有關圓錐曲線中的類比探討

周子君

摘 要：類比是高中數學新教材中新增加的選修內容，本文主要探討了近年高考、模考中涉及圓錐曲線基本運算、相似性質的類比.

關鍵詞：圓錐曲線；類比

類比是高中數學新教材中新增加的選修內容，由于其方法多樣，形式靈活，涉及的知識點較多，正越來越受到出題者的青睞. 圓錐曲線在課本的引入過程中本身就帶有類比的特性，如統一定義（第二定義）時比例的類比，還有一些基本量、基本性質的類比等，因此關于圓錐曲線的類比頻頻出現在近年各地高考和模考試題中.

本文擬對圓錐曲線中較為常見的一些類比進行歸類探討，希望同行賜教.

有關切線類比

1. （1）橢圓+=1（a>b>0）上一點P（x0，y0）處的切線方程為+=1.

（2）雙曲線-=1（a，b>0）上一點P（x0，y0）處的切線方程為-=1.

（3）拋物線y2=2px（p>0）上一點P（x0，y0）處的切線方程為y0y=p（x+x0）.

2. （1）過橢圓+=1（a>b>0）外一點P（x0，y0）作橢圓的兩切線，切點為M，N，則切點弦MN所在直線方程為+=1.

（2）過雙曲線-=1（a，b>0）外一點P（x0，y0）作雙曲線的兩切線，切點為M，N，則切點弦MN 所在直線方程為-=1.

（3）過拋物線y2=2px（p>0）外一點P（x0，y0）作拋物線的兩切線，切點為M，N，則切點弦MN所在直線方程為y0y=p（x+x0）.

離心率類比

1. 如圖1，橢圓中心在坐標原點，F為左焦點，A為長軸端點，B為短軸端點，當⊥時，其離心率為，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”. 類比“黃金橢圓”可推算出“黃金雙曲線”的離心率e等于__________.

圖1

解：如圖2，⊥時，BF2+AB2=AF2，即b2+c2+c2=（a+c）2，所以3c2-a2=a2+c2+2ac，得c2-ac-a2=0，所以e2-e-1=0，即e=（負的舍去）.

2.（1）若F1，F2是橢圓+=1（a>b>0）的左、右焦點，P是橢圓上任意一點，且∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，α，β∈（0，π），則橢圓的離心率e=.

（2）若F1，F2是雙曲線-=1（a，b>0）的左、右焦點，P是雙曲線上任意一點，且∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，α，β∈（0，π），則雙曲線的離心率e=.

（提示：在△F1PF2中運用正弦定理及圓錐曲線定義即可求得，但需注意絕對值不能丟！）