“直線和圓的位置關系”教學設計

朱紅桃　孔德宏　曹風

一、教學設計思路

“直線和圓的位置關系”是九年級上冊《圓》這一章的重點內容之一. 它既是點與圓的位置關系的延續與提高，又是學習切線的判定定理、圓和圓的位置關系的基礎. 本節課重點：掌握直線和圓三種位置的判定和性質；難點：引導學生發現隱含在圖形中的兩個數量d 和r并加以比較.

本節課設計以學生為主，老師為輔. 通過引導學生類比、探究、發現、歸納總結得出結論，培養學生自主學習能力、歸納總結能力. 同時本節課以問題為驅動，一環扣一環. 教師提出問題，把問題、時間交給學生，真正讓學生走上課堂的舞臺，讓學生意識到自己才是學習的主人，變“要我學”為“我要學”.

二、教學設計

（一）復習回顧，引入課題

師：前面我們學習了點和圓的位置關系， 請同學們回想一下， 點和圓有哪種位置關系？（PPT： 點和圓的位置關系）

生答： （PPT） 點在圓外、 點在圓上、 點在圓內.

師：如果圓的半徑為 r ， 點到圓心的距離為 d ， 這三種位置關系如何用數量來表示呢？

點在圓外 ？圳 d > r；

點在圓上 ？圳 d = r；

點在圓內 ？圳 d < r.

師：在進入今天學習之前呢，我們先來觀看一段視頻《海上日出》.

（播放視頻）

師：同學們剛剛在看《海上日出》，如果我們把太陽看作一個圓，海平面看作一條直線，那么海上日出這個過程，反映了直線和圓怎樣的位置關系呢？

導入課題： 2 4. 2. 2直線和圓的位置關系（一） （板書）

設計意圖：幫助學生提取已有的知識，為新課學習做好鋪墊. 通過欣賞視頻的形式，很自然地導出本節課的研究內容：直線和圓的位置關系.

（二）做一做，探索新知

師：請同學們拿出準備好的圓， 取一把直尺， 把直尺的邊緣看成一條直線， 將直尺平放在圓上， 然后移動直尺， 你發現直線和圓可能有幾個公共點？ （ 在同學們自主探討的同時教師在黑板上畫好三個圓備用） 通過剛才的操作， 你發現直線和圓可能有幾個公共點？

生答：有三種；有兩種.

師：哪些同學的回答是對的呢，我們一起來觀察一下.

（教師準備教具：直線和圓，演示給同學們看）開始的時候：直線在圓的下方，直線和圓沒有公共點，接著當直線和圓恰好接觸，直線和圓只有一個公共點；再走直線和圓有2個公共點，再走直線和圓又只有一個公共點；再走直線和圓沒有公共點了. 那么直線和圓公共點個數情況有幾種？（三種：沒有，一個，兩個）請一名同學上黑板畫一下對應圖形，寫上：無公共點，一個公共點，兩個公共點. 那么同學們，我們來試著它們下個定義，好嗎？先讓同學們說，師生再總結：（1）當直線和圓沒有公共點時， 我們就說這條直線和圓相離. （2）當直線和圓只有一個公共點時， 我們就說這條直線和圓相切， 這條直線叫作圓的切線， 這個唯一的公共點叫作切點.（3）當直線和圓有兩個公共點時， 我們就說這條直線和圓相交， 這條直線叫作圓的割線.

師：老師在這里收集了幾幅生活中的圖片，請同學們來分析一下每幅圖片體現了直線和圓的哪些位置關系？

學生1：如圖1，把水平方向的鋼管看成直線，就表示直線和圓相離.

學生2：如圖2，這個標志，表示直線和圓相交.

學生3：如圖3，把地面看作直線，輪胎看作圓，就表示直線和圓相切.

師：數學和生活是緊密結合的，同學們都學會了正確分析其中的數學原理. 現在請同學們完成一下練習：

前面三幅圖，同學們根據剛剛所學知識可以很快判斷出. 而第四幅圖，有的同學說是相切，還有的同學說是相離，甚至有同學說是相交. 正當同學們爭論的時候，老師趕緊拋出問題.

