淺談高中數學教學中如何促進學生的概念轉變

吳國強

[摘 要] 概念教學是高中數學教學的基礎，概念教學常常被淡化，一個重要原因是認為概念是在問題解決的過程中具體運用的，概念教學本身不需要花費太多的時間. 實際上，概念教學是一個學生觀念轉變的過程，概念轉變需要理清學生對所學概念的可能認識，需要通過問題驅動等方式實現有效的概念轉變，需要對數學概念的表述作出精確的理解.

[關鍵詞] 高中數學；概念轉變；教學意義

高中數學教學的一個基本任務，就是數學概念的教學. 傳統的高中數學教學理念中，概念及其教學是占據著極為重要的地位的，但是在應試教育的氛圍中，概念教學又常常被壓縮，因為在應試中積累起來的“技巧”之一就是“淡化概念的教學，重視概念的應用”，這種邏輯的背后存在著這樣的認識，即高中數學概念作為最基本的教學單元，其不需要花費太多的時間實施教學. 從“現實”角度來看，這樣的認識是有其合理的一面的，但從學生的數學知識建構以及數學學科核心素養提升的角度來看，這樣的認識又顯然是有缺陷的. 而筆者認為，無論是在應試的氛圍中，還是在核心素養的氛圍中，概念教學還是要回歸其應有地位，在概念教學的過程中還是要去認真研究學生. 于是這就引申出另外一個問題：怎樣的概念教學研究才是有效的？從理論角度來看，信息加工理論專家提出的“概念轉變”值得仔細研究.

[?] 概念轉變在高中數學教學中的意義

概念轉變是一個特別有意思的概念，概念轉變意味著學生在學習過程中形成的科學概念是轉變的結果，這也意味著概念學習的過程就是概念轉變的過程. 在概念轉變之前學生對相關知識是有概念的（這個觀點是不是很熟悉呢？這就是很多高中數學教學研究中出現的“前概念”的意味），而從概念轉變之前的概念到科學概念的轉變過程的質量，也就體現著教師概念教學的質量. 由此可見，用概念轉變來描述概念教學是有積極意義的. 同時，研究概念轉變不要忘記一個著名的發生認識論的專家皮亞杰的一個觀點，皮亞杰認為：兒童（學生）在他的經驗中進行學習是最有效的學習，如果經驗能夠引起認知沖突并讓學生感覺到自身的思維的不足，那這樣的學習就更為有效.

結合自身的數學教學經驗理解這句話，筆者以為其很有道理，原因在于：其一，每一個學生在學習之時都不是在“白紙上畫畫”（這樣的隱喻在課程改革中已經多次被提及），而是在自身經驗的基礎上進行再加工；其二，經驗之所以能夠發揮作用，在于學生能夠在新的問題情境中感覺到自身經驗的不足，于是這就形成了皮亞杰所強調的認知沖突，而當這個認知沖突并不那么容易得到解決的時候，學生就會感覺到自身思維的不足，于是有效學習就有可能產生.

然后我們到自身的教學中去尋找能夠佐證的例子，結果發現這樣的例子并不少見. 比如說“橢圓”概念的教學，在學生原有的思維中，橢圓就是“不正的圓”，也有學生說橢圓就是“被壓扁的圓”——盡管在實際教學中有不少學生對這樣的答案報以笑聲，但這確實是很多學生的想法，也就意味著這是很多學生已有的對橢圓的概念，這個概念雖然不對，但卻是教師教學的起點. 后來在學習了集合等概念之后，學生建立起的橢圓的概念是“在同一平面內到兩個固定點的距離為定值的點的集合”，于是這個時候學生對橢圓這一概念的認識就不再是基于“形”的了，這實際上是一種抽象的表達，總體而言，這樣的概念表述顯然是進了一步；再到后來圓錐曲線的學習中，對橢圓的描述又有所不同，其通過標準方程（數形結合）來對橢圓進行描述，而定點與準線成為兩個基本概念. 在這樣的遞進過程中，學生對橢圓概念的理解不斷深入，而每次深入的過程，實際上也就是概念轉變的過程，在這個過程中學生的認知平衡不斷地被打破，然后又不斷地建立起新的平衡. 無論是教學經驗，還是從理論角度來看學生的這一思維過程的轉變，都可以認為這樣的概念轉變過程是有意義的.

