從數的概念出發

游志鴻

從小學到初中，數學由具體進入到抽象領域，數學符號往往在平常的生活中找不到相對應的簡單實例，不少學生感到數學難學，感到數學很乏味，這樣就很難學好數學。

數學的本質是數的概念，或者說數學就是建立在概念上，數的概念就是數的本身規定性。所以，學數學首先要正確地理解概念，學會解讀數學概念語言符號，這是中學階段學習數學至關重要的一個基本環節，其次才是概念的基本運用。

所有的數學問題，都是從概念出發，進行推理判斷得出的結論。然而，在實際教學中，不少教師對概念教學重視不足，而是采用題海戰術，向學生灌輸各種解題方法和解題技巧，結果反而讓學生迷失在花樣繁多的所謂竅門之中；甚至導致學生思維混亂，遺忘了最為清晰的解決問題的思維路徑。

出現這樣的教學結果，一個重要的原因源于教師自身對數學邏輯思維建構的層次把握不足，急于求成，以至于偏離了概念這個數學根本，本末倒置，這樣學生是很難學好數學的。所以，在數學教學實踐過程中，唯有立足概念，從概念出發解決數學問題，把數學問題再還原到概念，從而做到以不變應萬變。

一、概念建構的組成分析

數的概念通常包含名稱、定義、性質與例子。名為區分，定義是其本質，性質是運算屬性，例子是直觀呈現。在教學過程中把這些概念構成說清楚，便于學生在結構上全面把握概念，抓住概念本質。其中函數只是命名，不是本質，本質是有兩個變量它們的關系符合一種固定的變化關系。如，一次函數y=2x，其中2是x與y之間的量的關系固定值，也是x、y兩個變量的運算性質，函數式y=2x就是例子直觀，所謂自變量、函數只是兩個具有相對應關系變量的名稱。把概念的名的實質解釋清楚，學生就不會受到名稱的困擾，再以具體的數值代入函數式，量的關系也就變得清晰、直觀起來。這樣，學生對概念掌握起來就比較容易，就整體化了，抽象的概念就得以具體的量化。

二、概念語言的意思把握

在數學教學過程中，經常發現學生無法讀懂概念的語言，或者說不知道如何解讀概念語言所說的意思，對概念死記硬背似懂非懂，許多時候學生身處其中卻渾然不覺，到了解決數學問題時，就發現搞不懂題目的意思，無法把概念同問題聯系起來。

例如，學習多項式時，學生經常搞不清什么是項、項的次數，把項當成單個字母，把某個字母的次數當作項的次數。教學中可以舉例對定義語言加以說明，通過例子不難發現語言的含義，如式子的字母不同、字母的次不同，滿足其中一個條件就是多項式中的單項式；“這些單項式中最高的次數，就是多項式的次數”，顯然多項式的次數，是通過比較幾個單項式的次數高低決定，而不是比較某個單項式中的某個字母的次數。

數學中的概念大多數是通過定義描述給出它的確切含義，通過歸納概括定義的基本點，通過歸納排除定義的非本質屬性，就可以完整把握定義。歸納概括過程也就是對定義的理解過程。例如，互余概念，其本質屬性可以概括為：（1）必須具備兩個角之和為90°，一個角為90°或三個角之和為90°都不能稱為互為余角，互余角只就兩個角而言。（2）互余的角只是數量上的關系，與兩角所處位置無關。

三、概念學習的漸進過程

教材中一般的數學概念，都是建立在具體現象的分析歸納導出的，一般從幾個原始的概念或者公理出發，通過推理而擴展成為一系列的定義或者定理。每一個新概念都有已有的概念來表達。如“一元二次方程”的概念，它就是由前置概念推導而來的，它緣“一元一次方程”的概念，而“一元一次方程”的概念則基于“整式方程、方程”等作為預備概念而得出的。這樣的概念很多，如數的概念、平行四邊形等等。教材是嚴格按照漸進性這個原則，把這些概念分類、有機地串聯在一起，形成知識的網狀結構。

