例談專題復(fù)習(xí)教學(xué)的設(shè)計(jì)

顧婷

[摘 要] 專題復(fù)習(xí)教學(xué)是對新知教學(xué)的有益補(bǔ)充，如何設(shè)計(jì)專題復(fù)習(xí)教學(xué)、梳理知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行有效安排，是教師復(fù)習(xí)教學(xué)能力的體現(xiàn).

[關(guān)鍵詞] 專題；復(fù)習(xí)；焦點(diǎn)三角形；數(shù)學(xué)；圓錐曲線

眾所周知，復(fù)習(xí)教學(xué)是對新知教學(xué)有益的補(bǔ)充. 從復(fù)習(xí)教學(xué)的角度來說，如何演繹好復(fù)習(xí)教學(xué)并不是容易的事. 從常態(tài)復(fù)習(xí)教學(xué)來看，不少教師對復(fù)習(xí)教學(xué)采用了試題堆砌、反復(fù)訓(xùn)練沖刺的模式，這樣的復(fù)習(xí)教學(xué)缺少針對性、高效性、引導(dǎo)性.特級教師陳雷鳴對復(fù)習(xí)教學(xué)有獨(dú)到的見解：有效的復(fù)習(xí)教學(xué)首先必須對知識(shí)進(jìn)行合理的梳理，在梳理基礎(chǔ)上有針對性地整合才能使復(fù)習(xí)教學(xué)更為高效，這種針對性整合是建立在專題復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)之上的. 本文以提升復(fù)習(xí)教學(xué)有效性為設(shè)計(jì)視角，以圓錐曲線中橢圓的焦點(diǎn)三角形為載體進(jìn)行專題復(fù)習(xí)教學(xué)的設(shè)計(jì)，不當(dāng)之處懇請批評指正.

[?] 知識(shí)背景

圓錐曲線是中學(xué)數(shù)學(xué)的難點(diǎn)和重點(diǎn)，以橢圓、雙曲線為背景的問題往往是學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何的難點(diǎn). 在學(xué)習(xí)解析幾何初步的過程中，學(xué)生必須掌握一個(gè)經(jīng)典的基本知識(shí)：即焦點(diǎn)三角形的相關(guān)問題.從學(xué)生學(xué)習(xí)的新知來看，對于焦點(diǎn)三角形涉及的知識(shí)可以進(jìn)行專題復(fù)習(xí)教學(xué)的設(shè)計(jì). 焦點(diǎn)三角形指的是以橢圓、雙曲線的焦點(diǎn)為三角形的兩頂點(diǎn)，第三個(gè)點(diǎn)出現(xiàn)在橢圓或雙曲線上，由這三個(gè)點(diǎn)組成的三角形稱之為焦點(diǎn)三角形.其重要的作用在于：其一圓錐曲線第一定義（感官定義）在焦點(diǎn)三角形中的體現(xiàn)；其二余弦定理、三角形面積相關(guān)知識(shí)與解析幾何知識(shí)的交匯、整合；其三直線和圓錐曲線綜合問題的結(jié)合. 因此這是解析幾何初步交匯中比較重要的知識(shí).

[?] 專題設(shè)計(jì)

1. 定義切入

焦點(diǎn)三角形因?yàn)樯婕皺E圓、雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)，所以勢必與圓錐曲線第一定義緊密相連. 專題復(fù)習(xí)教學(xué)必須從相關(guān)的基礎(chǔ)出發(fā)，以定義為背景設(shè)計(jì)相關(guān)問題，這是專題設(shè)計(jì)的起點(diǎn).

問題1：如果橢圓+=1上一點(diǎn)P到左焦點(diǎn)F1的距離是它到右焦點(diǎn)F2的距離的4倍，則P到左焦點(diǎn)的距離是______.

分析：（用橢圓第一定義）設(shè)點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離為r1，到右焦點(diǎn)距離為r2，則由題意得：r1+r2=10，

r1=4r2，解得r1=8，

r2=2.

變式1：在上例中條件不變，求點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離及點(diǎn)P的坐標(biāo).

分析：由橢圓第二定義，設(shè)點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為d，則=e=，所以d=. 橢圓的右準(zhǔn)線方程為x=. 設(shè)P（x，y），則-x=，解得x=，從而y=±. 所以P

，±

.

變式2：橢圓+=1上是否存在一點(diǎn)P，使PF1⊥PF2，若存在，求出P的坐標(biāo)，并求

PF1

-

PF2

的值.

分析：假設(shè)存在點(diǎn)P（x，y）滿足題意，則

+

=1，

x2+y2=16，解得

x=±，

y=±.所以存在點(diǎn)P1

，

，P2

，-

，P3

-，

，P4

-，-

. 由三角形面積公式，得：

PF1

PF2

=×8×，即

PF1

PF2

=18，所以有

PF1

-

PF2

===2.

