前利益與長遠效益的體現，使學生在知識學習中能夠獲得比較長遠的學習效益. 例如，數列這一知識點蘊含了諸如歸納、猜想、類比等思想方法以及特殊到一般、函數與方程等思想方法，教師在教學中要注重這些思想方法的教學與應用，而迭加法、相加法以及迭乘法、錯位相減法在求和公式的推導中是教師更加需要注重教學的.教師將蘊含于知識發展中的思想方法教給學生，有助于學生形成良好的數學素質.

[?] 數學思想方法在數學問題解決中的實踐應用

數學教學的最終目標便是教會學生運用所學的知識及方法能夠解決實際問題. 因此，教師應注重以知識教學為載體滲透數學思想方法的教學，使學生能夠在掌握表層知識的基礎上加深對深層知識的理解與領悟.

1. 函數與方程思想是高中數學的重要且常用思想方法之一

高中數學中很多的實際問題可以運用這一思想方法進行函數關系的建立并運用函數概念及性質進行分析、轉化并最終得以解決. 因此，對于學生來說，牢固掌握初等函數的圖像與性質是學生應用此數學思想的基礎，根據題意準確建立函數關系式是解決此類問題的關鍵. 當然，在此類思想方法的實踐應用中，函數、方程以及不等式之間的相互聯系與轉化這些要點也是學生必須注意的.

例如，對于任意的實數x來說，a是多少時不等式a2+2a-sin2x-2acosx>2恒成立？

思路：教師首先引導學生將原不等式嘗試運用三角函數知識與換元法轉化成一元二次不等式，在二次函數被順利構造以后，教師再繼續引導學生將此問題轉化成求該函數的最值使此問題最終得到順利解決.

具體過程如下：

設t=cosx，則有sin2x=1-t2，t∈[-1，1]，原不等式即可變成t2-2at+a2+2a-3>0在[-1，1]上恒成立這一問題. 令f（t）=t2-2at+a2+2a-3=（t-a）2+2a-3.

當a≤-1時， f（t）min=f（-1）=a2+4a-2；當-1

因此，題中a的取值應為以下不等式的解集：

a≤-1，

a2+4a-2>0，或-1

2a-3>0，或a≥1，

a2-2>0.

求得a<-2-或a>.

2. 數形結合是高中數學重要的解題思想方法之一

將抽象的數學語言和直觀的圖形語言相結合繼而應用于數學問題的思考與解決是該思想方法的應用核心，在此類數學思想方法的應用中，“以形助數”與“以數助形”的應用往往能使問題簡單而又具體，解題的優化也易于達成.

例如，有f（x）=-這樣一個函數，求該函數的最大值.

分析：該問題的結構特征學生在解題中一般都能注意到，但是由于學生聯想意識的欠缺，教師引導學生對題中數形、結構的特征審查與聯想還是必須的.教師可以引導學生從根式向距離進行聯想繼而討論出解決該問題的關鍵在于兩個根式下的被開方式是否能被轉化為平方和的形式. 通過一系列的拆湊，該函數可以轉化成f（x）=-，用適當的語言對該函數進行如下表述：有A（3，2）和B（0，1）這樣的兩個點，請問點P（x，x2）到這兩點之間距離之差的最大值是多少？

如果進一步將上述問題進行直觀具體化表示，可以如圖1所示：

根據A，B兩點的位置可以知道，拋物線y=x2跟直線AB必然相交于第二象限的一個點，我們記作C，根據三角形中兩邊之差小于第三邊這一性質我們可以知道，當點P與點C重合時，f（x）才有可能取到最大值AB，因此f（x）max=AB=.

[?] 思想方法教學在高中數學教學中所具備的教育價值

1. 對于學生良好數學認知結構的形成具有積極的助推作用

知識點的數量并不是良好數學知識建構的決定性內容，事實上，知識的內在關聯、組織方式以及結構排列的層次及有序才是其更為重要的內容. 數學思想方法對于學生良好數學認知結構的形成以及各部分知識的關聯與融合均有積極的助推作用.

2. 對于學生創新能力的培養具有積極的含義

數學思想方法在發現、分析、解決實際問題的過程中為學生的學習、思考、解題提供了策略性的知識和方向，使得學生在獲得知識的同時也體會并掌握知識發生、發展中所蘊含的思想方法，因此，對于學生創新能力的培養來說，數學思想方法具有無法替代的積極含義.

3. 對于學生數學學習能力的提高鋪就了基石

學生只有在掌握了一定的數學思想方法以后才能使得自身數學能力的各個方面得以提高，因此，數學思想方法是學生數學能力發展提高的基礎，它為學生數學能力提高以及思想方法之間的轉化與變形鋪就了成功的基石.

[?] 結束語

因此，高中數學教學中，教師積極幫助學生了解與構建數學思想是勢在必行的，教師應遵循循序漸進的原則促使學生對于數學學科數學化與形式化特點的理解，并在此基礎上形成扎實、科學的數學思維，從而促進學生具有自身思維特色的數學思想得以建立，最終使得學生數學學習的效率以及數學素養得以全面提高.