PDCA循環理論在數學思維教學中的應用

趙偉紅

【摘要】為適應現代科學技術的迅速發展，數學教學應該是數學思維活動的教學.數學思維的教學要以全新的理念、新的框架結構、內容體系和教學方式來實施.對學生的思維訓練是一個個PDCA循環環環相套，不斷鞏固提高的過程.

【關鍵詞】數學思維;PDCA循環;思維能力

PDCA是最早由美國質量統計控制之父Shewhat（休哈特）提出的PDS（Plan Do See）演化而來，由美國質量管理專家戴明改進成為PDCA模式，所以又稱為“戴明環”.它是一種有四個質量控制階段的企業管理方式.PDCA由英語單詞Plan、Do、Check和Action的首字母組成，其代表的意義如下：P（計劃），針對需求，確定企業質量目標和開展工作計劃.D（執行），執行就是具體運作，實現計劃中的內容.C（檢查），檢測執行效果，汲取經驗，勘探錯誤;明確原因，找出問題.A（處理或糾正），對檢查的結果進行總結，成功的經驗予以肯定，對失敗的教訓予以總結，避免重現，對未解決的問題轉到下一個循環解決.

PDCA循環理論同樣的在數學教學中也適用.數學教學作為一種思維教育、素質教育，它的靈魂和核心就是培養學生的數學思維能力.因此，如何通過教學培養和提高學生的數學思維能力，是每一位數學教師必須認真思考的問題.筆者認為數學思維教學中應當鼓勵學生提出不同看法，并引導學生積極思考和自我鑒別.對數學思維的教學要以全新的理念、新的框架結構、內容體系和教學方式來實施.本文僅通過一個數學問題的設計與教學，粗略談談PDCA循環理論在數學思維教學中的應用.

一、計劃階段，制訂探究計劃

例：已知x，y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范圍？

首先設置兩個問題情境，形成初步探究方案.

①對于x+y=1能聯系到哪些相關的知識呢？

②對于x2+y2應該怎么與x+y=1銜接呢？

二、執行階段，按計劃實施探究

通過思考，首先有學生給出了下面的解法：

解：由x+y=1得y=1-x，則x2+y2= x2+（1-x）2=2x2-2x+1=2x-122+12.

由于x∈[0，1]，根據二次函數的圖像與性質知：

當x=12時，x2+y2取最小值12;當x=0或1時，x2+y2取最大值1.

對于二元或多元函數的最值問題，往往是通過變量替換轉化為一元函數來解決，這是一種基本的數學思想方法，很多同學都采取了這種一般的解法.

三、檢查階段，勘探問題

詩曰：“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同.不識廬山真面目，只緣身在此山中.”因此，要促進學生主動調整自己的思維，換個角度看問題，提出不同的看法.看能否有更加簡單易行的解題辦法.通過討論思考學生給出如下解法：

1.利用三角換元的思想

解 由于x+y=1，x，y≥0，則可設 x=cos2θ，y=sin2θ，其中θ∈0，π2，則x2+y2= cos4θ+sin4θ=（cos2θ+sin2θ）2-2 cos2θsin2θ =1-12（2sinθcosθ）2=1-12sin22θ=1-12×1-cos4θ2=34+14cos4θ.

于是，當cos4θ=-1時，x2+y2取最小值12; 當cos4θ=1時，x2+y2取最大值1.

2.運用基本不等式

解 由于x、y≥0且x+y=1，則 xy≤（x+y）24=14，從而0≤xy≤14.于是，x2+y2=（x+y）2-2xy=1-2xy.所以，當xy=0時，x2+y2取最大值1;當xy=14時，x2+y2取最小值12.

3.利用解析幾何的思想

解 設d=x2+y2，則d為動點C（x，y）到原點（0，0）的距離，于是只需求線段x+y=1

x≥0

y≥0上的點到原點的最大和最小距離就可.

當點C與A或B重合時，dmax=1，則（x2+y2）max=1;

當OC⊥AB時，dmin=22，則（x2+y2）min=12.

思想出智慧，智慧生妙解，妙解令人陶醉.經過對問題的勘探，學生把此題做得美輪美奐.他們都沉浸在成功的喜悅之中，課堂氛圍推向高潮，極大地提高了學生的數學思維能力.

四、處理階段，引領螺旋式探究

《西游記》中孫悟空神通廣大，能八九七十二變.好的數學題也會有一些“變式”.學生掌握了解決此問題的方法，接下來把問題上升高度拋出新的問題.

已知x，y≥0，且x+y=1，求x3+y3的最值？x4+y4呢？

依據前面的解題方法，學生順利地解決了此問題.筆者又一次設疑這個問題是否能推廣到一般的情況呢？以便引領螺旋式探究，于是把問題改編為如下：

若x，y≥0且x+y=1，能求得12n-1≤xn+yn≤1的結論嗎？

這個問題由于學生所學知識的欠缺沒能證明出來，但是我們可以進入下一個循環解決.至此整個問題經過了一個完整的PDCA循環.這是一個由特殊性逐步一般化的思維過程，加強了學生思維能力的培養.

PDCA循環理論的四個階段不是一蹴而就，有其周而復始及螺旋式上升的特點.它強調了學生在探究過程中的思維建構過程，指明了學生思維建構的層次性，為數學課堂思維教學提供了新的視角.