立足圖形變換培養幾何直觀

摘要：以共頂點旋轉模型為例，指導學生洞察圖形結構，利用相似變換特征揭示旋轉前后的數量、位置等關系，培養學生觀察、推理能力，提高學生運用所學知識分析問題和解決問題的能力，提升其幾何直觀素養.

關鍵詞：圖形變換；幾何直觀；共頂點旋轉模型

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2025）08-0011-03

收稿日期：2024-12-15

作者簡介：黃志陽，中小學一級教師，從事初中數學教學研究；

戴碧波，中小學高級教師，從事初中數學教學研究.

基金項目：南安市教育科學“十四五”規劃2023年度課題“新課標背景下培養初中學生幾何直觀能力的研究”（立項批準號：NG1453-015）.

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）提出，義務教育階段數學課程要培養學生的數學核心素養，主要包括“三會”，即會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界[1].幾何直觀是“用數學的眼光觀察現實世界”的顯著特征之一.幾何直觀是利用圖形的整體、直觀、形象、多維等特點，去探究、描述、分析和洞察事物或問題的結構與聯系，感悟事物的本質.在初中數學教學中，《課程標準》對培養學生幾何直觀能力提出了明確要求，學生須能夠利用圖形的平移、對稱、旋轉和位似變換，分析幾何圖形的基本特征，研究變換前后兩個圖形之間的對應關系.筆者以共頂點旋轉模型為例，探討培養學生幾何直觀的有效策略，供讀者參考.

1共頂點旋轉模型提煉

如圖1所示，已知△ABC∽△ADE，連結BD，CE.求證：△ABD∽△ACE.

證明因為△ABC∽△ADE，所以ABAD=ACAE，∠BAC=∠DAE.由ABAD=ACAE可得ABAC=ADAE.由∠BAC=∠DAE可得∠BAD=∠CAE.從而根據相似三角形的判定定理易得△ABD∽△ACE.

說明這個結論可理解為與△ABC相似的△ADE繞兩個三角形的公共頂點A旋轉一定角度，連結另外兩組對應頂點得到線段BD和CE，從而可得到另一對相似三角形.根據圖形結構特征，可稱其為共頂點旋轉模型.利用這個模型解決幾何問題的關鍵在于先找出一對共頂點的相似三角形.

2典例解析

例1如圖2，在△ABC中，點D是BC邊上一動點，∠BAC=∠DAE=90°，且∠ABC=∠ADE，AB=4，AC=3，在點D運動的過程中，當tan∠EDC=12時，求線段DE的長度.

如圖2，連結CE.△ABC與△ADE是一對共頂點的三角形，因為∠BAC=∠DAE=90°，且∠ABC=∠ADE，所以在點D運動的過程中，始終有△ABC∽△ADE，則由共頂點旋轉模型可知，△ABD∽△ACE，其相似比為4∶3.由此可知∠ACE=∠ABD，又因為在Rt△BAC中，∠ABD+∠ACB=90°，從而得到∠DCE=90°.在Rt△BAC中，由勾股定理可求得BC=5.在Rt△DCE中，由tan∠EDC=12，可設CE=k，則CD=2k，由相似比為4∶3得BD=43k，由BD+DC=BC可得方程43k+2k=5，解得k=32.由勾股定理可得DE=352.

點評此題以兩個共頂點的直角三角形為背景，主要考查相似三角形的判定與性質、勾股定理、直角三角形邊角關系等知識.在解決本題時，根據圖形結構特征，可構造共頂點旋轉模型.

例2如圖3，在邊長為4的正方形ABCD中，點E在直線AD右側，當AE=1時，以DE為邊作正方形DEFG，P為AD的中點，求PF的最大值.

圖中有兩個共頂點的正方形DABC和正方形DEFG.如圖4，連結BD，可得兩個共頂點的等腰直角△DAB與等腰直角△DEF，可證△DAB∽△DEF.連結BF，則由共頂點旋轉模型可得△DAE∽△DBF，其相似比為1：2.因為AE=1，所以BF=2.在圖形運動變化的過程中，點F始終在以點B為圓心，以2長為半徑的圓上.在Rt△ABP中，可求得BP=25.可見當P、B、F三點共線時，PF有最大值和最小值，其中最大值為PB+BF=25+2.

點評本題以兩個正方形為背景，連結對角線BD，就可得等腰直角△ADB，所有的等腰直角三角形都相似，得出共頂點旋轉模型的條件，從而直觀地利用模型解決問題.

例3如圖5，D是△ABC內一點，∠BAD=∠CBD，tan∠BAD=12，∠BDC=90°，AB=4，AC=23，求AD的長.

