北師大版初中數學新教材“綜合與實踐”領域的編寫特色

摘 要：北 師大版初中數學新教材一共設計了12個“綜合與實踐”活動內容。這12個“綜合與實踐”活動的設計充分體現了結構化的特點：呈現項目的完整過程，符合學生認知結構的發展；展現序列化的問題，體現知識之間的有機整合；創設跨學科的任務，加強數學與其他學科的融合；設計層次性的活動系列，體現學生能力和素養的進階。

關鍵詞：初中數學；新教材；綜合與實踐；結構化設計

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）提出：“初中階段綜合與實踐領域，可釆用項目式學習的方式，以問題解決為導向，整合數學與其他學科的知識和思想方法，讓學生從數學的角度觀察與分析、思考與表達、解決與闡釋社會生活以及科學技術中遇到的現實問題。”^［1］為了更好地落實有關的要求，依據新課標修編的北師大版初中數學教材（以下簡稱“新教材”）一共設計了12個“綜合與實踐”活動內容（每冊兩個）。這12個“綜合與實踐”活動的主題分別是：（七年級）關注人口老齡化，制作一個盡可能大的無蓋長方體形收納盒，設計自己的運算程序，制作萬花筒；（八年級）神奇的加密術，設計美麗的鑲嵌圖案，哪個城市夏天更熱，垃圾處理知識宣傳活動；（九年級）猜想、證明與拓廣，制作視力表，池塘里有多少條魚，制作遮陽篷模型。

以上12個“綜合與實踐”活動的設計，充分體現了結構化的特點，旨在通過探究活動構建知識體系，促進學生理解原理、遷移知識，從而建立核心概念的關聯，形成良好的認知結構，發展數學核心素養。具體來說，在整體把握數學課程內容，準確體現數學本質思想的基礎上，通過呈現項目的完整過程，展現序列化的問題，創設跨學科的任務，設計層次性的活動系列，實現結構化的學習。

一、 呈現完整的項目過程，符合學生認知結構的發展

學生學習數學的過程，可以視為“將學科知識結構轉化為自身認知結構”的過程。這一過程大致包括認知行為發生、知識的同化與順應、構建自我認知結構三個階段。項目式學習倡導學生綜合利用所學知識解決陌生、復雜的問題，需要學生調用結構化的學科知識技能、學科思維方法等解決項目中蘊含的問題，形成能夠遷移應用的問題解決思路和模型。^［2］鑒于此，“綜合與實踐”領域的活動包括順次呈現的三個部分：項目方案的設計（引發認知行為）—項目方案的實施（知識的同化與順應）—評估反思與成果展示（構建自我認知結構）。因此，新教材通過設計方案、實施方案、評估反思、成果展示的完整活動過程體現結構化的要求。

首先是設計方案。作為引發認知行為的開始階段，設計方案主要是運用數學的眼光整體地觀察現實問題，運用數學和其他領域的知識與方法提取并整合相關信息，形成整體的認識和規劃。為此，需要做“情境—持續思考的驅動性問題—體現學科本質特征、貫穿整個活動”的整體設計。

其次是實施方案。實施方案主要是在設計方案的基礎上，運用數學的知識和方法等解決問題。作為認知活動的主體部分，實施方案完整地體現項目式學習的核心過程。實施方案的過程突出“問題導向”的設計思路，遵循“任務—問題串—個性化理解—規范性表述”的基本認知過程。

最后是評估反思、成果展示。評估反思的設計意在培養學生嚴謹的、有邏輯的數學思維，包括對項目中知識的學習、方法的應用、方案的合理規劃等方面的反思；成果展示的設計則希望學生會用數學的語言對現實問題進行描述與交流，需要學生認識到數學和其他領域的知識與方法在解決現實問題中的意義與價值，并能用數學的語言進行表達。

二、 展現序列化的問題，體現知識之間的有機整合

在“綜合與實踐”領域，新教材進行了問題的序列化設計，主要體現在如下方面：

（一） 設計統攝性問題，驅動學生持續地探究

具體的設計思路是，首先呈現一個統攝性問題，明確解決問題的總體目標；接著通過一系列漸次遞進的問題，引導學生小組分析解決問題的思路，進而設計方案；然后組織學生小組實施方案，直至基本解決問題——在這一過程中，可能需要調整與完善方案；之后引導學生小組評估反思本組的研究過程、研究方法、研究結論等，強化解決這類問題的經驗；最后組織學生小組展示成果，在評議中繼續完善方案，并完成最終的研究報告。

