逆向“倒換”，解題“法寶”

丁晨洋

摘要：加強(qiáng)逆向思維的訓(xùn)練，可改變其思維結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)思維靈活性、深刻性和雙向能力，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。迅速而自然地從正面思維轉(zhuǎn)到逆向思維的能力，正是數(shù)學(xué)能力增強(qiáng)的一種標(biāo)志。因此，我們?cè)谄綍r(shí)訓(xùn)練中務(wù)必要加強(qiáng)逆向思維能力的培養(yǎng)與塑造。在此，筆者淺要談?wù)勀嫦蛩季S方法中的倒換法。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；逆向思維；“倒換”

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2016）05-0110

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，邏輯思維能力和空間想象能力是學(xué)生學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知特點(diǎn)的概括，是在數(shù)學(xué)活動(dòng)中表現(xiàn)和培養(yǎng)的、帶有數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，因此被認(rèn)為是數(shù)學(xué)能力。而數(shù)學(xué)思維能力是數(shù)學(xué)能力的核心，除了掌握必須的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和數(shù)學(xué)思想方法以外，決定高考數(shù)學(xué)成績(jī)的關(guān)鍵是數(shù)學(xué)思維能力。所以，在平時(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中，教師應(yīng)該有意識(shí)、自覺(jué)地培養(yǎng)學(xué)生自身的數(shù)學(xué)思維能力，優(yōu)化思維品質(zhì)，把思維能力的培養(yǎng)和提高放在一個(gè)重要的位置，在學(xué)習(xí)的全過(guò)程中長(zhǎng)抓不懈。

逆向思維是指由果索因、知本求源，從原問(wèn)題的相反方向著手的一種思維。它是數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要原則，是創(chuàng)造思維的一個(gè)組成部分，也是進(jìn)行思維訓(xùn)練的載體，培養(yǎng)逆向思維過(guò)程也是培養(yǎng)思維敏捷性的過(guò)程?，F(xiàn)在有許多學(xué)生之所以處于低層次的學(xué)習(xí)水平，有一個(gè)重要因素，即逆向思維能力薄弱，缺乏創(chuàng)造能力、觀察能力、分析能力和開(kāi)拓精神。因此，加強(qiáng)逆向思維的訓(xùn)練，可改變其思維結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)思維靈活性、深刻性和雙向能力，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。迅速而自然地從正面思維轉(zhuǎn)到逆向思維的能力，正是數(shù)學(xué)能力增強(qiáng)的一種標(biāo)志。因此，我們?cè)谄綍r(shí)訓(xùn)練中務(wù)必要加強(qiáng)逆向思維能力的培養(yǎng)與塑造。在此，筆者談?wù)勀嫦蛩季S方法中的倒換法。

一、倒換法的定義及必要性

以顛倒、變換為手段，從反面對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析、思考，這種逆向思維的解題方法稱為倒換法。解題是一項(xiàng)系統(tǒng)的工程，有許多因素影響它的成敗。具有扎實(shí)的解題基礎(chǔ)，解題不一定獲得成功。因?yàn)閿?shù)學(xué)解題中，程序化的問(wèn)題是極少的，要把問(wèn)題中的條件與結(jié)論溝通起來(lái)，判斷利用什么知識(shí)，選擇什么方法，這就必須對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解剖、識(shí)別，對(duì)各種信息進(jìn)行篩選、加工和組裝，以創(chuàng)造利用知識(shí)、方法和經(jīng)驗(yàn)的條件，這種復(fù)雜的、創(chuàng)造性的分析過(guò)程就是數(shù)學(xué)思維過(guò)程。這一過(guò)程能否順利進(jìn)行，取決于數(shù)學(xué)方法是否正確。就像當(dāng)今社會(huì)，我們?nèi)伺c人之間的交流一樣，換位是經(jīng)常洞察一個(gè)人，解析一個(gè)事件的常用手段，因此對(duì)一些特殊的數(shù)學(xué)題型采用一些倒換技巧是可行的，也是必要的。

二、倒換法的幾種不同的表現(xiàn)形式

1. 常量與變量間的“倒換”

在解題實(shí)踐中，發(fā)現(xiàn)題目自身各部分之間隱含的特定的數(shù)量關(guān)系——變量與常量的互依關(guān)系，常常是解決問(wèn)題的突破口。但由于習(xí)慣思維之勢(shì)，人們往往抓住變量不放，有時(shí)會(huì)陷入困境。為了解題的需要，可暫時(shí)視某一變量為常量，這樣可以從“動(dòng)”中求“靜”，以“靜”制“動(dòng)”，促使問(wèn)題向有利于解決的方向轉(zhuǎn)化。

