從熟練到精通

宋建民

【摘要】 理解學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，是學(xué)習(xí)科學(xué)的主要特征之一. 教師的教學(xué)應(yīng)該是在理解學(xué)生數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)上而展開(kāi)的. 論文通過(guò)對(duì)五年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)循環(huán)小數(shù)后，教師為促進(jìn)學(xué)生對(duì)循環(huán)節(jié)的深入理解，設(shè)計(jì)問(wèn)題以了解學(xué)生的思維并通過(guò)問(wèn)題的設(shè)置將學(xué)生的思維引向深入. 從而達(dá)到從熟練到精通的學(xué)習(xí)效果.

【關(guān)鍵詞】 理解學(xué)生思維；數(shù)學(xué)教學(xué)；循環(huán)小數(shù)；案例分析

1. 前 言

新學(xué)習(xí)科學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，“學(xué)生帶著有關(guān)世界如何運(yùn)作的前概念來(lái)到課堂. 如果他們的初期理解沒(méi)被卷入其中，那么他們也許不能掌握所教的新概念和信息，否則他們會(huì)為了考試的目的而學(xué)習(xí)它們，但仍會(huì)回到課堂之外的前概念. ”也就是說(shuō)，兒童在進(jìn)入學(xué)校前已經(jīng)具備了前概念知識(shí)（未經(jīng)正式訓(xùn)練前就形成的數(shù)量意識(shí)、未經(jīng)訓(xùn)練的策略等）. 對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的理解也是當(dāng)今國(guó)際小學(xué)數(shù)學(xué)教育研究的焦點(diǎn)問(wèn)題. 卡朋特等在Childrens Mathematics一書(shū)中，基于對(duì)兒童前概念知識(shí)的深入了解，研究出兒童解決數(shù)學(xué)文字題的思維表現(xiàn)以及常用的幾種解決問(wèn)題的策略. 他們的研究成果也成為美國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的必備文獻(xiàn).

事實(shí)上，在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的時(shí)候，有針對(duì)性地提出適合學(xué)生思維的問(wèn)題，甚至在學(xué)生理解問(wèn)題的基礎(chǔ)上自己提出問(wèn)題并解決，這對(duì)促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的深層次理解，對(duì)解決問(wèn)題的方法的本質(zhì)的發(fā)現(xiàn)，從而達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)的精通，有著積極的意義. 而教師在了解學(xué)生數(shù)學(xué)思維進(jìn)行教學(xué)的過(guò)程中也會(huì)有更多的驚喜和發(fā)現(xiàn).

2. 案例分析

循環(huán)小數(shù)0.275275…小數(shù)部分的第100個(gè)數(shù)字是什么？

問(wèn)題分析：從知識(shí)的層面，問(wèn)題考查的顯然是學(xué)生對(duì)無(wú)限循環(huán)小數(shù)中循環(huán)節(jié)的理解；而從解決問(wèn)題的方法層面，考查的則是整數(shù)的除法，包括整除類以及有余數(shù)的除法；從對(duì)問(wèn)題所涉及的知識(shí)聯(lián)系層面，考查的是如何在整除以及有余數(shù)的除法問(wèn)題之間，將余數(shù)和循環(huán)節(jié)中某些數(shù)字建立聯(lián)系. 最后層面，也是解決該問(wèn)題的關(guān)鍵，需要學(xué)生具有領(lǐng)悟數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)的初步能力. 這也就是為什么該問(wèn)題之所以稱為培優(yōu)題的關(guān)鍵所在.

生：100 ÷ 3 = 33…1，答：第100個(gè)數(shù)字是2.

師：為什么第100個(gè)數(shù)字就是2呢？

生：因?yàn)?00除以3余1啊！

點(diǎn)評(píng)：學(xué)生憑直覺(jué)，并建立正確的數(shù)學(xué)模型，正確地答出問(wèn)題，說(shuō)明學(xué)生已經(jīng)正確識(shí)別出該無(wú)限循環(huán)小數(shù)是以275為循環(huán)節(jié)的，所謂的位數(shù)，就是要求在275的循環(huán)中，剛好落在哪個(gè)位置. 但是，在用自己的語(yǔ)言表達(dá)自己的思維的時(shí)候，依然是模糊的，或者說(shuō)，在知識(shí)聯(lián)系層面，還沒(méi)有清楚意識(shí)到余數(shù)與數(shù)位之間的內(nèi)在聯(lián)系.

