北師大版初中數學新教材“統計與概率”領域的編寫特色

摘 要：北師大版初中數學新教材“統計與概率”領域在舊教材的基礎上創新設計，形成了如下編寫特色：將統計與概率的學習融入初中三年全程，注重統計活動的開展與感悟，從而發展學生的數據觀念；在統計圖的繪制、觀察、比較中初步感知數據分布，以數據分布的 整體認識為主線展開統計量的教學，在統計圖與統計量的關聯中發 展數據直覺，從而發展學生的數據分析能力；讓概率試驗貫穿概率學 習的全程，注重對統計數據的反思，深化學生對隨機性的認識。

關鍵詞：初中數學；新教材；統計與概率；編寫特色

依據《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）修編的北師大版初中數學教材（以下簡稱“新教材”）“統計與概率”領域在舊教材的基礎上創新設計，形成了如下編寫特色：

一、 強化活動體驗，聚焦數據觀念

新課標對初中“統計與概率”領域的總體學習要求是：“學習簡單的獲取數據的抽樣方法，通過樣本數據推斷總體特征的方法，以及定量刻畫隨機事件發生可能性大小的方法，形成和發展數據觀念。”數據觀念的發展離不開相應活動的切身體驗。因此，新教材注重學生活動的設計以及活動后的反思交流，力圖通過活動的感悟，發展學生的數據觀念。具體做法如下：

（一） 將統計與概率的學習融入初中三年全程

新課標中，“統計與概率”領域的內容（知識點）相對較少，自然，相應的課時也較少。因此，有教師認為，這些內容可以在較短的時間內相對集中地學習。但是，我們認為，學習“統計與概率”的核心是培養數據觀念，而（數據）觀念需要在較長時間的學習體驗中才能形成。因此，新教材將“統計與概率”的內容融入初中三年的學習過程，力圖通過較長時間的學習感悟，逐步發展學生的數據觀念。具體地，新教材中，

統計和概率的內容分別設計了兩章，安排在兩個年級：統計內容包括七年級上冊第六章《數據的收集與整理》和八年級上冊第六章《數據的分析》；概率內容包括 七年級下冊第三章《概率初步》和九年級上冊第六章《概率的進一步認識》。另外，新教材設計的“綜合與實踐”活動中，多數都會用到統計與概率的知識。如八年級下冊的“開展垃圾處理宣傳活動”、九年級下冊的“制作遮陽篷模型”“制作視力表”等，均需要學生經歷數據收集的過程并運用有關的統計知識解決問題。

統計和概率各自的兩章內容，都既相對獨立，又逐步遞進。統計的兩章內容以“數據收集—整理和表示—處理分析數據—做出判斷”為主線展開：七年級上冊側重數據的收集、整理和表示（當然，其目的是作出判斷，因此，仍會進行簡單的數據分析，進而作出判斷）；八年級上冊側重數據分析，進而作出判斷（當然，也從過程完整的角度，關注數據的收集、整理和表示）。概率兩章內容的展開路徑如圖1所示：七年級下冊側重感受試驗頻率的穩定性，研究計算一步試驗的概率；九年級上冊主要研究兩步試驗的概率，借助頻率估計概率。

（二） 注重統計活動的開展與感悟

借助統計活動解決實際問題，是一個完整的從問題出發，收集、整理、分析數據，進而作出決策的過程。例如，為了解決交通道口的紅綠燈設計這個具體的問題，首先要收集各個時段經過交通道口的車輛的數量，進行適當的整理、表示，形成對數據的直觀認識，進而要借助定量分析精準地刻畫數據特征，最后要作出相應的決策。實際生活中，在作出決策前，一般還會通過建模來模擬效果。因此，新教材設計中一直注重統計活動的開展與感悟。

例如，七年級上冊“數據的收集與表示”第一課時首先提出具體的數據收集任務，讓學生收集班級同學的性別、身高、體重、視力、肺活量、立定跳遠成績、上學交通方式與到校所用時間等自己身邊的數據，進而通過對相關數據的整理、表示，獲取有用的信息。七年級上冊還設計了很多貼近學生生活的統計活動，如調查學生喜歡的校慶文化衫的顏色、設計學校的自行車棚等。八年級上冊則要求學生就一些更大的主題開展統計活動，如選擇某個角度反映我國改革開放取得的成就等，并撰寫活動報告進行班級分享。

特別地，為了切實提升學生從事統計活動的能力，新教材還通過案例的形式滲透性地介紹了若干抽樣調查方法（如簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統抽樣）。這樣，不僅讓學生認識到抽樣要注意的事項，更讓學生習得具體的正確、合理的抽樣方法。當然，考慮到新課標并沒有提出具體抽樣方法的學習要 求。因此，新教材沒有點出具體抽樣方法的類型，也不要求學生知道這些抽樣方法的類型，而是希望學生在對抽樣方法的理解、交流中，學會根據實際情況方便地保障樣本的代表性。

