淺談如何挖掘 數學問題中的 “隱含條件”

呂建軍

摘?要：數學問題中的隱含條件直接決定著數學問題能否有效解決。因而尋覓數學問題中的隱含條件，了解隱含條件的各種形式，掌握隱含條件的發現、分析方法，從題目的各種文字、各種數學模型、各種數學圖形中挖掘出隱含條件，就顯得非常重要。本文對隱含條件的挖掘和運用進行了一些粗淺的探討。

關鍵詞：數學問題；隱含條件；挖掘

所謂“隱含條件”是相對“顯性條件”而言的，是數學問題中已知條件沒有明確指出，且對解決問題起到關鍵作用的一些條件。由于它的原因，許多學生解題失誤或解題困難，失去不必要失去的分數，但若能引導學生仔細審題，認真觀察，充分挖掘隱含條件，并充分利用條件，積極拓展解題思路，優化解題過程，對提高學生解題能力是十分重要的。

挖掘隱含條件，必須具有扎實的數學基本知識、多樣的解題技巧和嚴密的數學思維。運用隱含條件，要恰到好處，運用自如，才能使解題水到渠成，結論完美自然。我認為，可以從下面四個方面去挖掘。

一、在數學問題語言中挖掘隱含條件，尋找解題思路

數學語言簡潔精練、形式多變，表達形式包括文字、符合、圖形等。數學語言的巧妙組織，構造出千差萬別的數學問題，在解答數學問題的過程中，要靈活將各種形式的數學語言互相轉化，使隱含條件在問題中一步步呈現出來，要認真多角度思考，找尋解題思路。

例如2009年江西高考試題：若不等式9-x2≤k（x+2）-2的解集為區間［a，b］，且b-a=2，則 k=_。

這是一個帶有根式的不等式的解的問題，因其中含有k，a，b三個字母參數，乍看起來無從下手。如果仔細審題，挖掘問題考查實質及k，a，b關系，試用圖形來描述，就能尋找到問題的條件、結論之間的內在聯系。從圖形上看，問題的實質是滿足一條直線在半圓上部時且帶有條件限制時的直線的斜率。

解：原不等式兩邊看成是兩個函數，左邊是y= 9-x3，其圖象是圓心在原點，半徑是3的上半圓；右邊是 y=k（x+2）- 2，其圖象是經過定點（-2，

）的一條直線，因為原不等式的解集是［a-2，a］，由圖象可以看出x應該取區間［1，3］時才滿足原不等式，此時直線必過半圓上的點（1，2 2），代入直線，得k=2。

二、在數學問題概念中挖掘隱含條件，尋找解題捷徑

數學概念通常是隱含條件的隱藏之處。要挖掘隱含條件，必須對概念的含義進行解剖，揭開其表象，抓住其實質，從而將問題簡化，找到解決問題的有效方法。

例如：已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸的兩個交點的橫坐標是3和5，與y軸點的縱坐標是15，求這個二次函數的解析式。

求二次函數解析式的方法很多，通過對題目已知條件的分析，函數圖象過三點（3，0），（5，0），（0，15） ，設出二次函數的一般式，用待定系數法，列a，b，c三元方程組解。但是進一步分析，可得與x軸兩個交點橫坐標分別是3，5，這可看做是一元二次方程 ax2+bx+c=0的兩個根，于是隱含條件顯現出來，可利用二次函數解析式的“兩根式”很快解題。

三、在數學問題質疑中挖掘隱含條件，做到查漏補缺

有些數學問題，按慣常的思路求解，會造成一些增根，也可能造成失根。這些常見的錯誤往往都是因為沒有發現問題的隱含條件。如果對解題過程中某些帶有疑點的問題充分分析，帶著疑點審視問題的條件和結論，從而挖掘隱含條件，問題就能及時得到準確的解答。

例如：求過點（2，3）且與（x+1）2+

y2=9相切的直線方程。

有許多學生由點斜式設出直線方程y-3=k（x-2），由直線與圓相切定義，圓心到直線距離等于半徑3，解得k=0，所以切線方程為y=3。但仔細考慮點在圓外，過圓外一點的切線一共有兩條，而本題是一條，說明失去一條，為什么呢？帶著疑問分析失根原因，經過思考，可知問題出在“直線的斜率”，直線斜率有的存在，有的不存在，設點斜式時，把不存在斜率的忽略了，還有一條是x=3。

四、在數學問題的“顯性”條件中挖掘“隱性”條件，做到正確求解

有些數學問題，常常會設計一些“陷阱”，有些隱含條件是已知條件的變式，須將已知條件適當變形，挖掘內在實質，就不難發現其蘊涵的秘密，做到正確求解。

例如：求y=log2（x2-2x-3）的單調增區間是_ 。

學生知道這是考復合函數的知識，由內外函數的復合規律，得到［1，+∞］，但這個答案是錯誤的，原因是忽略定義域，正確答案是［3，+∞］。隱含條件沒有挖掘出來，造成錯誤。

在數學解題中，需要學生多角度地去挖掘隱藏在題中的各種隱含條件，經過不斷的訓練和總結，對問題進行深入淺出的分析，提高思維能力和解決問題的能力，才能在解題中保持勝利。

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