“錯誤”是數學教育教學中的一筆重要資源

黃如養

摘 要：在學生的學習過程中經常會犯各種各樣的錯誤，這些“錯誤”是學生自己“創造”出來的寶貴教育教學資源.就如何挖掘“錯誤”的教育教學價值談幾點做法.

關鍵詞：數學教學；“錯誤”；教學價值

在數學教學中，我們常遇到學生出現的一些“錯誤”，如對概念、定義理解的錯誤，對公式、定理應用的錯誤，對解題策略方法的錯誤等.因此，我們要重視學生的“錯誤”，充分挖掘“錯誤”的教育教學價值，善于把這些“錯誤”轉化為教育教學的資源，在“錯誤”的基礎上取得教育教學實效.

一、利用“錯誤”教育資源，培養學生正確的人生態度

課堂上常常會見到下面這種現象：教師提出問題，希望學生就此問題發表看法時，經常會發現學生將目光回避老師，低頭不語，他們的神情表明他們不愿發表自己的想法.因此，當學生回答錯時，教師要發揮自己的教育智慧，對學生回答中的閃光之處給予肯定和鼓勵，讓他們下次還勇于滿懷信心地發出自己的聲音.

一次，在課堂上做這樣一道習題：已知圓O1：x2+y2=1和圓O2：x2+y2+10y+16=0都內切于動圓，試求動圓圓心的軌跡方程.

請一個學生在黑板上寫出他的解題過程，他是這樣解的：

圓O2：x2+y2+10y+16=0，即為x2+（y+5）2=9，所以圓O2的圓心為O2（0，-5），半徑r2=3.

而圓O1：x2+y2=1的圓心為O1（0，0），半徑為r1=1.

則O1M=r-1，且O2M=r-3，所以O1M-O2M=2；故點M的軌跡是以O1、O2為焦點，實軸長為2的雙曲線，其軌跡方程為：（y+）2-=1.

當時有的學生對此表示認同，有的提出異議，經過分析，發現錯在將O1M-O2M=2看成│O1M-O2M│=2，誤認為動圓圓心的軌跡為雙曲線，這是對雙曲線概念理解不透所致，事實上，O1M-O2M=2表示動點M到定點O1與O2的距離差為一常數2，且O1O2=5>2，故點M的軌跡為雙曲線下支，方程為：（y+）2-=1（y≤-）.

糾錯后，教師首先對學生能有勇氣到黑板上寫出自己的解題過程及解題過程中可取之處給予肯定，提高學生自信心.另外，應讓每個做錯的學生看到解錯的不只是自己，不必妄自菲薄.而且，讓學生從“錯誤”中領悟“不經歷風雨，怎能見彩虹”這個簡單而有詩意的人生哲理.

二、利用“錯誤”教學資源，培養學生嚴謹的思維品質

教學中發現學生出錯時，正確的處理方法不是簡單地告訴正確結論就了事，應對錯誤作出具體分析，設法使學生看到認知沖突之所在，從而使認知結構更合理，思維更嚴謹.

例如，實數列{an}的前項和為Sn，有下列幾個命題：

①若{an}是等比數列，且anam=apaq，（m，n，p，q∈N*），則m+n=p+q；

②若{an}是等差數列，則Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也成等差數列；

③若{an}是等比數列，則Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也成等比數列；

④若{an}是等比數列，則數列{Sn}可能是等比數列.

其中正確命題的序號是（ ）

A.②④ B.②③④

C.①②③④ D.①②③

有的學生認為A對，有的學生認為B對，他們的意見分歧就在命題③，教師請持不同意見的甲、乙兩個學生陳述他們的理由，認為③對的甲同學說：設{an}的公比為q，則Sn=，S2n-Sn=-=qn，同理得S3n-S2n=q2n，故Sn，S2n-Sn，S3n-S2n是公比為q的等比數列.認為③不對的乙同學舉例反駁：如數列1，-1，1，-1，…是公比為-1的等比數列，但S2=0，S4-S2=0，S6-S4=0，可見S2，S4-S2，S6-S4不能構成等比數列，認為③對的同學意識到他們的判斷是錯的.至此，教師繼續引導大家分析甲同學的判斷有何不妥，分析后他們認為：（1）甲同學只用了等比數列在公比q≠1時的求和公式sn=，沒考慮q=1的情形，思維不嚴謹；（2）當q=-1且n為偶數時，Sn=0，S2n-Sn=0，S3n-S2n=0，此時，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n…不能構成等比數列.教師繼續問：“那么命題③作何補充可以成為真命題呢？”學生對這一問題反應熱烈，并作出準確回答.

在教學中，我們經常遇到上述情況，教師引導學生糾錯的過程就是調整認知結構使思維嚴密的過程，從而使學生思維的嚴謹性得到訓練，培養了學生嚴謹的思維品質.

三、利用“錯誤”教學資源，培養學生辨別意識，提高辨別能力

教育心理學指出：“概念或規則的正例傳遞了最有利于概括的信息，反例則傳遞了最有利于辨別的信息.”錯解的剖析，不僅能深化對知識的理解，還可以使學生以批判的眼光看待問題，提高獨立思考的能力，不人云亦云.

例如，計算（）10

解法1：（）10=[（）3]=1=1

解法2：（）10=（）9+1=（）9（）=[（）3]3（）=

這兩個結果鮮明的對比，使學生的認知發生強烈沖突，通過師生剖析，學生認識到冪的運算性質（am）n=amn在復數集中成立的條件是m，n均為整數.通過這樣的糾錯教學，清理了學生隱蔽的思維障礙，調整了認知結構，培養了辨別意識，提高了辨別能力.

四、利用“錯誤”教學資源，培養反思意識，提高反思能力

在解數學題時犯錯誤的機會很多，解題后的反思是檢查錯誤的重要方法，也是形成反思習慣、提高反思能力的重要途徑.

例如：已知直線（2m2+m-3）x+（m2-m）y-2m=0與直線x-y=1平行，求m的值.

解：由=≠得m=1或m=-1.

若不加反思，很可惜答案是錯的.事實上我們反思一下，當m=1時，第一條直線的方程變為0=-2，這不可能；當m=-1時，兩直線重合.可見，反思確實是檢查錯誤的一面“鏡子”，反思的過程就是精益求精的過程.

每個學生都有著自己獨特的認知結構，他們以自己的方式建構自己對知識的理解，所以在學習過程中，犯錯通常是不可避免的.學生在學習中所犯的“錯誤”是寶貴的教育教學資源，教師要善于挖掘“錯誤”的教育教學價值，使學生能在錯誤中獲得豐厚的收益，提高教育教學實效.

（作者單位 廣東省開平市風采中學）