以點A為頂點，作∠CAE=∠BAD，射線AE交線段BD的延長線于點E，則有∠DAE=∠BAC.又因為∠ADE=∠BAD+∠ABD，∠ABC=∠CBD+∠ABD；

其中已知∠BAD=∠CBD，所以得∠ADE=∠ABC.由此可得共頂點的△ABC與△ADE，且△ABC∽△ADE.連結CE，由共頂點旋轉模型可得△ABD∽△ACE，其相似比為AB：AC=2：3.由∠BDC=90°，tan∠CBD=tan∠BAD=12.設CD=k，則BD=2k，在Rt△BDC中可求得BC=5k.由△ABD∽△ACE，可得BDCE=ABAC，即2kCE=23，可求得CE=3k.在Rt△EDC中，由勾股定理可求得DE=2k.由△ABC∽△ADE，可得ABAD=BCDE，即4AD=5k2k，可求得AD=4105.

點評解決本題的關鍵是根據兩個相等的角構造出兩個相似三角形，從而得出共頂點旋轉模型，為問題解決創造有利條件.

3教學建議

史寧中教授認為：在大多數情況下，數學的結果是“看”出來的，而不是“證”出來的[2].幾何直觀是學生經驗積累的結果，而不是教師說教的結果.在初中數學教學中，幾何課程是培養學生幾何直觀的基本途徑，教師在幾何課堂構建幾何圖形、形成幾何概念、推導幾何性質、解決幾何問題等教學過程，讓學生經歷幾何知識、方法生成的過程，使學生的幾何直觀得到不斷的發展.在數學教學中，教師可以從以下兩個方面提高學生的解題能力，提升學生的數學核心素養.

3.1理解、積累和應用模型，提升解決問題的能力

史寧中教授認為最基本的數學思想有三種，即抽象、推理和模型[3].面對一個結構復雜的幾何圖形，通常可以將其拆解為數個簡單的基本圖形，每個基本圖形都是幾何模型的體現.解決問題的過程中，如果能從復雜的圖形中篩選并識別出這些幾何模型，便能迅速找到答案.

對于必須構造輔助線的幾何問題，識別并利用模型的技能尤為關鍵.一旦掌握了相關的幾何模型，模型的條件就是添加輔助線的依據.筆者提供的例題就是基于共頂點旋轉模型的條件“須有一對共頂點相似三角形”，通過添加相關的輔助線解決問題.教師應當有計劃地開展模型教學，使學生認識、積累和應用模型解決問題.

3.2通過分析幾何圖形，培養幾何直觀與空間觀念

《課程標準》指出，幾何直觀主要是指運用圖表描述和分析問題的意識與習慣.根據語言描述畫出相應的圖形，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路.顯然，在學習幾何的過程中，繪制滿足特定要求的幾何圖形是數學學習的一項基本活動，是培養學生幾何直觀和空間觀念的重要途徑.笛卡爾曾說：沒有圖形就沒有思考[4].在數學的世界里，借助圖形展示幾何問題是一種直接且生動的呈現手段.此舉有助于學生整合題設信息，讓問題的條件與結論之間的關聯顯得一目了然，從而找到解決問題的突破口.在課堂教學過程中，教師應培養學生的繪圖技能，鼓勵學生通過動手實踐，增強繪圖能力，養成良好的繪圖習慣.這將為他們日常的操作實踐和未來的學術探索點燃創新思維的火花，為長遠發展奠定基礎.

4結束語

希爾伯特曾指出：直觀在幾何中起到的作用更大，過去如此，現在還是如此[5].因此，數學課堂教學應當重視培育學生的幾何直觀，這不僅有助于他們更有效地利用數學理論去探究與解決問題，同時還可通過動態的幾何圖形增進學生對圖形的認知，學生能通過構思與融合點、線、面去設想并創造更為復雜的幾何圖形，以多元視野和層面去剖析幾何圖形，懂得將復雜情況簡化，從而攻克更為深奧的幾何問題.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2] 劉燕，劉鴻英.基于智慧課堂的直觀想象素養培養策略探析：以《圓錐曲線的統一定義》教學為例[J].福建中學數學，2022（5）：47-49.

[3] 王燕珠.滲透數學基本思想 構建高效課堂模式初探[J].新課程（上），2018（6）：165.

[4] 李莉.以線段圖為橋助力學生解決問題能力的提升[J].進展，2023（13）：239.

[5] 王敬庚.試論幾何直觀教學的作用[J].數學通報，1990（8）：38-42.

［責任編輯：李慧嬌］