例談專題復習教學的設計

顧婷

[摘 要] 專題復習教學是對新知教學的有益補充，如何設計專題復習教學、梳理知識點進行有效安排，是教師復習教學能力的體現.

[關鍵詞] 專題；復習；焦點三角形；數學；圓錐曲線

眾所周知，復習教學是對新知教學有益的補充. 從復習教學的角度來說，如何演繹好復習教學并不是容易的事. 從常態復習教學來看，不少教師對復習教學采用了試題堆砌、反復訓練沖刺的模式，這樣的復習教學缺少針對性、高效性、引導性.特級教師陳雷鳴對復習教學有獨到的見解：有效的復習教學首先必須對知識進行合理的梳理，在梳理基礎上有針對性地整合才能使復習教學更為高效，這種針對性整合是建立在專題復習教學設計的基礎之上的. 本文以提升復習教學有效性為設計視角，以圓錐曲線中橢圓的焦點三角形為載體進行專題復習教學的設計，不當之處懇請批評指正.

[?] 知識背景

圓錐曲線是中學數學的難點和重點，以橢圓、雙曲線為背景的問題往往是學生學習解析幾何的難點. 在學習解析幾何初步的過程中，學生必須掌握一個經典的基本知識：即焦點三角形的相關問題.從學生學習的新知來看，對于焦點三角形涉及的知識可以進行專題復習教學的設計. 焦點三角形指的是以橢圓、雙曲線的焦點為三角形的兩頂點，第三個點出現在橢圓或雙曲線上，由這三個點組成的三角形稱之為焦點三角形.其重要的作用在于：其一圓錐曲線第一定義（感官定義）在焦點三角形中的體現；其二余弦定理、三角形面積相關知識與解析幾何知識的交匯、整合；其三直線和圓錐曲線綜合問題的結合. 因此這是解析幾何初步交匯中比較重要的知識.

[?] 專題設計

1. 定義切入

焦點三角形因為涉及橢圓、雙曲線的兩個頂點，所以勢必與圓錐曲線第一定義緊密相連. 專題復習教學必須從相關的基礎出發，以定義為背景設計相關問題，這是專題設計的起點.

問題1：如果橢圓+=1上一點P到左焦點F1的距離是它到右焦點F2的距離的4倍，則P到左焦點的距離是______.

分析：（用橢圓第一定義）設點P到左焦點的距離為r1，到右焦點距離為r2，則由題意得：r1+r2=10，

r1=4r2，解得r1=8，

r2=2.

變式1：在上例中條件不變，求點P到右準線的距離及點P的坐標.

分析：由橢圓第二定義，設點P到右準線的距離為d，則=e=，所以d=. 橢圓的右準線方程為x=. 設P（x，y），則-x=，解得x=，從而y=±. 所以P

，±

.

變式2：橢圓+=1上是否存在一點P，使PF1⊥PF2，若存在，求出P的坐標，并求

PF1

-

PF2

的值.

分析：假設存在點P（x，y）滿足題意，則

+

=1，

x2+y2=16，解得

x=±，

y=±.所以存在點P1

，

，P2

，-

，P3

-，

，P4

-，-

. 由三角形面積公式，得：

PF1

PF2

=×8×，即

PF1

PF2

=18，所以有

PF1

-

PF2

===2.

說明：PF1，PF2能否垂直，取決于以F1F2為直徑的圓與橢圓有無公共點. b>c時，無公共點，不存在滿足題意的點P；b=c時，有兩個公共點（為短軸端點），即點P的位置；b

2. 鏈接面積

焦點三角形是圓錐曲線中一種特殊的三角形，受到其幾何圖形的影響，與三角形面積相關的考點往往出現在焦點三角形中.這里的復習設計體現了知識的整合性.

問題2：已知AB是橢圓+=1過中心的弦，則△ABF2面積的最大值為__________.

分析：由橢圓的性質知道，A，B兩點關于原點對稱，S△AF1O=S△BF2O. 設A（x，y），則S△ABF2=S△AF1F2=×8×y≤×8×3=12.

變式3：設P是橢圓+=1上一點，作△F1PF2. （1）若∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面積；（2）若∠PF1F2=60°，求△F1PF2的面積.

分析：①∠F1PF2=60°，由余弦定理

PF1

2+

PF2

2-

PF1

PF2

=

F1F2

2，即 100-3

PF1

PF2

=64，所以

PF1

PF2

=12，S△PF1F2=×12×=3.

②若∠PF1F2=60°，由余弦定理

PF1

2+

F1F2

2-

PF1

F1F2

=

PF2

2，

即

PF1

2+64-8

PF1

=

PF2

2，即10·（

PF1

-

PF2

）-8

PF1

+64=0，

PF1

-5

PF2

+32=0.

又

PF1

=3，

PF2

=7，所以S△PF1F2=×3×8×=6.

說明：求焦點三角形面積時，先觀察△F1PF2是否為特殊三角形（如直角三角形），若不然，或用余弦定理結合橢圓第一定義求出PF1·PF2，或求出PF1，PF2的具體值，進而得解.

3. 最值求解

因為焦點三角形只有一個頂點為動點，因此與其相關的最值問題層出不窮. 中學數學研究的單動點恰如其分地體現在了焦點三角形中，其各種相關焦半徑問題、面積問題成為復習需要總結的.

問題3：橢圓+=1中，作△F1PF2，（1）求cos∠F1PF2的最小值；（2）求

PF1

·

PF2

的最大值與最小值.

分析：（1）由余弦定理，有cos∠F1PF2==-1，而

PF1

PF2

≤

=25，所以cos∠F1PF2≥ -. 故cos∠F1PF2的最小值為-.

（2）設P（x，y），由焦半徑公式，有

PF1

PF2

=（a+ex0）（a-ex0）=a2-e2x=25-x，而0≤x≤25，所以9≤25-x≤25，即9≤

PF1

PF2

≤25.

說明：涉及焦點三角形求角的取值范圍時，往往用正余弦定理；涉及求線段和、差、積的（最）值時，往往用橢圓焦半徑公式.

4. 核心思考

焦點三角形最核心的問題與圓錐曲線中的離心率休戚相關，教師在專題復習設計中若能將離心率相關問題融合到焦點三角形中，則能讓學生對知識最核心的考查點有更深的理解.

問題4：設橢圓+=1（a>b>0）的兩焦點分別為F1，F2，若在橢圓上存在一點P，·=0，求橢圓離心率的取值范圍.

分析：設P（acosθ，bsinθ）（0<θ<2π且θ≠π），因為·=0，所以⊥. 又O為F1F2中點，所以PO=

F1F2

=c. 于是a2cos2θ+b2sin2θ=c2，即a2=c2（1+sin2θ），所以e==，而θ∈（0，2π），且θ≠π，0

，1

.

說明：通過對以上問題的探求，讓學生對橢圓焦點三角形問題及應對策略有了一個大體的認識，從而為類比雙曲線中的焦點三角形問題的解決起到較好的借鑒作用.

總之，專題復習教學的設計需要有層次性，本例較好地體現了這種螺旋式上升的層次性.既關注了知識的基礎層面，又從更高的知識整合性角度、考查熱點離心率角度做出了復習教學的設計，對于學生而言這種專題復習教學設計是有效的.