基于幾何直觀的初中數學教學實踐研究

彭慧秀

摘 要：幾何直觀是人腦對客觀事物及其關系的一種直接識別或猜想的心理狀態，也是一種思維方式，兼具形象思維、抽象思維兩大特征。幾何直觀性常用于常規數學教學，能夠有效培養學生運用圖形語言進行交流的能力和空間想象能力，因此，加強幾何直觀與數學課程整合就顯得十分重要。以初中數學教學為研究對象，以全等三角形和相似三角形數學知識點為實例闡明幾何直觀在初中數學教學中的實踐應用，旨在言明幾何直觀性及幾何直觀思維在初中數學教學中的巨大作用。

關鍵詞：初中數學；幾何直觀；全等三角形；相似三角形；教學實踐

新課程改革提出教學新理念，要求初中數學教師教學應以學生認知發展水平和已有經驗為基礎，面向全體學生，注重啟發式和因材施教教學方式的運用。因此，在初中數學課程教學中，老師應注重發展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力以及模型思想等諸多能力，以此提升數學教學效率。

一、幾何直觀的基本含義及利用價值

所謂幾何直觀，指的是人腦對客觀事物及其關系的一種直接識別或猜想的能力，其能夠明確感受物質存在的位置關系，此時若加以正確描述，定能發現并領悟事物位置關系中的本質。幾何直觀與初中數學教學聯系緊密，它能夠巧妙地將幾何數量關系轉化為直觀的幾何基本圖形，對于研究數學幾何問題大有裨益。

現階段，不少初中生的學習基礎過差，數學學習功底十分薄弱，面對幾何數學題更顯得束手無策，因此廣大初中數學老師務必要提高自身教學水平，著手培養班級學生的幾何直觀能力，讓學生由直觀得出幾何基本圖形，然后研究每個幾何的基本圖形，再把從基本圖形中得出的性質綜合起來，從中再找出解決問題的方法。關于幾何直觀用于初中生數學教學實踐最大的利用價值，就是可以借助圖形將抽象的概念、定理具體化、直觀化，將未知轉化為已知，對于學生學習能力、學習效率的提高有著重要的價值作用。