生再次看看問(wèn)題以及自己的解答，仿佛頓悟一樣，大聲說(shuō)出：100 ÷ 3 = 33…1，也就是說(shuō)，275循環(huán)33次，最后還剩一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)自然就是2了.

點(diǎn)評(píng)：這個(gè)問(wèn)題學(xué)生已經(jīng)解決了，并且認(rèn)識(shí)到100位小數(shù)中，已經(jīng)包含了33個(gè)275的循環(huán)，還剩下一個(gè)1，自然就是循環(huán)節(jié)275的第1位. 但是學(xué)生通過(guò)本問(wèn)題的解決，僅僅是了解了余數(shù)為1的時(shí)候，小數(shù)部分的位數(shù)為循環(huán)節(jié)的第1個(gè)數(shù). 而且，這種理解僅僅是意會(huì)，卻沒(méi)有用明確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述出來(lái). 因此，教師進(jìn)一步提出一個(gè)不同的問(wèn)題：

引申1：循環(huán)小數(shù)0.275275…小數(shù)部分的第200個(gè)數(shù)字是什么？

生：200 ÷ 3 = 66……2，第200個(gè)數(shù)字是7.

點(diǎn)評(píng)：引申1的問(wèn)題，剛好符合余數(shù)為2的情況. 學(xué)生的解答很順利，也非常正確. 說(shuō)明學(xué)生已經(jīng)識(shí)別了這一類問(wèn)題的模式，能夠熟練運(yùn)用這種模式解決問(wèn)題. 但是，問(wèn)題1和引申1針對(duì)的是某個(gè)位置與循環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)之比有余數(shù)的情況而言的，如果剛好整除呢？于是教師又提出一個(gè)問(wèn)題：

引申2：循環(huán)小數(shù)0.275275…小數(shù)部分的第300個(gè)數(shù)字是什么？

生：300 ÷ 3 = 100.

這時(shí)，學(xué)生陷入了思索，有余數(shù)的情況很容易解決，可是，整除的話，如何確定第300位數(shù)？

點(diǎn)評(píng)：學(xué)生之所以出現(xiàn)這種困惑，在于他們依然沒(méi)有識(shí)別余數(shù)與循環(huán)節(jié)中某些數(shù)字的內(nèi)在聯(lián)系. 然而在經(jīng)過(guò)深入的思考之后，學(xué)生猜測(cè)出應(yīng)該是5（也就是循環(huán)節(jié)275中的最后一位）.

師：為什么呢？你是怎樣想的？

生：我是這樣想的，275是個(gè)3位數(shù)，這個(gè)3位數(shù)擴(kuò)大100倍就是300位，所以第300位就是5.

多么巧妙的解法！教師不禁為學(xué)生這樣的想法拍案叫絕！這與教師預(yù)想的解釋：因?yàn)?00中包含100個(gè)275，所以第300位自然是5了；或者用余數(shù)的方法，按照化歸的思想進(jìn)行解釋：300中有99個(gè)275，還余3位數(shù)，所以最后一位數(shù)就是275中的最后一位數(shù)5. 然而，教師的兩種解釋都沒(méi)有學(xué)生的思維理解更加簡(jiǎn)單直觀.

3. 結(jié) 論

通過(guò)剛才的案例分析，可以看出，教師在教學(xué)中不必求全求多，而應(yīng)針對(duì)某一問(wèn)題由淺入深的理解，由具體到抽象的逐步認(rèn)識(shí)，并養(yǎng)成觀察歸納的思維、注重問(wèn)題之間內(nèi)在聯(lián)系的反省思維.

【參考文獻(xiàn)】

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