逆向思維在數學論證中的作用與培養

摘要：逆向思維是數學思維的一個重要原則，是創造思維的一個組成部分，也是進行思維訓練的載體。文章闡述了逆向思維在數學教學中的作用，然后結合本人的教育教學經驗，在概念的教學、公式的教學、反例的逆用及分析和解決問題中培養學生的逆向思維習慣、逆向思維的自覺性及其興趣，最終達到提高學生的逆向思維能力和解決實際問題的綜合能力。

關鍵詞：逆向思維；數學教學；能力培養

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）18-0104-02

一、前言

所謂逆向思維就是在研究問題的過程中，有意去做與習慣思維方向相反的探索。逆向思維主要表現在所學知識的逆向應用上，注重知識的逆向應用常常可使數學解題由繁變易[1]。

在數學解題中，往往因習慣于“順推”和正面求解，有時會使思維受阻。這時若能運用“換個角度來看問題，倒過來思考”的逆向思維，對解決數學問題往往能起到突破性的效果，從而創造性地發現解決問題的簡捷、新穎、奇異的方法。

二、逆向思維在數學教材中的體現

（一）定義的逆用

在數學解題中，“定義法”是一種比較常見的方法，而定義的逆用便于學生養成逆向思維的習慣。

例1 設f（x）=9x-3x+1，求f-1（0）

分析：對該題常規的思維方法是：先求出反函數f-1（x），再求f-1（0）的值，但是因為求反函數的過程繁雜且易產生增解，所以必然會出現諸多失誤，甚至有思維受阻現象。但我們如果逆用反函數的定義及性質，令f（x）=0，解出x的值，即為f-1（0）的值，問題就迎刃而解。

解：令f（x）=9x-3x+1=0，則9x=3x+1=9■，所以x=■（x+1）

解得：x=1，即f-1（0）=1.

因此，在解決數學問題時，若能靈活運用定義的逆向思維，不僅可以省去繁雜的解題過程，而且能保證答案的正確性。

（二）公式的逆用

數學中的許多概念、定義是雙向的，我們在平時的教學中，不僅要培養學生的定性思維，而且要充分發揮逆向思維，靈活地逆用公式，解題時就能得心應手，左右逢源。如等差數列的通項公式：an=a1+（n-1）d；它們的逆用形式：a1=an-（n-1）d或d=■或n=■+1，這些逆用公式能解決實際中的許多問題。

（三）法則的逆用

數學法則反映著一定的數學規律。其中包括數學元素間的內在聯系與解決問題的方法。如“若干個因式中，只要有一個為零，那么它們的積為零”的反面是“若干因式的積為零，則這些因式中至少有一個因式為零”也成立。

例2 計算■+■+L L+■：

分析：本題若按常規方法：先通分后相加，勢必感到束手無策。若逆用減法法則：■-■=■則帶來很大的簡便。

（四）定理的逆用

數學中的很多定理，它的逆命題也是成立的。在學習某些數學定理后，引導學生去探索它的逆命題，然后去判斷或者論證逆命題的正確性，并且進而啟發他們用這些逆定理去解決一些實際問題，能激發學生的學習興趣。如勾股定理：如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么：a2+b2=c2。它的逆定理為：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形。勾股定理的逆定理主要的應用是把數轉化為形，它可以作為直角三角形的判定依據，從而達到解決問題的目的。

（五）逆向分析法

分析法的實質是“執果索因”，要證明結論成立，只需找到使結論成立的充分條件即可。這種方法在證明題中用得較多，這也是逆向思維在數學解題中的具體運用[2]。

例3 求證■+■<2■

分析：直接從待證不等式出發，分析其成立的充分條件。

證明：因為■+■和2■都是正數，所以要證■+■<2■，只需證（■+■）2<（2■）2，只需證■<5，即只需證21<25，因為21<25成立，所以■+■<2■成立。

由于■+■和2■都是無理數，因此直接證明比較困難，利用分析法從結論入手，解決題目得心應手。

三、數學教學中逆向思維的培養

在數學教學過程中，注意學生逆向思維的培養，會使學生能夠更加靈活地去解決數學問題。同時，逆向思維能力的培養對于提高學生的思維能力，培養高素質人才也有著十分重要的意義。那么，在數學中應如何培養學生的逆向思維能力呢？我們可以從以下幾個方面來探討逆向思維在數學教學中的培養。