例如，對八年級上冊的“哪個城市夏天更熱”，新教材提出了統攝性問題：“選擇兩個城市，運用所學的知識比較哪個城市天氣更熱。”圍繞這個大問題，提出四個小問題，引導學生設計方案：（1） 影響人體冷熱感覺的主要因素有哪些？（2） 如何制定適當的標準來比較兩個城市的炎熱程度？（3） 你們小組準備收集哪些數據？根據你們的標準，準備如何處理數據？（4） 確定小組成員的分工，以及收集和分析數據的方法。在學生實施方案的過程中，繼續提出問題，引導學生完善方案：（1） 制定城市炎熱程度的評價標準。（2） 根據分工，小組成員收集相關數據并對數據進行整理。（3） 根據本組制定的評價標準，對數據進行處理和分析。（4） 整理研究過程和結果，初步完成本小組的研究報告（內容可包括研究目的、數據收集、數據處理、研究結果、進一步拓展的問題等）。

（二） 設計真實性問題，促使學生綜合運用知識解決

在“綜合與實踐”領域，設計的起點是讓學生沉浸在真實的情境中，解決真實的問題。例如，九年級下冊圍繞“制作遮陽棚模型”這一主題，讓學生結合當地的情況，設計一個“冬暖夏涼和美觀的遮陽棚”。先將這個問題分解為序列的問題：制作遮陽篷需要考慮哪些影響因素？你能用學過的數學知識為所在的地區設計一個冬暖夏涼的遮陽篷嗎？如果設計的遮陽篷更加美觀，還需要考慮哪些元素？引導學生在具體設計的過程中，關注到遮陽效果（面積）、美觀程度（造型）、安裝的穩固性、材料的抗老化等問題。在解決這些問題的過程中，會涉及相似、三角函數、二次函數等數學知識，以及地理（經緯度）、工程（材質）、美術等跨學科知識。

這種基于真實情境的問題解決，能夠促使學生深入理解數學知識在實際生活和工程項目中的應用，培養學生的創新思維與實踐能力。同時，系列化的問題，能夠引導學生持續地探究，取代了以往碎片化、非連續的學習模式，構建了較為完整的認知結構和較為連貫的思維鏈條，提升了學生綜合應用的能力。

（三） 設計綜合性問題，較為全面地發展“四能”

例如，七年級上冊的“制作一個盡可能大的無蓋長方體形收納盒”，本身是一個幾何問題，但是為了使體積盡可能大，需要進行代數運算；在解決問題的過程中，學生一般還會對不同底邊長的長方體盒子的體積進行統計、比較，進而發現數據規律和變化趨勢。這個問題的解決需要綜合運用數學內部多個領域的知識，因此，這一活動既是對學生數學學習 的全面檢驗，也較好地發展了學生問題解決的能力。

再如，八年級上冊的“哪個城市夏天更熱”，既需要學生收集一些城市一定時期的氣象數據，也需要學生思考影響體感溫度的因素，進而需要學生綜合權衡這些因素，制定相對合理的評價框架。這個問題具有很高的綜合性，是一個典型的微型研究，是發展學生“四能”的很好體裁。學生解決這個問題需要經歷資料收集、評價框架建構、數據處理、評價結果交流與評價框架完善等過程。

三、 創設跨學科的任務，加強數學與其他學科的融合

新教材“綜合與實踐”領域，力圖整合數學與其他學科的知識技能和思想方法，讓學生從數學的角度觀察與分析、思考與表達、解決與闡釋社會生活和科學技 術中的現實問題，感受數學與其他學科的融合，體會數學的價值，提高發現與提出數學問題的能力，同時發展應用意識、創新意識和實踐能力。一共設計了10個跨學科項目，涵蓋了數學與社會、經濟、工程、科學、地理、信息、藝術等學科（見表1）。

其中，七年級上冊的“關注人口老齡化”和八年級下冊的“垃圾處理知識宣傳活動”，通過作為社會熱點的人口老齡化問題、垃圾處理問題體現數學與社會的聯系；七年級上冊的“制作一個盡可能大的無蓋長方體形收納盒”和九年級下冊的“制作遮陽棚模型”，通過工程設計、材料節省的問題體現數學與工 程、經濟的聯系；“制作萬花筒”“制作視力表”和“設計美麗的鑲嵌圖案”是從數學的視角研究科學、物理、醫學和美術的問題；“神奇的加密術”和“哪個城市夏天更熱”是從數學的視角研究文化和地理的問題，“設計自己的運算程序”則是從數學的視角研究信息科技的問題。