這也提醒我們，在高中數學教學中對于概念的教學，要同時研究起點與終點，要知道學生對某個數學概念已經知道了什么，要研究一個科學的數學概念應當如何形成，在概念轉變的過程中學生可能的思維有哪些，應當采用哪些方式進行引導等. 如果在教學中真的能夠做到這一點，那概念教學一定會彰顯其促進學生數學理解、提升學生數學學科素養的作用. 但這里有另一個問題不可回避，那就是概念的轉變究竟應當沿著什么樣的途徑進行？

[?] 高中數學教學促進概念轉變的環節

要促進學生在數學學習中有效的概念轉變，首先就必須讓學生有概念可供轉變. 這就意味著學生對某個數學概念的前概念必須是清晰的、明確的，而要做到這一點并不容易，因為學生在生活中形成的認識往往是隱藏在紛繁復雜的生活經驗之后的，其并不會自然凸顯出來供數學學習所使用，因此促進概念轉變的第一個環節就是：讓學生的已有概念清晰化.

在“橢圓”概念最初的教學中，學生對橢圓概念的認識局限于上面所列舉的那些認識，這種認識其實在實際教學中是需要加工的，無論是“不正的圓”還是“壓扁的圓”，其實反映的都是學生對橢圓最原始的認識. 而到了圓錐曲線中研究橢圓的標準方程的時候，學生大腦中清晰的橢圓的表象，必須是那個“到兩個定點的距離之和為定值”的作出橢圓的動畫，只有這個表象清晰，那在建立橢圓標準方程的時候，才有一個堅實的基礎.

在此基礎上，就進入了概念學習的關鍵環節，即“概念轉變”. 概念轉變的關鍵是學生能夠在原有對概念理解的基礎上，發現認知的失衡并意識到自身思維的不足. 于是概念教學就進入了第二個環節：在數學教學中更多的是通過問題來實現學生的概念轉變.

比如說橢圓教學的第一個環節，教師完全可以順勢反問：是不是把圓壓扁了就是橢圓？那一個圓是不是就可以壓成無數個橢圓？這樣的問題往往可以讓學生原有的認識遇到挑戰，但他們又無法形成對橢圓的準確認識，這個時候教師如何引導才能讓學生認識到橢圓的定義需要有標準的方法呢？筆者以為，此時直接呈現橢圓的作法是不太妥當的，更好的辦法應當是在學生的思維中形成一個較好的思路，而這又可以以圓的定義來作為一個前概念. 在此之前，學生已經知道了“到一個固定點的距離為定值的點的集合就是圓”，那教師不妨引導學生思考：在圓的定義的基礎上大家不妨思考一下，如果不是一個定點，而是兩個定點，那會出現什么樣的結果？這個問題的提出可以讓學生的腦洞大開，用一些學生的話說是“我怎么沒有想到這個問題呢？”而有了兩個點之后，肯定就不可能是到兩個點的距離了，那又應該是什么呢？一番思考（實際上了就是概念轉變的過程）之后，學生就會認同到兩定點的距離為定值. 在這種情況下，讓學生去實際體驗作出橢圓的過程，或者簡單一點用現代教學手段展示橢圓的生成過程，就比較適合了. 經由這個過程，學生就經歷了一個有效的概念轉變過程，學生對數學視角下橢圓的科學定義就有了深刻的理解，數學概念也就不再是一個機械記憶的內容.

概念轉變的第三個環節是對數學概念的內化，這是一個對數學概念進行咀嚼的過程. 而所謂的咀嚼，實際上就是將數學語言表述出來的概念，變成一個相對形象的思維表象. 如在橢圓的標準方程得出之后再讓學生去理解橢圓的概念，學生大腦中應當出現的就不僅僅是PF1+PF2=2a這樣的表述（當然即使是這個表述，大腦中也要出現基于直角坐標系上的橢圓及焦點、固定的距離之和等），還應當在此坐標系上有效地說出+=1（a>b>0）及其意義. 這種基于同一坐標系上的同一圖形進行的不同層次的表述，恰恰是可以表征學生對概念理解的結果的，這也就是數學概念內化的過程.

[?] 概念轉變的教學研究必須以生為本

課程改革中一個基本的觀念是“學習是學生自己的事”，那高中數學概念的教學，就需要從學生的角度去思考如何實現概念轉變，這也是“以生為本”教學理念真正落實的重要體現.

概念轉變其實本來就是學生所具有的概念的轉變，學生概念轉變之前已經知道了什么？這些內容與概念轉變又有什么樣的關系？教師如何幫學生實現有效的概念轉變呢？這些問題的研究與回答，必須基于學生這個學習主體，只有這樣，教學研究的方向才是準確的，這也是以生為本的本義. 說得具體一點，即概念轉變實際上是一個以學生已知為起點，以對科學數學概念的表述的理解為終點的教學過程. 真正把這個過程抓實，真正讓學生的概念得到有效轉變，那數學概念的教學就超越了簡單記憶的層面，其在學生將來的問題解決過程中也就能夠發揮更大的作用. 這樣實際上也就解決了過多的概念教學不能讓學生形成問題解決本領的認識問題.

總之，高中數學教學要重視概念的教學，而從概念轉變的角度來研究概念教學，則是一個真正引導學生發現數學魅力、提升數學學科核心素養的重要途徑.