師：當直線和圓的公共點個數不好判斷，該怎么判斷直線和圓的位置關系？

設計意圖：通過設置第四幅圖，讓學生產生知識的沖突，處于“憤”的狀態，激發學生的學習興趣，使學生以最佳狀態進入新課難點學習. 設計問題“當直線和圓的公共點個數不好判斷，如何判斷直線和圓的位置關系？”讓學生感受到通過數量關系判斷直線和圓位置關系的必要性.

（三）合作探究，定量刻畫

師：前面在判斷點和圓的位置關系時，我們用了兩個量來進行大小比較，還記得嗎？

生：圓心到點的距離d和半徑r.

師：對，那么在這里，我們能否利用某個量與半徑的大小來判斷直線和圓的位置關系呢？在這里我們可以利用哪一個量呢？

學生4：過圓心作直線的垂線，找垂線段的長.

師：垂線段的長，也就是圓心到直線的距離. 在這里，我們把圓心到直線距離設為d，圓的半徑為r.請同學比較d和r的大小關系，能否得到直線和圓的位置關系呢？如果能得到，你解釋一下你們小組得到的結果.

學生5：當圓心到直線的距離大于半徑的時候，直線和圓相離；圓心到直線的距離等于半徑的時候，直線和圓相切；圓心到直線的距離小于半徑時，直線和圓相交.

請一名同學上臺畫圖，并說說做法. （ 對應板書： 相離 d > r ，相切 d = r ，相交 d < r ）

重點提示： 當直線與圓相交時， 為什么是 d < r 呢？ （ 可以用直角三角形中斜邊大于任一直角邊來解釋. ） 然后利用幾何畫板中的具體數值驗證三種數量關系. （ 見課件演示）

通過觀察和驗證知道了由直線和圓的位置關系能推出 d 與 r 的數量關系， 反過來由兩者的數量關系可以確定直線與圓的位置關系.

（ 學生通過自主合作交流、 探索發現新知、 自主歸納，得出結論，激發學生興趣 ）

（四）鞏固聯系

例1 給出一些圖形，根據公共點個數判斷直線和圓位置關系.

例2 已知圓的直徑為13 cm，設直線和圓心的距離為d：

（1）若d = 4.5 cm ，則直線與圓 ， 直線與圓有 個公共點；（2）若d = 6.5 cm，則直線與圓 ， 直線與圓有 個公共點；（3）若d = 8 cm ，則直線與圓 ， 直線與圓有 個公共點.

例3 如圖，點A是一個半徑為300 m的圓形森林公園的中心，在森林公園的附近有B、C兩個村莊，先要在B、C兩村之間修一條長為100 m的筆直公路將兩村連通，現測得∠ABC = 45°，∠ACB = 30°，問此公路是否會穿過森林公園？請經過計算說明.

設計意圖 斯金納教學原則中的強化原則是要求學生在學習新知識的基礎上，進行強化訓練. 例1設計了“由公共點個數判斷直線和圓的位置關系”，例2設計了“由d和r的關系判斷直線和圓位置關系”，能及時鞏固學生所學知識. 例3是直線和圓位置關系一道實際應用題，讓學生感受到數學來源于生活，服務于生活.

三、回顧及作業布置

（1）本節課我們學習到了什么？

（2）本節課我們經歷了什么？

……

作業：課后習題1.

設計意圖 復習鞏固本節課學到的知識：判斷直線和圓位置關系的兩種方法，同時又讓學生反思這些知識是如何獲取來的，既關注學習的結果，也關注學習的過程.

【參考文獻】

[1]封濤.《直線和圓的位置關系》教學設計與反思 [J].中學教學參考，2015（17）：19.

[2]張清霞.“直線和圓的位置關系”教學設計 [J].中國校外教育，2011（4）：78.