圓錐曲線相交弦的一個共有性質

胡建國

摘 要：本文從人教版教材選修4-4第38頁上一道例題出發，給出了此類題的多種解法，并對其進行了推廣，得到了圓錐曲線相交弦的一個性質.

關鍵詞：圓錐曲線；相交弦；直線參數方程；弦長公式

【原題】 如圖1所示，AB，CD是中心為點O的橢圓的兩條相交弦，交點為P.兩弦AB，CD與橢圓長軸的夾角分別為∠1，∠2，且∠1=∠2，求證：PA·PB=PC·PD.

圖1

證明：建立如圖1所示的坐標系，設橢圓的方程為+=1（a>b>0）. ①

設∠1=θ，P的坐標為（x0，y0），則直線AB的參數方程為x=x0+tcosθ，y=y0+tsinθ（t為參數）. ②

將②代入①并整理，得到

（b2cos2θ+a2sin2θ）t2+2（b2x0cosθ+a2y0sinθ）t+（b2x+a2y-a2b2）=0. ③

記③式的兩根分別為t1，t1，容易得到PA·PB=t1·t2=t1·t2=. ④

同理，對于直線CD，將θ換為π-θ，即得到，

PC·PD = =. ⑤

由④⑤，得到PA·PB=PC·PD.

筆者發現，該結論可以推廣到雙曲線和拋物線.

【推廣1】 AB，CD是雙曲線-=1（a>0，b>0）的兩條相交弦，交點為P. 兩弦AB，CD的斜率互為相反數，求證：PA·PB=PC·PD.

分析：類同于上一題的證明，我們也可以用直線的參數方程解決此題.現設直線的普通方程，用弦長公式推導此命題如下.

證明：設P的坐標為（x0，y0），設直線AB的方程y-y0=k（x-x0），記A（x1，y1），B（x2，y2）.

聯立y-y0=k（x-x0），-=1，

得到：（a2k2-b2）x2+2k（y0-kx0）a2x+a2·（y0-kx0）2+a2b2=0；①

得到：x1+x2=，x1·x2=.②

因為PA=x1-x0，PB=x2-x0，

所以PA·PB=（1+k2）（x1-x0）·（x2-x0）=（1+k2）x1x2-x0（x1+x2）+x. ③

把②代入③，得到

PA·PB=（1+k2）-x0+x=（1+k2）·. ④

顯然，把④式中的k改為-k，即得到：

PC·PD=（1+k2）=（1+k2）. ⑤

由④⑤，得到PA·PB=PC·PD.

【推廣2】 AB，CD是拋物線y2=2px（p>0）的兩條相交弦，交點為P. 兩弦AB，CD的斜率互為相反數，求證：PA·PB=PC·PD.

證明：設P的坐標為（x0，y0），則直線AB的參數方程為x=x0+tcosθ，y=y0+tsinθ（t為參數）.①

將①代入y2=2px（p>0）并整理，得到

（sin2θ）t2+（2y0sinθ-2pcosθ）t+y-2px0=0. ②

由sin2θ≠0，記②式的兩根分別為t1，t2，

容易得到PA·PB=t1·t2=t1·t2=. ③

同理，對于直線CD，將θ換為π-θ，即得到，

PC·PD==. ④

由③④，得到PA·PB=PC·PD.