二、以全等三角形、相似三角形為例的初中數學幾何直觀教學實踐研究

本次教學實踐以程序教學法為主，旨在通過精心設置知識項目序列和強化程序這一方式，取得可觀成績，具體教學實踐內容如下：

（一）以全等三角形為例的初中數學幾何直觀教學實踐研究

1.教學內容

復習全等三角形相關內容，重點講解全等三角形判定定理的具體應用

2.教學目標

幫助學生鞏固和理解全等三角形的五種判定方法，能夠熟練應用每條判斷定理

3.教學步驟

（1）復習導入

師：前面我們已經學習了全等三角形的具體判定定理，主要有幾種？分別有什么？哪位同學知道。

生1：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（老師順便板書定理具體內容）

師：這位同學回答得非常正確，那我們今天就結合具體的數學題目來復習、鞏固這幾種判定定理的實踐應用。

（2）開放設計，復習概念

例1：如圖1，點C是線段AB中點，∠A=∠B，只需添加一個條件 ，就可用三角形全等的判定“ASA”證明△ACD≌△BCE。

圖1

師：大家想想，要添加什么條件才能證明兩個三角形全等呢？

生2：添加∠ACD=∠BCE，構成ASA證明△ACD≌△BCE。

師：沒錯，那么添加什么條件可以用“SAS”證明△ACD≌△BCE呢？

生3：添加AD=BE，能夠構成SAS證明△ACD≌△BCE。

師：還可以添加什么條件？

生4：添加∠D=∠E，構成AAS證明△ACD≌△BCE。

師：能不能添加DC=EC來證明△ACD≌△BCE？

生5：不可以，因為△ACD中邊AC、CD和∠A并不符合兩邊和夾角的關系。

設計意圖：通過以上提問讓學生進一步明晰這幾種判定定理間邊與角的關系，以防混為一潭，同時鍛煉學生的發散思維能力。

（3）變式訓練，攻破難點

例2：如圖2，已知AB=DC，AC、DB交于點O，且AC=DB，求證：∠A=∠D。

圖2

簡析：此題相對來說較為簡單，老師可組織學生拿兩個已經準備好的三角板按圖擺放，從而迅速解答問題。

變式提問1：如若把上圖中的線段BC擦掉，∠A=∠D還成立嗎？

生6：還成立，可用虛線連接BC進行構圖，按照例題的思路解答。

變式提問2：如圖3，AB=DC、AC=DB，怎么證明∠B=∠C呢？

圖3 圖4

（受到例2和變式1思路的啟發，學生很自然地聯想到連接AD，難點得以攻破）

生7：連接AD，證明△BAD≌△CDA。

變式提問3：如圖4，AB=DC，AC=DB，你能猜想出AD與BC的位置關系嗎？

（這個時候學生激情高漲，求知欲完全被調動起來，熱情地積極參加討論，數學思維都有了深度和廣度）

設計意圖：為展現教學的層次性，筆者以例2和變式1為鋪墊，由淺至深、步步邁進，有效的追問解決了題目中的難點，學生的幾何直觀思維也得到進一步升華。

4.小結

全等三角形數學問題的解答需要幾何圖形的支撐，只有站在幾何圖形的基礎上才能真正了解到數學題目中的微妙關系，從而正確解答幾何數學問題。

（二）以相似三角形為例的初中數學幾何直觀教學實踐研究

1.教學內容

以相似三角形為中心研究對象，講解相似三角形多解問題和位似概念，順帶運用幾何畫板這一工具，有效提升學生的幾何直觀能力，鍛煉學生幾何直觀思維。

2.教學目標

幫助學生貫徹理解相似三角形多解問題和位似概念，拓寬幾何直觀思維之寬度，呈現數學問題之本質。

3.教學步驟

（1）講解相似三角形多解問題

在相似三角形的教學過程中，常會遇到因對應關系未確定而分類討論的現象。解題策略主要是由假定的對應關系得到成比例線段，隨即求出線段的長。但如果從存在性加以說明，也許會取得可觀成效。

例3：如圖5，已知AB⊥BD，垂足為B，CD⊥BD，垂足為D，AB=4，CD=6，BD=14，請問：在BD上是否存在點P，使C、D、P為頂點的三角形與以P、B、A為頂點的三角形相似？如果存在，計算出P的位置；如果不存在，請說明理由。

待求出后，再從存在入手，借助幾何直觀性讓學生看到點的存在性，通過分析得到此作圖方法：①由于AB∥CD，所以利用軸對稱，作點A關于直線BD的對稱點A′，連接CA′，交BD于點P，則P為所求（如圖5）。

圖5 圖6 圖7

②由于△APB∽△PCD，所以∠APB=∠PCD。又∠PCD+∠CPD=90°，所以∠APB+∠CPD=90°，從∠APC=90°，再利用“直徑所對的圓周角是直角”，可以AC為直徑作圓，交BD于點P（如圖6）。待學生弄清后，再拖動CD，觀察滿足要求的點P的個數變化，再歸納總結，使學生能夠快速且準確的判斷點P的個數（圖7），既鍛煉了學生的幾何直觀能力，同時還拓寬了思維含量。

（2）位似概念，揭露概念本質

位似變換是相似變換的一種特例，解讀此概念時要注意兩個圖形相似、對應定點的連線交于一點、對應邊互相平行這三個要點，此處特舉反例做以說明：

反例1：如圖8，AC⊥OB，△A1FC1與△ABC關于O點位似，△A1B1C1與△A1FC1關于直線A1C1對稱，從而△A1B1C∽△ABC，且滿足AA1、BB1、CC1相較于點O，但是△A1B1C和△ABC不是位似的。

反例2：如圖9，AB⊥BD，CD⊥BD，A、A′關于直線BD對稱，連接CA′交BD于點P，從而△ABP∽△CDP，且滿足AB∥CD，BP與DP共線，還滿足CA、DB相較于點O，但是△ABP與△CDP不是位似的。

以上兩個反例從反面視角揭露了位似概念的本質，對學生理解幾何問題大有裨益，加之應用了幾何畫板這一工具，不僅加快了整個解題速率，而且縮短了解題用時。

4.小結

相似三角形多解問題和位似概念的理解需要借助幾何圖像來言明，不僅加快了解題速度，而且解題正確率也相對較高。

總之，幾何直觀性在全等三角形、相似三角形的教學中得以充分展現，而且全等三角形和相似三角形的解題難度也在幾何直觀性的幫助下有所降低，課堂教學質量也得到極大地提升。

總的來說，于初中數學教學中培養學生的幾何直觀能力是極為有益的，單從上文所列舉的全等三角形、相似三角形兩大實例便可看出初中數學教學需要幾何直觀能力的支持，所以初中數學老師務必要重視數學幾何直觀性教育的實質化進程，落實到實處，讓初中生的幾何直觀能力在課堂教學和課后實踐中得以培育。

參考文獻：

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[3]冉啟明.直觀性原則在初中數學教學中的應用[J].才智， 2009（30）.

編輯 魯翠紅