這里，具體介紹一下“神奇的加密術”和“設計美麗的鑲嵌圖案”的跨學科設計。在“神奇的加密術”中，學生可以感受東西方古代的密碼技術，以及相關的歷史和文化；通過運用一次函數等知識解決古代密碼問題的過程，以及查閱和了解加密術與數學的關系的過程，學生可以體會數學與現實的聯系，以及數學對解決這類問題的重要價值。在“設計美麗的鑲嵌圖案”中，通過查閱和欣賞埃舍爾運用鑲嵌設計的一些作品的過程，學生能夠發現這些作品的共同特征和意義，感受到這些作品使用的藝術語言、展現的藝術形象、表達意蘊情感等，從而豐富審美體驗，提升審美情趣；而在設計鑲嵌作品的過程中，學生需要借助直觀想象形成設計思路，也需要選擇不同的表現手段與方法，嘗試運用多種媒介和技術；通過作品的設計與交流，學生可以感受到數學與藝術等多學科知識的聯系，形成良好的數學觀，發展創新意識。

四、 設計層次性的活動系列，體現學生能力和素養的進階

考慮到不同年齡段的學生在思維水平、活動經驗等方面的差異，新教材在“綜合與實踐”領域對活動給出了層次性設計，即針對不同的年級提出差異明顯的教學目標與教學要求。具體來講，各個年級的活動項目和任務、活動方式以及活動要求如表2所示。

以上針對不同年級的設計，也體現了新教材在發展學生能力和素養方面的進階要求，對應著三個水平階段：

第一階段（水平一），注重發展學生的觀察、操作、做事能力。重點是讓學生在熟悉的情境中，了解問題解決的基本流程以及項目式學習的基本要求，初步經歷規劃方案、實施設計、反思改進的過程。例如，七年級的“制作一個盡可能大的無蓋長方體形收納盒”和“制作萬花筒”，通過提供研究報告表和實 驗報告，引導學生完成項目任務，通過解決問題、形成成果，感悟問題解決和項目式學習的價值。

第二階段（水平二），注重發展學生的理性思考、局部設計規劃、分析、判斷能力。重點是讓學生在關聯的情境中，理解項目式學習中的數學和跨學科要素，知道如何圍繞驅動性問題分解子問題并加以解決；讓學生經歷問題解決和項目式學習的整個過程，用數學的語言表達項目式學習過程中的問題，以及解決問題的過程和結果。例如，八年級的“垃圾處理知識宣傳活動”和“神奇的加密術”等，都體現了在關聯的情境中完成整個項目和問題解決。

第三階段（水平三），注重發展學生的整體規劃、自主設計、應用反思能力。重點是讓學生在綜合的、復雜的情境任務中，用問題解決和項目式學習的一般方法，創造性地規劃思路、設計方案，用數學的語言準確、清晰地表達問題解決或項目式學習的過程和結果，闡述有關科學規律或社會現象。例如，九年級 下冊的“設計視力表”是比較復雜的情境問題，學生需要綜合考慮多種因素，在自主設計的過程中創造性地解決問題，從而發展推理能力、應用意識和創新意識。又如，九年級下冊的“制作遮陽篷模型”是一個復雜而又真實的情境問題，學生需要綜合考慮多種因素考慮設計方案，應用相似、三角函數、二次函數等數學知識，以及地理、設計、工程、藝術等跨學科知識，發揮創造性，得到具有一定應用價值的成果。

總之，雖然“綜合與實踐”領域并不具備成熟系統的知識體系，但是，新教材在對學生學習進行深入探索的過程中，創造了有效的結構化網絡，形成了該領域特有的“設計方案、實施方案、評估反思、成果展示”認知循環。這便是新教材“綜合與實踐”領域最大的編寫特色。

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022：77.

［2］ 綦春霞，白雪峰，王瑞霖，等.素養導向的數學項目式學習課程設計與實踐［J］.教育科學研究，2024（9）：50-56.

（綦春霞， 北京師范大學教育學部，教授。 王瑞霖， 首都師范大學教師教育學院，副教授。 白永瀟， 北京教育學院數學與科學教育學院，副教授。）