如何用數學思想指導小學數學教學實踐

范正良

摘 要 本文以我在柯橋小學六7班進行數學總復習之“數學思考”時所執教的《圖形中的規律》一課為案例，進行具體分析，對如何用數學思想指導小學數學教學實踐闡述一些自己的見解。

關鍵詞 小學數學 數學思想 教學

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2017）04-0034-03

【案例背景】

在學習本課之前，學生已學習了長方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形、圓形和簡單的組合圖形，會用字母表示數。學生可通過觀察、歸納進行簡單的推理運算，他們可以正確地填補數列“1，3，5，（ ），（ ）。”中的空白處的數字。

【案例描述】

一、探究圖形中蘊含的規律

問題情境：（師）同學們，請你們用教具擺一個三角形，需要幾根小棒？兩個，三個呢？

生1：擺1個要3根，擺2個要6根，擺3個要9根。

生2：不對，擺2個只要5根，擺3個只要7根。（將自己擺的圖形指給老師看）

師：同學們思考都很積極，要表揚。這道題目要用“分類討論”的思想，分兩種情況：①每個三角形獨自擺；②有一邊公用（用PPT展示）。下面讓我們一起來討論：

①每個三角形獨自擺放時：

其中3n=n€？，n表示三角形的個數。

②有一邊公用時：

誰能說出三角形的個數為n時，需要小棒的根數是幾根？

1.展示學生火熱的數學思考

（1）1+n€？ （2）3+（n-1）€？ （3）n€？-（n-1）

師：答案（1）怎么理解？

生1：（邊指邊說）擺第一個三角形時，先擺左邊的△的一邊，以后都只要擺2根小棒就可以了。共有n個三角形，因此是1+n€？。（其他學生點頭表示贊同）

師：答案（2）中，“2”從哪里來？

生2：擺第1個三角形需3根小棒，以后每個三角形只需2根，共有（n-1）個，因此是3+（n-1）€？。（教師用PPT展示動畫）

師：那么答案（3）又如何理解呢？

生3：假設每個三角形都要3根小棒，共需n€？根，實際從第2個三角形起，每擺一個三角形只需2根小棒，多擺了1根，因此要減去1€祝╪-1），最后答案為n€？-（n-1）。

師：同學們都積極開動了腦筋，大家的思維很活躍。這3種答案都正確，并且都可以統一寫成2n+1。你們贊成嗎？

生：同意！

（教師在黑板上書寫1+n€？=2n+1，

3+（n-1）€？=3+2n-2=2n+1，

n€？-（n-1）=3n-n+1=2n+1）

師：同學們已能用符號表示數學式子。下面請大家回答PPT上顯示的幾道題目：

①擺15個三角形需要幾根小棒？

生4：15€？+1=30+1=31（根）

②照這種擺法，15根小棒可以擺幾個三角形？

生5：（15-1）€？=14€？=7（個）

2.同類圖形遷移、拓展

師：大家已掌握了三角形個數與小棒根數之間的關系。讓我們一起來探究所擺圖形為正方形時的情況。特別強調：下面提到的所有組合圖形都是“一邊公用”的！

（同樣經歷學生擺教具、小組交流討論、教師提問點評等環節，因與三角形的情況類似，故省略。）

PPT展示問題：①擺49個正方形需要幾根小棒？生6：49€？+1=147+1=148（根）②用49根小棒可以擺出幾個這樣的正方形？生7：（49-1）€？=48€？=16（個）