（一）在概念的教學中培養逆向思維能力

我們知道概念是客觀事物的本質屬性在人們頭腦里的反映。由于數學是研究現實世界空間形式和數量關系的科學。數學中的一切概念都是現實世界形式或數量關系這類本質屬性在人們頭腦里的反映。有不少教師在講解概念時，總是直接把內容寫在黑板上，然后讓學生去理解、記憶。這種形式不利于學生思維能力的培養。如果能從“逆向”的角度幫助學生去認識概念，去挖掘概念所包含的一切性質及隱含條件，這樣能夠加深對概念的理解。

如在學過“映射”的概念之后，我在課堂上引導學生做這樣的思考：設f：A→B是集合A到集合B的映射。那么集合A、B中的元素對應情況將如何？學生思考后我與學生一起得出結論：集合A中的元素不會有剩余了，而且每一個元素在B中都有唯一一個像；集合B中的元素可能有剩余。也就是說B中的元素有的可能沒有原像；對應的形式可能是“一對一”，也可能是“多對一”，“一對多”的是不可能的等等。這樣，既注意了由此及彼，也注意到了由彼及此，使學生對概念辨析更清楚，理解更透徹，養成雙向考慮問題的習慣。

（二）在公式的教學中培養逆向思維能力

數學中的公式很多，熟練掌握公式并能靈活地應用，是解決數學問題所必須的，其中靈活地逆用公式是不可缺的。endprint

首先，記憶公式時不但要“正記”，而且要不斷地進行“逆記”和“逆寫”訓練，這是我們能靈活地逆用公式的基礎。記憶公式時一定要理解地去記憶。要善于找出公式由左向右的特點及功能，同時也要相應找出公式由右向左的特點及功能。如對于兩角和差的正切公式[3]：

tan（A+B）=■，tan（A-B）=■

我們引導學生通過逆向變形得：

tanA+tanB=tan（A+B）·（1-tanA·tanB）

tanA-tanB=tan（A-B）·（1+tanA·tanB）

1-tanA·tanB=■，1+tanA·tanB=■

另外，在公式的應用中，不但要做一些公式的正用練習，也要做一些公式的逆用練習。

（三）注重反例的逆用

反例在數學發展中和證明一樣占著同樣重要的地位，重要的反例往往會成為數學殿堂的基石，微積分剛建立的時候，數學界曾長期錯誤地認為：連續函數除了個別點處總是處處不可導的。但是，1872年德國數學家繼爾斯特拉斯構造出了一個“處處連續但不可導的函數”，這個反例震驚了數學界，促成了影響深遠的“分析基礎嚴密化”的數學運動[4]。

反例不僅在培養逆向思維的能力中占重要地位，同時在糾正錯誤結論、澄清概念、開拓數學領域中也起到了非常重要的作用。因此，可以得到這樣一個啟示：證明一個命題為真，固然要經過嚴格而周密的證明，然而要推翻一個命題卻只需舉出一個反例就可達到目的。

例4 一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是平行四邊形嗎？為什么？

分析：不一定是平行四邊形，可構造反例如下：∨ABC是等腰三角形，AB=AC，點E在BC上，BE>EC，當∠AED=∠EAC DE=AC時，∨ADE≌∨ECA，這時，在四邊形ABDE中，AB=DE，∠D=∠B，因而四邊形ABDE不是平行四邊形。

此外，當我們做完一個數學題目后，也可想到有時可舉一個數字簡單的例子再驗證一下思路是否正確，如果出現了矛盾，就表明思路有毛病。

四、結束語

逆向思維是培養我們學生數學思維的一種非常重要的思維方式，對克服思維定勢大有裨益。因此，在數學學習過程中有機地、適當地注意從概念、公式、法則、定理及從結論反推，從反面入手解題來培養我們學生的數學逆向思維能力，對優化我們的知識結構、開發思維有著巨大的作用。

參考文獻：

[1]曹莉.逆向思維在數學解題中的運用[J].連云港教育學院學報，1997，（3）：71-71.

[2]張信聯.逆向思維在數學解題中的應用[J].數學教學通訊，2000，124（3）：11-13.

[3]戴嘉廣.數學教學中培養學生逆向思維能力的策略[J].丹東紡專學報，2002，9（2）：58-59.

[4]馬英典.數學教學中如何培養學生的逆向思維能力[J].四川教育學院學報，2007，46（8）：59-60.

作者簡介：吳水成（1970-），男，湖南省漣源市第一中學高級教師。endprint