由一道高考題探究圓錐曲線的光學性質及其應用

余曉軍

摘 要：精心研制的高考題，知識點都來自教材，但通常讓人覺得耳目一新，此謂“源于課本，高于課本”. 本文通過對高考中出現的一類問題的研究，探本溯源，找到了題目在教材上的落腳點，并對圓錐曲線的光學性質進行了證明和應用舉例. 獲得了解決一類問題的通法，揭示了事物發展的規律.

關鍵詞：圓錐曲線；光學性質；探究；應用

試題背景的呈現

每個精心研制的高考試題，幾乎都出生豪門，身價都是很高的，它們往往有一個一般意義上都成立的大背景. 我們首先看一看下面這個試題：

（2010高考（安徽理19））已知橢圓E經過點A（2，3），對稱軸為坐標軸，焦點F1，F2在x軸上，離心率e=.

（1）求橢圓E的方程（答案：+=1）；

（2）求∠F1AF2的角平分線所在直線l的方程；

（3）略.

圖1

對于第二小題，命題組給出的參考解答是：

解法1：由（1）知F1（-2，0），F2（2，0），所以直線AF1的方程為：y=（x+2），即3x-4y+6=0，直線AF2的方程為：x=2. 由點A在橢圓E上的位置知，直線l的斜率為正數.

設P（x，y）為l上任一點，則=x-2.

若3x-4y+6=5x-10，得x+2y-8=0（因其斜率為負，舍去）.

所以直線l的方程為：2x-y-1=0.

解法2：因為A（2，3），F1（-2，0），F2（2，0），所以=（-4，-3），=（0，-3）.

+=（-4，-3）+（0，-3）=-（1，2），所以kl=2，所以直線l的方程y-3=2（x-2），即2x-y-1=0.

解法1利用了角平分線定義，解法2借助了單位向量的性質，實際上這兩種解法，都沒有涉及這個問題的本質.那么，這個問題的本質到底是什么呢？

接下來我們研究一下第2小題的背景是什么. 如果我們注意到∠F1AB=∠F2AB，不就很容易想到“由橢圓的一個焦點發出的光線，經過旋轉橢圓面反射后集中到另一個焦點”嗎？于是，這個問題的大背景就在新課程人教A版必修2-1的教材P75“閱讀與思考”：《圓錐曲線的光……