師：下面我們一起探究五邊形、六邊形的情形，請大家用教具擺擺看，發現有何規律？可以在小組內交流討論。

（學生經歷了前面的探究思考過程，對這一游戲活動興趣盎然。通過擺教具，在紙上畫草圖分析等自主探究，學生們很快找到了規律。）

生8：老師，五邊形有這樣的規律：小棒的根數=4€孜灞咝蔚母鍪？1。

師：真厲害，答對了！接著讓我們看看六邊形有什么規律？

同樣，學生不一會兒就找到了規律：小棒根數=5n+1（n為六邊形個數）。

師：完全正確！大家用掌聲鼓勵一下自己。今天我們所擺的圖形與所需小棒根數之間到底有著怎樣的數量關系呢？請大家與同桌討論或小組內交流。

（學生積極思考，將之前三角形、正方形、五邊形、六邊形與小棒之間的關系進行聯想類比，并在小組內認真交流討論。）

師：有結論了嗎？請大家一起響亮地回答。

生：小棒的根數=（圖形邊數-1）€淄夾胃鍪？1

3.鞏固與發展

問題一：1張方桌可坐4人，2張方桌可坐6人。則：

①5張方桌可坐幾人？②n張方桌可坐幾人？ ③坐16人需要幾張方桌？

問題二：猜數游戲4，7，10，13，（ ），（ ），……（ ）

前兩個括號中填入正確的數，最后一個括號中填入含n的式子。

問題三：觀察下列圖形，找出三角形個數與正方形個數之間的關系。

……

二、教學總結

（一）數學知識

用字母表示數；三角形、正方形、五邊形、六邊形等幾何圖形。

（二）數學思想方法

1.分類。一種按數學對象的相同點和差異點，將數學對象區分為不同種類的思想方法。案例中教師將擺放的三角形分為單獨擺放的和有一條邊重合（公用）兩種情況，做到了“不重復、無遺漏、標準同一”。

2.歸納法。通過對一些個別的、特殊的情況加以觀察，分析，進而導出一個一般性結論的推理方法。案例中教師讓學生觀察三角形個數與小棒根數之間的關系時，三角形個數從1，2，3一直增加到n，小棒根數也從3，6，9一直增加到3n，從特殊到一般，正是歸納法的特點。歸納法的本質特征是從已知到未知，從特殊到一般，從個性到共性，從經驗事實到事物內在規律的飛躍過程。此外，案例中教師引領學生從三角形、正方形類比推理到五邊形、六邊形直至任意多邊形，經歷了表層類比（形式或結構上的簡單類比）、深層類比（方法或模式上的縱向類比），牢牢抓住這些圖形公用一邊（公用1根小棒），從而探索、歸納出規律。

（三）學法指導

當我們遇到一個復雜的問題時，先從特殊的、簡單的情況著手解決，并獲得一定的初步經驗，再把該經驗推廣到一般的情況，提出猜想，通過驗證這個猜想來獲得新的知識（案例中教師讓學生說說他們各自答案的由來即是對猜想的驗證）。

【案例評價】

2011版義務教育《數學課程標準》明確指出：“數學教學活動，特別是課堂教學應激發學生興趣，調動學生積極性，引發學生的數學思考，鼓勵學生的創造性思維；要注重培養學生良好的數學學習習慣，使學生掌握恰當的數學學習方法。”

本案例正是遵循了這一原則，重視培養學生操作、歸納、猜想和推理能力，努力讓學生體驗成功解決數學問題和實際問題的喜悅。本案例還具有以下特點：

1.將數學知識和數學思想方法的學習有機地結合起來；

2.研究學生，研究教材，積極改進數學知識的呈現方式。第一，找準教學的起點。案例中教師把重點放在引導學生發現并用數學語言（字母）表述數學規律和總結獲得規律的方法上。第二，改進數學知識的呈現方式。教師在尊重教材的基礎上，把教材當做教學資源，根據學生的實際創造性地對教材內容進行有目的的挖掘、選擇、補充和調整。案例中教師把表格中的“10”這一具體數字換成字母n，增加了題目的難度，這是基于柯橋小學整體的數學教學水平較高和學生整體認知水平較高的基礎上的。而且，教師增加了五邊形、六邊形兩個例子，并對高中將要學習的數列知識中的通項公式也在練習題中進行了簡單的闡述，使學生有一初步的印象。

3.尊重學生的數學思考和重視歸納猜想方法的掌握與運用。案例中教師認真聽取學生的意見，充分詳盡地展示了學生的數學思考，及時恰當地評價學生的想法。教師把探究知識的自主權交給學生，在引領學生正確得出規律后，教師通過幾道練習題讓學生在具體應用中及時掌握知識和方法，并學會靈活運用。

4.歸納猜想方法的表述符合學生的實際。由于小學生的思維發展處于具體形象思維和抽象思維的過渡階段，且主要是具體的形象思維。因此，教師要用自然語言結合數學例子加以說明。歸納猜想方法的教學設計始終要遵循“多次孕育”“初步理解”“簡單應用”這一順序。

三、進一步思考

我國古代兵書《三十六計》開篇寫道：“六六三十六，數中有術，術中有數。”說明古人早已意識到數學與方法、策略之間的密切關系。

數學思想方法既是數學產生和發展的根源，還是解決具體問題的“向導”。因此，在具體的小學數學教學實踐中，教師應充分重視并利用數學思想，努力在學生的課堂學習、游戲活動、日常生活中滲透數學思想，達到潛移默化的作用。

參考文獻：

[1]顧泠沅，朱成杰.數學思想方法[M].北京：中央廣播電視大學出版社，2004.

[2]婁阿鳳.把數學思想滲透在數學學習的起始階段[J].生活教育，2011，（08）.

（責任編輯 劉 馨）