關于分部積分的分層次教學法研究

侯汝臣

[摘要] 本文對不定積分的分部積分部分的教學內容進行了再整理，利用分層次教學法進行講授。這種教學方法，層層遞進，一層建立在另一層的基礎上，既利于學生理解教材內容，又利于他們對教材內容的靈活應用。

[關鍵詞]不定積分；分部積分；分層教學法

[基金項目]山東省教育科學“十二五”規劃2015年度“高等教育數學教學專項”一般資助課題， 高校代數系列課程一體化建設，YBS15018。

我在高等數學的長期執教過程中，在講授不定積分的分部積分方法這一部分內容的時候，總感覺教材[1]沒有把這一部分的關鍵說透。因此，根據我自己的心得，對這一部分內容進行重新梳理，分成三個層次講解。

我們回憶一下，分部積分方法是指：∫uv′dx=uv-∫u′vdx。在此，注意求兩個函數乘積的不定積分，重點轉換為求一個函數的原函數（求v′的原函數v），求另一個函數的導數（求u的導數u′）。

第一層次。首先要找原函數。 如果一個乘法因子的原函數不容易求得，而另一個乘法因子的原函數易得，那么沒有其他選擇，只能找易得的那個原函數，對另一個因子求導。

例1 求 ∫arcsinxdx。

分析 注意arcsinx其實等于1arcsinx。1的原函數易得，為x，而arcsinx的原函數不易得，所以只能求1的原函數，對arcsinx求導。所以本題的解法為：

∫arcsinxdx=xarcsinx-∫x（arcsinx）′dx=xarcsinx-∫x11-x2dx=xarcsinx-∫x11-x2dx=xarcsinx+12∫11-x2d（1-x2）

=xarcsinx+1-x2+C。

第二層次。 如果兩個乘法因子的原函數都易得，那么就需要對它們分別求導，進行比較。哪一個的導數比自身簡化的厲害，就對哪一個求導，而求另一個因子的原函數。

例2 求 ∫xcosxdx。

分析 首先注意x和cosx的原函數都易得。那么就嘗試對它們求導。x的導數為1，cosx的導數為-sinx。x的導數比x簡化了很多，而cosx的導數比cosx沒有簡化。所以我們就可以求cosx的原函數，而對x求導。所以本題的解法為：

∫xcosxdx=xsinx-∫x′sinxdx=xsinx-∫sinxdx=xsinx+cosx+C。

第三層次。 如果兩個乘法因子的原函數都易得，并且對它們分別求導，進行比較，發現導函數比原函數都沒有簡化，那么這時就需求兩次不定積分，嘗試利用解方程的方法求不定積分。注意，這里對一個因子求原函數時，在下一次求不定積分時還要求它的原函數。

例3 求 ∫excosxdx=excosx+exsinx-∫ex（sinx）′dx=excosx+exsinx-∫excosxdx。

分析 首先注意ex和cosx的原函數都易得。那么就嘗試對它們求導。ex的導數為ex，cosx的導數為-sinx。它們的導函數比它們本身并沒有簡化。所以我們就嘗試利用求兩次分部積分，解方程的方法來求∫excosxdx。所以本題的解法為：

∫excosxdx=excosx-∫ex（cosx）′dx=excosx+∫exsinxdx。

這樣我們就得到關于∫excosxdx的方程，解之得：

∫excosxdx=12ex（cosx+sinx）+C。

總結：通過這三個層次的教學，學生就能夠徹底的掌握分部積分方法的細微之處，能夠懂得在不同的情況下，給出不同的處理方法。

[參考文獻]

[1]同濟大學數學系編。高等數學，第七版上冊。北京： 高等教育出版社，2014。208-212。