數學思維中的哲學

劉翔

【摘要】自然辯證法作為哲學的重要組成部分，研究和揭示了自然界存在和演化的一般規律，自然界屬于客體地位，是人類所要認識和改造的對象，而數學屬于自然科學基礎學科，是自然科學的一部分，數學源自于自然界，研究自然界的存在與發展的一般規律，進而抽象出其形式，建構數學體系.所以了解數學與自然辯證法之前的關系，可以提升數學思維，也能加強學科之間的聯系，對研究自然界發展規律提供更好的思維空間.

【關鍵詞】數學;自然辯證法;數學思維

一、數學與哲學的聯系

自然辯證法作為馬克思主義哲學的重要組成部分，它是馬克思主義關于自然界和科學技術發展的一般規律以及我們人類來認識自然和改造自然的一般方法的理論.自然辯證法所研究的對象之一就是我們的自然界，自然辯證法研究和解釋了自然界存在和演化的一般規律，可以簡單地稱之為自然界的辯證法.而數學這門自然科學就源自于自然界，是依據自然辯證法所揭示的自然界存在的客觀規律而發展起來的，數學的發展伴隨著哲學的不斷進步，數學與哲學之間相互滲透，相輔相成，歷史上很多古希臘的哲學家就是為了解釋一些哲學問題而去研究數學，也有很多數學家為了研究數學問題最后投向了哲學的懷抱，比如，亞里士多德、畢達哥拉斯和歐幾里得等等，同時是偉大的數學家也是著名的哲學家，從畢達哥拉斯的自然哲學、機械決定論到邏輯實證主義都表明，數學在很多方面上不同程度地影響了許多哲學的思想方法和內容，而同時，哲學的不斷發展也為數學學科的發展提供了更為廣闊的思維空間與思維方式.

古希臘哲學中認為，萬物的本原就是數，所有的事物都可以用數來表示，無限是偶數，把偶數拿來用奇數限定，就會賦予現實事物以無限性.萬物都是成雙的，任何對偶的事物都可以用來平分，平分出來的兩部分可以無限地進行下去，因為這樣的二分法可以無限進行，但是如果增加到奇數，平分就有限了，就會使無限的二分終結，可見，進入哲學殿堂的階梯就是數學方法，也是認識理想世界的準備工具.最早的畢達哥拉斯學派研究數學的目的其實是為了解釋宇宙生成這一哲學問題，從數學研究中去發現結論，認為所有的對象事物都能有整數來構成，而數就是構成我們宇宙的要素，隨著對數的研究，歷史上非常著名的“畢達哥拉斯定理”也就是我們所稱的“勾股定理”就這樣自然而然地產生了.所以說，哲學的發展離不開數學的進步，數學的發展也離不開對人類哲學的追求.

二、哲學中的兩個悖論與自然辯證法

（一）二分法：你不能在有限的時間內越過無窮的點

在你穿越一定的距離的全部之前，我們首先必須穿過這個距離的一半，這樣的話距離的一半還會有一半，這樣下去會陷于無止境，在任何的一定的空間中都有無窮多個點，你穿越一個點需要一個時間，哪怕這個時間非常小，但是無窮多個點你需要穿過，所以你根本不可能在有限的時間中一個一個地接觸無窮個點，因此，你也就不可能穿越這一定的距離.

二分法

（二）阿喀琉斯：阿喀琉斯永遠追不上烏龜

烏龜在阿喀琉斯前面，阿喀琉斯要追上烏龜，他首先必須到達烏龜出發的地點，而這時候烏龜會向前走了一段路，雖然這段路可能很短，但是你不能否認這段路存在，于是阿喀琉斯又必須趕上這很小的一段路，而在阿喀琉斯追這一小段路的時間里烏龜又會向前走了一段路，這段路會更短，但是無論多短，這路畢竟都是存在的，所以這樣思考下去，他總是愈追愈近，但是始終當然追上前一個很小的一段路的時候，烏龜又向前走了一段，始終追不上烏龜.