例：已知函數(shù)y=（log2m-1）log32x-6log2mlog3x+log2m+1，當(dāng)1≤m ≤2時(shí)，恒有y>0，試求x的取值范圍。

分析：如果在本題中，m視為參數(shù)，x為主變?cè)?，按常?guī)方法，需分log2m=1與log2m≠1兩種情形分別研究log3x的一次函數(shù)，二次函數(shù)取正值的條件，十分繁瑣，若以log2m為主元，將參數(shù)升格為主變量，可使問(wèn)題的解答變得相當(dāng)簡(jiǎn)捷。

妙！此題解法打破常規(guī)。這種“常量”與“變量”間的倒換，往往會(huì)在處理多變?cè)獙?duì)稱問(wèn)題、含有參數(shù)與主變量的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，若能突破常規(guī)思維，在解題時(shí)選取參變量為主變量，反客為主，就能實(shí)現(xiàn)問(wèn)題輕松解決。顯然，這種變換思考角度，將問(wèn)題進(jìn)行“倒換”處理，讓我們從“山重水復(fù)疑無(wú)路”的困境，進(jìn)入到“柳暗花明又一村”的美好景色中來(lái)。

2. 正面與反面間的“倒換”

從正面直接解決問(wèn)題時(shí)，很難有進(jìn)展，如果能夠改變思維的方向，從問(wèn)題的反面去進(jìn)行逆向思考，往往會(huì)收到意想不到的效果。

例：已知二次方程（1-i）x2+（λ+i）x+（1+iλ）=0（i為虛數(shù)單位，λ∈R）有兩個(gè)虛根的充要條件是的取值范圍為 。

可知當(dāng)且僅當(dāng)λ=2時(shí)，原方程有實(shí)根，于是方程有兩個(gè)虛根（無(wú)實(shí)根）的充要條件是λ≠2。

由此可見(jiàn)，對(duì)一些正面分類較繁，反面則很簡(jiǎn)單的這種“至少型”“至多型”等帶有否定字眼的問(wèn)題，若能借用“正反倒換”的技巧，便能開(kāi)拓思路，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，從而化難為易、化繁為簡(jiǎn)。

3. 結(jié)論先后順序的“倒換”

在解有關(guān)存在探索型問(wèn)題時(shí)，我們往往是直接從題目本身出發(fā)，想方設(shè)法地利用條件向目標(biāo)靠近，但往往比較困難。但若能將問(wèn)題所發(fā)生的先后順序進(jìn)行適當(dāng)?shù)牡箵Q，從不同的角度思考問(wèn)題，就會(huì)使問(wèn)題迎刃而解。

其實(shí)，在我們高中數(shù)學(xué)這種“倒換術(shù)”是經(jīng)常利用的，特別是像上例所示的存在探索性問(wèn)題更是得利用這種“倒換”，將先后順序倒換，同時(shí)借助數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)換命題、構(gòu)造法等實(shí)現(xiàn)解題。

4. 分子分母的“倒換”

分式函數(shù)求最值，是數(shù)學(xué)問(wèn)題中的常見(jiàn)題型。雖然用常規(guī)方法能解題，但對(duì)知識(shí)的要求比較高。我們?nèi)裟軐⑵浞肿臃帜傅箵Q一下，再解題，定會(huì)讓人耳目一新，想法頗多。

綜合上述可知，所求函數(shù)的最大值為1。

這種分子分母間的“倒換術(shù)”，特別適用于分式函數(shù)，尤其是分母的表達(dá)式比分子要復(fù)雜或者含無(wú)理根式的函數(shù)，若能巧妙實(shí)施分子分母的倒換，解題自然方便可操作。

從以上幾個(gè)例題可以說(shuō)明，雖然倒換法不是常規(guī)的思維方法，但我們?nèi)绻芡黄瞥Ｒ?guī)思維方法，能夠?qū)⒁恍┏Ｒ?guī)的數(shù)學(xué)問(wèn)題采用逆向思維——“倒換”來(lái)解題，也會(huì)收到非常不錯(cuò)的效果，既提高了大家的思維能力，又培養(yǎng)了大家的創(chuàng)新意識(shí)。其實(shí)，我們?cè)诮忸}時(shí)特別是練習(xí)中，考試時(shí)只會(huì)用一種方法做到底，時(shí)間大量浪費(fèi)不說(shuō)，而且效率極低，得不償失。因此，我們?cè)谄綍r(shí)的訓(xùn)練中，也有必要把一些好的技巧、好的思維策略，辯證地滲透到數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，讓我們也能體會(huì)到“倒一倒，問(wèn)題輕松解決了”的樂(lè)趣。

（作者單位：浙江省龍游中學(xué) 324400）