高考中備受青睞的阿波羅尼斯圓

潘敏

1。提出問(wèn)題

圓C與x軸相切于點(diǎn)T（1，0），與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A、B（B在A的上方），且|AB|=2。

（Ⅰ）圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)A任作一條直線與圓O：x2+y2=1相交于M、N兩點(diǎn)，下列三個(gè)結(jié)論：

①|(zhì)NA||NB|=|MA||MB|；

②|NB||NA|-|MA||MB|=2；

③|NB||NA|+|MA||MB|=22。

其中正確結(jié)論的序號(hào)是（寫出所有正確的序號(hào)）。

這道題第（Ⅰ）問(wèn)是大家熟悉的求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的問(wèn)題，易得出（x-1）2+（y-2）2=2，第（Ⅱ）問(wèn)命題者以阿波羅斯圓為背景，將解析幾何知識(shí)與代數(shù)中方程思想融為一體。如果學(xué)生缺乏對(duì)這種經(jīng)典的數(shù)學(xué)文化的研究，那么在很短時(shí)間內(nèi)解答出此題是很困難的。事實(shí)上，這種數(shù)學(xué)文化并不是很遙遠(yuǎn)，在我們教材中就出現(xiàn)過(guò)，只是我們平時(shí)沒(méi)有挖掘那些看似平淡無(wú)奇的例習(xí)題所隱藏著的深遠(yuǎn)背景。

2。教材背景

問(wèn)題（人教A版必修2課本第144頁(yè)復(fù)習(xí)參考題B組第2題）

已知點(diǎn)M（x，y）與兩個(gè)定點(diǎn)M1，M2距離比是一個(gè)正數(shù)m，求點(diǎn)m的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形（考慮m=1或m≠1兩種情形）。

設(shè)M1M2的長(zhǎng)為2a，以線段M1M2所在直線為x軸，中垂線為y軸，定點(diǎn)M1（-a，0），M2（a，0），由|MM1||MM2|=m，得（x+a）2+y2（x-a）2+y2=m，化簡(jiǎn)得（1-m2）x2+（1-m2）y2+2a（1+m2）x+a2（1-m2）=0，

當(dāng)m=1時(shí)，方程即為x=0，此時(shí)軌跡是y軸，也就是M1，M2的中垂線。

當(dāng)m>0且m≠1時(shí)，配方整理得：[x-a（m2+1）m2-1]2+y2=2amm2-12，

此時(shí)軌跡是一個(gè)圓，它的圓心為a（m2+1）m2-1，0，半徑為2am|m2-1|的圓。

這一結(jié)論，早在公元前就被古希臘著名的數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)了，人們把這樣的圓稱為阿波羅尼斯圓，直線稱為阿波羅尼斯直線。

3。探究發(fā)現(xiàn)

（1）在平面內(nèi)，滿足|MM1||MM2|=m（m>0，m≠1）的動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是阿波羅尼斯圓，實(shí)際上，根據(jù)軌跡方程的純粹性和完備性可知，阿波羅尼斯圓上任意一點(diǎn)M也必定滿足|MM1||MM2|=m（m>0，m≠1）。

（2）給定兩個(gè)定點(diǎn)及不同的定比（不為1）對(duì)應(yīng)不同的阿波羅尼斯圓。

（3）若給出阿波羅尼斯圓及一個(gè)定點(diǎn)，則另一個(gè)定點(diǎn)及定比是唯一確定。

已知圓O：x2+y2=γ2和定點(diǎn)A（a，0）（其中γ，a已知），若定點(diǎn)B（b，0）（b≠a）和常數(shù)λ滿足：對(duì)圓O上任意一點(diǎn)M，都有|MA|=λ|MB|，則b=γ2a，λ=r|a|。

證明 設(shè)M（x，y），則x2+y2=γ2，由|MA|=λ|MB|得|MB|2=λ2|MA|2

利用兩點(diǎn)距離公式化簡(jiǎn)得2（aλ2-b）x=（a2+γ2）λ2-b2-γ2對(duì)x∈[-γ，γ]恒成立。

從而aλ2-b=0（a2+γ2）λ2-b2-γ2=0若a=0，則b=0，λ=1，A，B重合。（舍）

若a≠0，解得λ=γ|a|b=γ2a或λ=1b=a（舍）所以存在點(diǎn)Bγ2a，0，對(duì)圓O上任一點(diǎn)M，都有|MB|=λ|MA|，其中λ=r|a|。當(dāng)a=-2，γ=1，就是2014年湖北省高考文科17題，可以得出b=-12，λ=12。

4。解決問(wèn)題

通過(guò)上面探究阿波羅尼斯圓相關(guān)知識(shí)的可逆性，不難解決問(wèn)題：

設(shè)M（x，y），可以推出A（0，2-1），B（0，2+1）

|MA||MB|=x2+（y-2+1）2x2+（y-2-1）2=（2-y）（2-1）（2-y）（2+1）=2-12+1=2-1

由M任意性，若N在此圓上也滿足|NA||NB|=2-1

所以x2+y2=1是定點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的阿波羅尼斯圓，即①正確

由探究發(fā)現(xiàn)，同一個(gè)阿波羅尼斯圓有|NA||NB|=|MA||MB|=λ

所以|NB||NA|=1λ=2+1，即②③也正確。

5。反思感悟

近幾年來(lái)，阿波羅尼斯圓在高考中是一個(gè)亮點(diǎn)，有關(guān)這類考題屢見(jiàn)不鮮，不僅前面列舉湖北、江蘇高考卷中出現(xiàn)了，還有像北京、四川等地方考題中也考過(guò)。雖然高考很神圣，高考題很神秘，但掀開這層面紗，你不難發(fā)現(xiàn)，它不那么神奇。事實(shí)上，它就來(lái)源于我們平常那些例習(xí)題中，教師應(yīng)該注重挖掘，了解一些題目及結(jié)論產(chǎn)生的背景和應(yīng)用，體會(huì)其中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和方法。適時(shí)對(duì)有著關(guān)聯(lián)的各類例題和習(xí)題進(jìn)行整合、重組、演變，使學(xué)生能通過(guò)這些變化與聯(lián)系，從不同側(cè)面和多角度把握問(wèn)題本質(zhì)，觸類旁通，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)去分析、觀察、探索數(shù)學(xué)問(wèn)題。正如德國(guó)教育家帝斯多惠指出，“不好的老師轉(zhuǎn)述真理，好的老師教學(xué)生去發(fā)現(xiàn)真理”