（三）自然辯證法對悖論的解釋

上面兩個就是著名的芝諾悖論，很明顯這些與事實是不符合的，在實際生活中，第一，我們不可能永遠穿不過一定的距離;第二，人肯定是可以追上烏龜的.但是當時在哲學界這兩個悖論引起來很大的風波，這兩個看起來明顯錯誤的哲學思想，當時沒有人能從哲學的角度出發去合理解釋下這兩個悖論，而自然辯證法的出現，很好地解釋了這兩個悖論，代表人物就是黑格爾，他從哲學的角度出發，利用自然辯證法很輕松地解釋了芝諾悖論.

他的觀點認為芝諾看到了運動是同時間和空間分不開的，必須用時間和空間才能說明運動.芝諾論證的關鍵在于他認為物體無法經過無窮多個點或區間而在連續時空中完成運動，但是他的根據呢？仔細檢查后你會發現，沒有！難道這是一條十分明顯的、不需要進一步說明的公理嗎？也就是說芝諾論證的時候默認為物體無法經過無窮多個點或區間而在連續時空中完成運動而沒有任何根據來誤導我們的思維.

首先，我們必須弄清“完成”的含義.所謂“完成”是指過程的發生只需要有限的時間，它本質上是以時間概念為

基礎的.于是，問題成為：物體是否能夠在有限時間內經過空間中的無窮多個點或區間？根據時間和空間的連續性假設，有限的空間含有無窮多個點或區間，而有限的時間同樣含有無窮多個時刻或時間區間，并且它們可以形成一個一一對應關系.因此，原則上物體可以利用有限時間內的無窮多個時刻或時間區間來通過有限空間中的無窮多個點或區間，從而物體便可以自然地在有限時間內經過空間中的無窮多個點或區間了.于是，物體是可以（在連續時空中）經過無窮多個點或區間而完成運動的.芝諾所依據的似乎明顯正確的看法其實是錯誤的，他在強調空間連續性的同時卻忽略了時間的連續性.

三、數學思維上的自然辯證法

數學思維中有一個非常經典案例，如果當x→0時我們稱x為無窮小量，簡稱無窮小，記為“0”，同時我們稱1x為無窮大，記為“∞”，按照我們所學過的知識，零跟任何數的乘積應該都等于零，所以無窮小乘上無窮大，也就是x·1x=0·∞=0，但是很明顯x·1x=1.基于以上的說法，就自相矛盾，那么無窮小跟無窮大是不是真正出了問題呢？很顯然不是，我們注意零跟任何數的乘積應該都等于零，必須要滿足零跟任何數，而我們的“∞”其實根本就沒有說過它是一個數，它其實只是一個趨勢而已，根本不代表一個數，既然它連是一個數的資格都沒有，那我們在計算的時候根本不能按照“零跟任何數的乘積應該都等于零”的這個規則來進行計算，也就很清楚地解釋了無窮大與無窮小的乘積的問題.同時也告訴我們很多時候在數學思考的時候要注意環境，也要結合自然界的實際情況進行分析，而不是一味地去按照以往的標準來參考，要利用自然辯證的方法去認識自然界的規律，去檢驗我們的數學思維的科學性，從而使我們的數學真正圓滿，時時刻刻用哲學來檢驗，不走上悖論的道路.

歷史證明，數學越向前發展，數學探索的難度就越大，就愈需要更為強大的哲學武器來檢驗.在數學研究中，人們受社會的影響而存在唯心史觀，不自覺地就存在唯物主義傾向，所以我們必須要借助強大的哲學武器，努力把自然辯證這個高度科學的世界觀與方法論應用到自己的數學研究中去，不斷利用哲學武器強化我們的數學思維，勇于實踐，善于探索，真正從自然界的發展規律中抽象出數學概念，從而正確地去認識和改造自然界.

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