例談初中數學幾何綜合問題的解題方法

陸德強

摘 要：初中數學是基礎學科之一，也是學生掌握起來比較困難的一門學科。以幾何問題為研究對象，結合相關實踐經驗，探討如何使學生更加順利地解決幾何綜合問題。

關鍵詞：初中數學；幾何綜合問題；解題方法；對策建議

幾何綜合題常常和其他數學知識結合起來，比如函數和運用型問題，每種題型解決問題的方法和思路有很大的差別，但是解決這類問題又有相似的地方，都可以有效地體現學生靈活運用數學知識的能力，為了鍛煉學生靈活運用數學知識的能力，本文主要結合題型分析解題方法，供大家參考。

一、幾何與函數的題型

幾何中常常含有動態變化因素，解決問題時學生需要建立相關的函數，結合函數和幾何的性質，解決這類問題的大致思路有以下幾個方面：（1）學生要先根據題中幾何圖形，掌握幾何體的基本性質，比如等邊三角形、特殊四邊形、正方形和圓形的基本性質；（2）找到幾何題中各種動態元素之間的關系，適時地建立數學函數；（3）找到函數與幾何題中的結合點，借助函數關系式再解決幾何綜合問題。這類問題常常建立幾何面積和線段之間的函數關系，通過靈活地掌握面積和線段之間的關系最終順利地得到正確結果。

例題：OABC是平鋪在直角坐標系中的長方形，其中OA的長度為5厘米，OC的長度為4厘米，在OC上取一點D，將長方形沿著AD折疊，使O點落在CB邊上交于E點，如果AE上有一個動點P（不和A/E兩點重合）自A點朝E點方向勻速移動，速度是1cm/s，假設運動時間為t秒，過P點做平行于DE線交AD于M點，過M點做AE的平行線交DE于N點，問四邊形MNEP的面積S最大時t為多少？

該問題是立體幾何與數學函數相結合的綜合題，解決問題的關鍵是幾何基本性質，問題解決的橋梁是線段長度的坐標形式，

為了建立MNEP四邊形的面積與時間的函數形式，即建立S與t的關系，因此，老師首先給予t的幾何量的表示，然后利用四邊形的幾何性質解題。根據題意表示，由于運動速度為1cm/s，所以AP=1×t，所以PE=5-t，此時MNEP四邊形的面積還需要表示出PM的值，PM的值運用相似三角形的基本性質，即三角形APM相似于三角形AED，因此PM=■，從而四邊形面積表示為■×（5-t），通過對式子進行配方，得到-■（t-2.5）2+■，（0

這一問題就是很好地將幾何問題轉化為直角坐標系問題，通過解決坐標中幾何意義的問題，實質是完成幾何計算，在這里不僅使用到了方程轉化的思想，還建立了PMNE面積S與時間t之間的函數關系，這是一道綜合性很強的題目，解答此類問題需要將數和形進行靈活的轉化，將動的狀態與靜的狀態進行分析，并且還用到了圖形中的勾股定理、面積計算等圖形計算的知識點。

二、解題思路分析

初中數學關于幾何的問題涉及的知識面廣、跨度大、綜合性強，想要清晰地找到解題思路，就必須要求學生具備良好的觀察能力、分析能力以及過硬的基本功，只有掌握了所有數學知識的應用技巧和應用時機，在解題過程中保持冷靜的心理狀態，通過將所學知識靈活應用，把數學思想融入整個解題過程當中去。

首先，要具備數形結合的思想。初中數學幾何綜合問題突出了數形結合思想，幾何圖形與函數相互體現，在解決此類問題時，要充分利用數形結合思想，將兩者進行靈活的替換，將幾何圖形的性質和代數意義想清楚，同時在判斷幾何圖形性質和存在性時，要充分注意函數性質確定坐標和坐標的幾何意義。其次是分類討論思想。分類討論的情況在幾何綜合問題中常常出現，由于涉及幾何點的位置不確定而需要對函數進行分類討論，通過分類討論將函數的所有可能性全部包括，從而使解出的答案沒有漏洞。最后是化歸轉化思想。初中數學幾何綜合問題由于其特殊性和抽象性，往往需要先將抽象的問題具體化，這就需要用到化歸轉化思想，化歸轉化思想主要是把需要解決的問題進行相應的轉化，或轉化為幾何問題或是轉化為方程問題，將難以理解的問題通過轉化變成簡單直接的問題，通過問題的轉化達到轉化方法解決問題的目的，這種思想是正確而全面解決幾何綜合問題的關鍵。

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