說明：PF1，PF2能否垂直，取決于以F1F2為直徑的圓與橢圓有無公共點(diǎn). b>c時(shí)，無公共點(diǎn)，不存在滿足題意的點(diǎn)P；b=c時(shí)，有兩個(gè)公共點(diǎn)（為短軸端點(diǎn)），即點(diǎn)P的位置；b

2. 鏈接面積

焦點(diǎn)三角形是圓錐曲線中一種特殊的三角形，受到其幾何圖形的影響，與三角形面積相關(guān)的考點(diǎn)往往出現(xiàn)在焦點(diǎn)三角形中.這里的復(fù)習(xí)設(shè)計(jì)體現(xiàn)了知識(shí)的整合性.

問題2：已知AB是橢圓+=1過中心的弦，則△ABF2面積的最大值為__________.

分析：由橢圓的性質(zhì)知道，A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，S△AF1O=S△BF2O. 設(shè)A（x，y），則S△ABF2=S△AF1F2=×8×y≤×8×3=12.

變式3：設(shè)P是橢圓+=1上一點(diǎn)，作△F1PF2. （1）若∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面積；（2）若∠PF1F2=60°，求△F1PF2的面積.

分析：①∠F1PF2=60°，由余弦定理

PF1

2+

PF2

2-

PF1

PF2

=

F1F2

2，即 100-3

PF1

PF2

=64，所以

PF1

PF2

=12，S△PF1F2=×12×=3.

②若∠PF1F2=60°，由余弦定理

PF1

2+

F1F2

2-

PF1

F1F2

=

PF2

2，

即

PF1

2+64-8

PF1

=

PF2

2，即10·（

PF1

-

PF2

）-8

PF1

+64=0，

PF1

-5

PF2

+32=0.

又

PF1

=3，

PF2

=7，所以S△PF1F2=×3×8×=6.

說明：求焦點(diǎn)三角形面積時(shí)，先觀察△F1PF2是否為特殊三角形（如直角三角形），若不然，或用余弦定理結(jié)合橢圓第一定義求出PF1·PF2，或求出PF1，PF2的具體值，進(jìn)而得解.

3. 最值求解

因?yàn)榻裹c(diǎn)三角形只有一個(gè)頂點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，因此與其相關(guān)的最值問題層出不窮. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究的單動(dòng)點(diǎn)恰如其分地體現(xiàn)在了焦點(diǎn)三角形中，其各種相關(guān)焦半徑問題、面積問題成為復(fù)習(xí)需要總結(jié)的.

問題3：橢圓+=1中，作△F1PF2，（1）求cos∠F1PF2的最小值；（2）求

PF1

·

PF2

的最大值與最小值.

分析：（1）由余弦定理，有cos∠F1PF2==-1，而

PF1

PF2

≤

=25，所以cos∠F1PF2≥ -. 故cos∠F1PF2的最小值為-.

（2）設(shè)P（x，y），由焦半徑公式，有

PF1

PF2

=（a+ex0）（a-ex0）=a2-e2x=25-x，而0≤x≤25，所以9≤25-x≤25，即9≤

PF1

PF2

≤25.

說明：涉及焦點(diǎn)三角形求角的取值范圍時(shí)，往往用正余弦定理；涉及求線段和、差、積的（最）值時(shí)，往往用橢圓焦半徑公式.

4. 核心思考

焦點(diǎn)三角形最核心的問題與圓錐曲線中的離心率休戚相關(guān)，教師在專題復(fù)習(xí)設(shè)計(jì)中若能將離心率相關(guān)問題融合到焦點(diǎn)三角形中，則能讓學(xué)生對知識(shí)最核心的考查點(diǎn)有更深的理解.

問題4：設(shè)橢圓+=1（a>b>0）的兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若在橢圓上存在一點(diǎn)P，·=0，求橢圓離心率的取值范圍.

分析：設(shè)P（acosθ，bsinθ）（0<θ<2π且θ≠π），因?yàn)椤?0，所以⊥. 又O為F1F2中點(diǎn)，所以PO=

F1F2

=c. 于是a2cos2θ+b2sin2θ=c2，即a2=c2（1+sin2θ），所以e==，而θ∈（0，2π），且θ≠π，0

，1

.

說明：通過對以上問題的探求，讓學(xué)生對橢圓焦點(diǎn)三角形問題及應(yīng)對策略有了一個(gè)大體的認(rèn)識(shí)，從而為類比雙曲線中的焦點(diǎn)三角形問題的解決起到較好的借鑒作用.

總之，專題復(fù)習(xí)教學(xué)的設(shè)計(jì)需要有層次性，本例較好地體現(xiàn)了這種螺旋式上升的層次性.既關(guān)注了知識(shí)的基礎(chǔ)層面，又從更高的知識(shí)整合性角度、考查熱點(diǎn)離心率角度做出了復(fù)習(xí)教學(xué)的設(shè)計(jì)，對于學(xué)生而言這種專題復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)是有效的.