例析初中數學的多解問題

曾凡炳

摘要：在中學新課程的背景下，老師們對于學生的培養也不僅僅局限于會做或者能做上，而更多的是在思維方式上，培養學生們的實踐能力、創新精神，多角度考慮問題的能力成為了初中階段各科教學活動的最終目標。正如現在挺火的一句話：創新，是數學課堂永恒的主題。而多解問題愈加成為考察的重點，在多解問題中，我們不僅能夠考察學生的細心仔細的程度，更加可以考察學生的邏輯思維能力。多解問題中我們需要從各個角度中看待這個問題，考察的點特別多，從而獲得現在老師們的青睞。如果能夠以點概面，在多解問題中對學生進行知識點的指導，并加以科學思維角度的分析，這樣將會更加有利于學生對知識點的把握。

關鍵詞：初中數學多解問題；一題多解；教學研究；新思路新模式；發散思維

一、常見的多解問題圓的多解問題

已知點P到圓O上的點的最大距離是6cm，最小距離是2cm，則圓的半徑r=？

解析：分析題意可知，點P不在圓上，因此，應對點P與圓O位置進行分類 。分點P在圓O內和圓O外這兩種情況進行討論。做出如圖所示，點P在圓內和點P在圓外。

解：當點P在圓0內時，如圖1所示。

P A = 6 c m，P B = 2 c m，則A B=6+2=8（cm），所以r=4cm

當點P在圓0外時，如圖2所示，PA=2cm ， PB=6cm，則A B=6-2=4（cm），所以r=2cm

綜上所述，r=4cm或2cm

總結來說，確定了點與圓的位置關系，從本質上來說就是確定點到圓心的距離與半徑的大小關系。一般的多解問題中并不會明確點與圓的關系，所以應該考慮點在圓上、圓內、圓外這三種可能。而在有些題目中，需要使用數形結合的手法進行討論或者圓的角度問題，這些都是出題的的重點。但是萬變不離其中，只要記住重要的定理命理，多解問題也就變得非常簡單了。

三角形的多解問題；若等腰三角形腰上的高等于腰長的一半，則底角為分析題中等腰三角形可能是銳角三角形也可能是鈍角三角形，因而其腰上的高可能在三角形內也可能在三角形外，同學們受習慣思維的影響，往往只考慮前一種情況，所以答案只有75°而缺少15°。

已知 ABC內接于⊙ O，∠BOC=100°，則∠ BAC=

分析：題中圓心O與A點可在弦BC的同側，也可在弦BC的兩側，許多同學往往忽略后一種情形，答案中只有50°而少130°。

總結來說，解答三角形的多解問題時，同學們往往會產生思維定勢或者審題不清，導致漏解和錯解。三角形的邊長和角度問題是解答的重點，而這類題往往會把三角形和圓結合起來，把兩個知識點結合起來，多解中包含著錯解，這樣在無形之中就更增加了難度，成為熱點問題。

方程的多解問題

例4、y2+（k+ 1）y+ 9是完全平方式，求k.

分析 完全平方式有兩種形式，同學們往往只注意k+ 1= 6，忽略k+ 1=- 6情形

例5、如果x2= 25，則x= ？

分析 本題實質是求25的平方根，應為x=± 5.但有些同學往往忽略x=- 5，說明對平方根概念理解得不夠深刻.

例6、有兩個連續的奇數，兩個數字之積是483，求出這兩個奇數。

分析 這個題的多解解法的核心就是兩個連續的奇數相差為2，相乘為483，把握住方程的等量關系，變得也只是未知數的形式而已。當我們把方程的等量關系都找出來的時候，就可以減少漏解了。

解法一：通過對問題的分析得出，較小的奇數為x，則與這個較小奇數想連續的另一個奇數大小是x+2，則得出x（x+2）=483，可以得出兩個奇數的值為21，23或者-23，-21（很多時候同學們會忽略這種情況）

解法二：設兩個奇數的大小分別為2x+1，2x-1，同樣可以得出結果；還可以較大的奇數為x，較小的奇數為483/x，方程為-483/x=2.

二、一題多解模式下的課堂學習

1、教師與學生的“雙向選擇”。使用多解模式，教師們在講課過程中展現的解題思路、解題方法會使學生們影響深刻。教師的示范性作用，通過例題的講解，讓學生們體會到一題多解的趣味性，進而讓他們變換自己的解題思路，更好的解決問題。對于學生來說，一題多解代表著一種合作能力，同學們對于同一道題總是有著自己不同的想法，各自獨特的解題思維才是多解題型最好的答案，而這就需要學生們進行合作，提升自己的發散性思維。

其實，在多解問題這個平臺上，教師通過一個帶頭、領導的作用，把多解的思想傳遞給學生，引導他們進入正軌，讓學生合作探討一個題型，教師同樣也獲得了成長。師生雙向選擇，逐步展現了多解問題的魅力，可以說，多解問題是學生在理科上的引路人。

2、發散式思維的重點培養。傳統教學中，老師們只是要求學生“怎么做”，而不會告訴學生“為什么這么做”，死板，約束學生的思想。新課標中，我們不只是告訴學生這個題怎么做，而且要告訴他怎么來的，這就是新課標，新思維。多解問題是一個創新，在中學課堂上，一題多解式的問題架構對于學生的成長起到的作用無疑是巨大的。

三、結語

初中數學中有各種各樣的多解問題，解答這類多解問題，就要求學生必須有縝密細膩的思維，扎實的基礎知識和豐富的想象能力，所謂“見多識廣”，學生應該在掌握了理論知識的同時，廣見題型，理論與實踐相結合，這樣才能有更好的發展。同時，汲取發生漏解錯解的教訓，提高準確率，

一題多解式教學，體現的不只是一個題型，這也是新課標改革的進步性發展，是里程碑式的教育建設，這個需要教師和學生共同 ，積極探索學習數學的奧妙，在探索中發現數學解題的多樣性和趣味性。當然，不論教育模式，教育方法如何變化，教育的最終目的就是提升學生的綜合能力，培養全面素質，這點毋庸置疑。

參考文獻

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