向量觀點下的高中立體幾何認同研究

許雅麗

[摘要]向量在近代數(shù)學的很多領域中都有廣泛的應用，特別是二維、三維的向量，它們既有數(shù)組的表現(xiàn)形式，又有直觀的幾何意義，因此能成為研究中學幾何問題的有效工具。將三維向量（也稱空間向量）融入立體幾何已成為當前立體幾何改革的重要措施。空間向量引入立體幾何，對傳統(tǒng)的教育模式以及課程結構產(chǎn)生了很大的沖擊和影響，對空間向量與立體幾何結合的重要價值和作用得到了重點關注，因此進一步加強對其的研究非常有必要。基于此本文分析了向量觀點下的高中立體幾何相關方面。

[關鍵詞]向量觀點下 高中 立體幾何

[中圖分類號]G633 [文獻標識碼]A [文章編號]2095-3089（2017）12-0109-01

一、概述

高中向量知識的基本內(nèi)容可以從四個方面來體現(xiàn)。首先，其在三角函數(shù)中的內(nèi)容是向量的概念、向量的平移、向量的運算及向量運算與三角形之間的關系。其次，在解析幾何中，其內(nèi)容是直線的方向向量和法向量、兩向量的夾角與兩條相交直線的夾角、向量與平面內(nèi)距離的計算、向量運算與軌跡求解、向量與圓錐曲線的平移。再次，其在立體幾何中的內(nèi)容是，向量運算與平行關系的判斷與證明、向量計算與空間中距離計算、向量內(nèi)積與角計算、直線的方向向量與平面的法向量。最后，在復數(shù)中，其主要內(nèi)容是向量的線性運算與復數(shù)的加減法。

二、向量觀點下的高中立體幾何學習的重要意義

向量是抽象的數(shù)學知識，它的幾何意義很重要，向量可以描述線段和線段之間、直線和直線間的幾何關系。在實際學習中，學生需要在描述向量的代數(shù)性質(zhì)在幾何量方面的計算上下功夫，促使學生自主總結體會，從而促使學生清楚地認識到向量的幾何意義，從而利用向量的代數(shù)性質(zhì)進行解題。

1.可提升學生運算能力

作為一種代數(shù)對象，向量可以用于運算，學生可以通過使用向量的代數(shù)運算完成長度、面積、體積等幾何度量問題，在幫助學生將其運算難度提升運算能力的同時，能夠準確地將不同類型的代數(shù)運算的特征與功能展現(xiàn)在學生面前。同時，利用其自身的運算律也能夠幫助學生加深對數(shù)學運算意義的體會和構建完整的數(shù)學系統(tǒng)。

2.蘊含寶貴的思維價值

向量既是代數(shù)又是幾何的研究對象，它不僅能夠進行運算，也可以用于度量各種結合問題，因此向量當中體現(xiàn)出明顯的數(shù)形結合思想，學生在學習過程中能夠有效培養(yǎng)和鍛煉自身的想象能力與創(chuàng)造能力、推理能力，進而有效提升自身的解題效率。

三、向量觀點下的高中立體幾何分析

1.明確向量幾何意義

向量的幾何意義主要表現(xiàn)為利用向量對集合對象進行描述，比方說ab=0的幾何意義代表著向量a與向量b呈垂直關系，有效將向量代數(shù)運算同相應位置關系之間進行轉化，從而與直線關系進行有機聯(lián)系。比如說在2016年浙江理科高考數(shù)學題已知互相垂直的平面交于直線l，若直線m，n滿足m||α，n⊥B試求l與n的位置關系一題當中考查的正是相等向量與相反向量以及空間平行與垂直位置關系的判定，學生通過繪制出相應的圖形并用向量將已知條件表明出來便能夠直觀地認識到n與l為垂直關系。

2.運用數(shù)字與圖形相結合的方法

在高中數(shù)學向量的學習中要運用數(shù)字與圖形相結合的方法進行理論知識的學習。比如：許多的向量知識比較抽象，不易于理解和學習，所以我們可以運用數(shù)字運算和畫出圖形進行分析的方法進行向量題目的運算，直觀化、形象化的進行向量知識的學習。比如：在向量平移、兩向量夾角運算、向量與圓錐曲線平移等內(nèi)容學習中，運用數(shù)字與圖形相結合的方法，可以更好地把握向量的運算規(guī)律和向量與這些知識內(nèi)容的關系點，有利于相關題目的解決。同時，運用數(shù)字圖形相結合的方法還有利于我們意識上的正向遷移，縮短解決問題的時間，有利于數(shù)學創(chuàng)新意識的培養(yǎng)和探究能力的形成，對我們今后的數(shù)學學習具有重要的作用

3.實際應用

（1）利用向量的夾角公式求解解析幾何的軌跡方程

在非共線的情況下，如何利用向量的夾角公式來完成相關解析幾何問題的求解，進而提高解題速率。

題目：0點坐標為（0，0），M點坐標為（2，1），N點坐標為（1，2），OP為△OMN的一條角平分線，求直線OP的直線方程。

解答過程：設P點坐標為（x，v），可知=（2，1），=（1，2），=（x，v）。OP為△OMN的一條角平分線，可知∠MOP=∠NOP，且cos∠MOP=cos∠NOP，引入向量的夾角公式，可知，對這一式子進行化簡，可得，化簡后x=y，即為OP的直線方程。

向量的夾角公式，把解析幾何中平面幾何特征和代數(shù)運算結合，引入了轉換的數(shù)學思路，復雜的解題過程簡化為簡單的代數(shù)運算，尤其是對于更為復雜的圓錐曲線的應用，極易造成學生無從下手的困境。向量的夾角公式提供了一個便捷的解題思路，運算簡潔。且這種方法還可以應用到線性規(guī)劃、立體幾何等方面。

（2）利用向量的方向特征求解解析幾何的軌跡方程

向量的方向特性決定了兩個向量平行或者共線的時候，二者具有一定的比例關系，即，λ不為0。根據(jù)向量的方向特征可以簡化復雜的平面幾何關系式，也可以將解析幾何問題轉化為簡單的代數(shù)運算。

題目：動點M是拋物線y=4×2，定點N坐標為（-1，0），點0在線段NM上，MO=30N，求點O的軌跡方程。

解答過程：設點0坐標為（x，y），點M坐標為（m，4m2），由于MO=30N，且點O在線段NM上，故和共線且，將=（m-x，4m2-y）和=（x+1，v）帶入上式。可得（m-x，4m2-y）=3（x+l，v），消去m后可得到點O的軌跡方程為y=（4x+3）2。

從本節(jié)例子中，向量共線或者平行已經(jīng)很好地將解析幾何圖形的位置和代數(shù)關系進行有機融合，通過建立向量坐標，直接建立相應的向量運算代數(shù)關系式，從而簡化解題過程。

總之，向量在高考中的分量越來越重，向量法在高中數(shù)學解題中的應用，越來越被同學們所重視。向量是連接代數(shù)和幾何的中介，也是重要的數(shù)學應用模型。應用向量知識能夠很好地理解線性代數(shù)、泛函分析及抽象代數(shù)、幾何等基本的數(shù)學模型。本文主要分析了向量觀點下的高中立體幾何認知，以期提供一些借鑒。