二、 凸顯數據分布，強調數據分析

數據分析的目的是基于數據分布的規律作出決策，因此，新教材的設計注意凸顯數據 分布，發展學生的數據分析能力。具體做法如下：

（一） 在統計圖的繪制、觀察、比較中初步感知數據分布

新教材的設計注重引領學生繪制統計圖、觀察統計圖、比較不同的統計圖，在這些活動中初步感知數據分布，進而解決實際問題。例如，七年級上冊“數據的收集與表示”第一課時，要求學生梳理已有的身高數據，并通過適當的統計圖反映全班學生身高的整體狀況。這里就是希望通過統計圖反映數據分布。學生的統計圖可能是多樣的，教材為了便于交流，呈現了兩個作品，要求學生從這兩個作品中獲取信息，并思考這兩個圖與自己畫的統計圖的區別和聯系。這兩個作品看似簡略，實際上很好地體現了數據分布。此外，新教材還呈現了豐富的統計圖，如莖葉圖等，并引導學生思考這些圖與直方圖等的聯系與區別，從而更好地從這些統計圖中感受數據分布。

（二） 以數據分布的整體認識為主線展開統計量的教學

經過深入分析，我們認為，“平均數—方差”和“中位數—四分位數”分別從數值和位序兩個不同的角度反映了數據分布。因此，八年級上冊《數據的分析》一章依次設計了三節內容：第一節“平均數與方差”，介紹“平均數—方差”這一套工具，順便帶出眾數、離差平方和、數據分組等相關知識；第二節“中位數與箱線圖”，引領學生在感受到僅有中位數不足以整體反映數據分布的基礎上，學習百分位數、四分位數以及對應的直觀表示，從而借助“中位數—四分位數”這一套工具整體感知數據分布；第三節“哪個團隊效益大”，引領學生靈活選用“平均數—方差”和“中位數—四分位數”這兩套工具解決實際問題，體會兩種方式的區別與聯系。

在每一節的學習中，都注重貫穿數據分布的整體感知，讓學生切實地感受到認識數據需要統計量的“套裝”組合。例如，八年級上冊“平均數與方差”一節，一開始即呈現四個不同選手射擊成績的條形統計圖，引導學生思考這四個選手的差異。所呈現的條形統計圖既有左右對稱的，也有左偏的和右偏的。學生從圖中可以直覺地感受到選手之間平均水平的差異：甲圖左右對稱，平均數居中，是8；乙圖往左偏，平均數小于8；丙圖往右偏，平均數大于8。還可以直覺地感受到在平均水平相近的情況下選手之間波動情況的差異：甲圖與丁圖都是左右對稱的，平均數都是8，但是丁圖“兩端”的數據偏多，波動較大。也就是說，一開始就讓學生感受到，認識數據的分布涉及兩個統計量。這樣，就形成了這兩個統計量的整體建構。其后，仍以這個素材為載體分別進行平均數與方差的學習。

（三） 在統計圖與統計量的關聯中發展數據直覺

基于數據作出決策，一般都會通過統計量進行精準的計算。但是，現實生活中，有時在不具備精準計算的條件下也需要對數據分布作出判斷，這就需要較好的數據直覺。因此，新教材的設計中加強了統計圖和統計量的關聯，以發展學生的數據直覺。

1." 由統計圖直接解決問題，引發數據直覺

不進行具體計算，僅通過對圖形的觀察，獲得對數據分布的初步認識，直接解決問題。在這樣的任務中，引發學生的數據直覺。例如，八年級上冊“平均數與方差”一節，具體引入平均數和方差時，都呈現幾組數據的統計圖，要求學生觀察統計圖，不進行任何計算，基于直覺直接比較數據的平均水平或波動情況，進而作出判斷，之后再嘗試通過計算精準刻畫。這樣既加強了統計圖與統計量的關聯，也發展了學生的數據直覺。

2. 由統計圖估算統計量，提升數據直覺

數據差異明顯時，僅憑直觀觀察即可作出判斷。但是，很多時候，數據差異并不明顯。這就對學生的數據直覺水平提出了更高的要求。這時，常需要先基于直覺作出初步的判斷，再通過計算得出精準的結論。實際上，后面的精準計算對先前的直覺估計也是一個很好的調整，這個過程可以很好地提升學生的直覺水平。為此，新教材設計了相應的活動，要求學生直接基于統計圖估計統計量，再通過計算來驗證或調整估算的結果。例如，八年級上冊“平均數與方差”一節的一道練習題，第一問要求從圖2、圖3中分別“讀” 出平均數，第二問要求分別估計方差，這些都是在考驗學生的數據直覺；第三問要求分別計算方差，看看自己的估計是否正確，這個過程又可以調整自己的估計，發展數據直覺。