針對概念形成的漸進性，教學中應當注意，在學生對某些預備概念模糊不清的情況下，不要急于引入新概念，最好先做好相關預備概念準備，尤其是對特別重要的、關鍵性的預備概念，教師要反復強調，使學生較為徹底的理解，為新概念的導入做好鋪墊。

四、概念歸納的邏輯方法

任何概念都是從特殊中歸納出來的普遍，但數學中基礎性的概念又是更高層次概念的特殊，概念學習服從概念的發展規律，遵循的路徑一般則從特殊到普遍，不斷擴展數學的運用領域。

初中教材出現的負數概念，開始很多學生非常不習慣，他們會參照生活中數的概念習慣，產生疑問，比如：0就是沒有，怎么還有比0小的數？這時他們并不明白數的計量還有方向性的功能，如經濟活動中的負債、事物在計量原點作反方向的運動等等。初步學習完負數，這時可以通過數軸對已經學過的各種數的概念進行比較，整數、小數、有理數、0、負數等等這些，其中任何一種數的概念，在實數范圍內都是一種特殊性質的數。

學習普遍與特殊的思維邏輯，有助于系統理解數的概念形

成。例如，如何定義菱形時，教學中可以先利用“平行四邊形”這個已學概念，因為菱形是“平行四邊形”一個形的特殊，它限定菱形所屬的類別，但同時菱形不是一般性的平行四邊形，“有一組鄰邊相等”這一特征與普通平行四邊形區別開來。而矩形又是菱形的特殊形式。這樣通過特殊與普遍的區分，教會學生歸納數學知識的一般方法，加深對數的概念內涵的理解，這樣學生就不容易產生概念混淆。

五、數學問題的概念回歸

從數的概念出發，再把數學問題回歸到概念層面，是運用概念、深化掌握概念的重要環節。泛泛而談這個問題比較抽象，但可以轉化為一個具體的思維方法，那就是如何尋找解題的切入口，或者說把握住問題中涉及的概念指向。

這里舉個數學問題加以說明：在一個直角三角形中，AB、BC

分別為兩條直角邊，AB=3，BC=4，通過B點向斜邊AC作一條垂線，垂足為D，求BD的長度。一些學生在這個問題中，只想到勾股定理，把勾股定理反復使用，折騰半天也求不出來問題的答案，他們就沒有想過AB、BC、BD都是這個三角形的高，但在題目中，AB、BC、BD是高這個指向性非常明顯，一旦意識到了，自然就會把思維擴大到三角形面積這個概念上來，那么通過面積不變問題就輕松得到解答。

可以這么說，所有數學問題對于概念而言它都是個別或者特殊的問題，概念才是這些問題解決的普遍指導。在給出條件時，條件中就包含著概念的指向性，抓住這個指向性，實際上就找到了解決問題的切入口，這樣也就把問題又引回到概念上來。

總之，分析概念結構，提高概念語言解讀能力，循序漸進歸納概念知識，目的都是為了解決數學問題。數學教學固然離不開解題，但絕不是為解題而解題，盲目解題只會把概念知識搞得支離破碎。而是通過解題，引導學生進一步強化對概念的把握，準確靈活地運用數學概念。

學習數學，沒有什么捷徑，只能立足概念，需要不斷夯實概念這個基礎，從特殊到一般，進行系統的概念歸納，讓學生整體上把握概念；再從一般到特殊，把概念反復運用到解決問題中，強化概念的運用能力。只要學生能夠獨立地思考、解決數學問題，他們每個人的信心就會起來，學習數學就會成為他們的快樂，學好數學也就是水到渠成的事了。

參考文獻：

[1]陳麗芳.關于初中生數學歸納能力培養的理論與實踐研究[D].湖南師范大學，2008.

[2]劉印.初中數學概念教學之我見[J].中國校外教育，2015（20）.