三、 注重試驗與反思，深化對隨機性的認識

（一） 初中概率學習重在對隨機性的認識

新課標對初中“概率”主題的具體學習要求是：“能通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡單隨機事件所有可能的結果，以及指定隨機事件發生的所有可能結果，了解隨機事件的概率；知道通過大量重復試驗，可以用頻率估計概率。”其實，列出簡單的隨機事件所有可能的結果（進而計算簡單隨機事件的概率），對學生而言并非難事。但是，正確認識隨機事件概率的意義，對學生而言頗有難度。例如，“拋擲一 枚均勻的硬幣，國徽朝上的概率為 1 2 ”的準確含義是什么？是否意味著：試驗次數多了，頻率總能等于 1 2 ？隨著試驗次數的增加，頻率等于 1 2 的可能性增加？隨著試驗次數的增加，頻率越來越接近 1 2 ？實際上，上述認識均不正確。正確的認識是：隨著試驗次數的增加，頻率接近 1 2 的可能性增加。這里有兩個關鍵詞：頻率接近 概率，可能性增加。對前者，需要理解何為“接近”；對后者，又涉及了一個“可能性”。因此，對初中生而言，正確理解概率的意義頗有難度。對隨機性的認識是初中概率學習的重心所在。

（二） 對隨機性的認識需要借助試驗與反思

要準確認識頻率與概率的關系以及隨機性，不能停留于理論的分析，需要在試驗中獲得親身體驗，并通過多層面的反思、交流逐步形成正確的認識。例如，通過拋擲硬幣的試驗，學生會感受到各自數據的差異性，這實際上就初步感受了試驗數據的隨機性。通過數據的匯總，學生不 難感受到頻率的穩定性：次數多了以后，頻率基本穩定，接近 1 2 。但是，如何理解頻率穩定于概率，還 需要基于試驗數據的反思、交流。具體 地，可以追問：你們得到了 1 2 嗎？增加試驗次數一定能得到 1 2 嗎？增加試驗次數得到 1 2 的可能性如何？你們的試驗數據支持你的觀點嗎？ 由此，借助試驗數據，學生可以逐步深化對頻率穩定于概率的認識。

（三） 讓概率試驗貫穿概率學習的全程

僅通過一兩次試驗，就希望習慣于數學確定性思維的學生理解隨機性，是很困難的。學生對隨機性的認識，需要多次重復。因此，新教材注重對試驗與反思活動的設計，將概率試驗貫穿于初中概率學習全程，促進學生對頻率穩定于概率的理解和應用。實際上，在多次試驗活動中，學生基于統計得到的試驗數據更好地認識概率，也加強了統計與概率的聯系。具體設計如下：

概率的初步認識從試驗活動開始。七年級下冊，在學生感知了隨機事件發生的可能性有大有小的基礎上，首先通過概率試驗，讓學生感受到試驗數據的不確定性、規律性和穩定性，得出概率的頻率定義；接著對其中部分概率試驗的結果進行分析，使學生認識到部分隨機事件的等可能性，進而學習等可能事件的概率計算。關于頻率的穩定性，新教材首先呈現的是不存在理論概率的拋擲瓶蓋試驗。主要考慮如下：相對于具有等可能性基礎的隨機事件，不具有等可能性基礎的隨機事件更為普遍。很多看起來所謂具有等可能性基礎的隨機事件，其實是統計的結果，并非先天的等可能性。例如，擲幣試 驗中，國徽朝上與國徽朝下的可能性相同，概率都是 1 2 ，這只是根據試驗結果的一個估 計，一種理想的假設，而非先天具備的，畢 竟硬幣的兩面并不完全相同。如果一開始，就研究特殊的具有等可能性基礎的隨機事件，就進行理論計算，學生容易先入為主，遇到有關的概率問題，可能想當然地先看有 幾種情況，符合要求的有哪幾種，直接進行理論計算。這樣容易將學生引入歧途，忽視概 率理論計算中的等可能性基礎分析。而從 不等可能的情形引向等可能的情形，可以加深對等可能性基礎的認識，引導學生在后續研究古典概型問題時，首先分析其中的等可能性基礎是否成立。這樣可以讓學生更好地認識等可能，也有助于發展學生的理性精神。

概率的進一步認識也從試驗活動開始。對于涉及兩步試驗的等可能事件的概率問題，新教材同樣先通過試驗的統計數據，讓學生感受頻率的穩定性，感悟試驗中兩個步驟之間的獨立性——獨立性是后續兩步概率計算的基礎。

最后借助頻率估計概率解決實際問題。一些隨機事件本就沒有理論概率，一些隨機事件的理論概率計算超出了初中生的學力水平。因此，新教材設計了通過試驗和模擬實驗估計這些隨機事件概率的活動。

（四） 注重對統計數據的反思

新教材設計了部分反思問題，引導學生在對統計數據的反思中，認識統計數據的隨機性。例如，七年級上冊《數據收集與表示》一章設計了反思問題：回顧你從事過的統計活動，大致經歷了哪些過程？通過調查得到的結論與調查前的預想一致嗎？不一致時你分析過原因嗎？嘗試過哪些改進措施？統計活動中，學生可能發現結論與預想不一致，就要從數據收集等環節尋找原因——當然，也可能預想本身有偏差。在交流中，學生還會發現不同小組的結果不一致，認識到統計數據本身就是隨機的。這樣，就加深了對數據隨機性的認識。

（章 飛， 江蘇第二師范學院課程與教學研究所，教授。 凌曉牧， 江蘇第二師范學院數學科學學院，副教授。 王建波， 北京師范大學出版社，編審。）